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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2019/2020
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 052794 - ANALISI MATEMATICA II
Docente Sianesi Francesca
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare
Didattica innovativa L'insegnamento prevede  1.0  CFU erogati con Didattica Innovativa come segue:
  • Blended Learning & Flipped Classroom

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - BV (394) INGEGNERIA GESTIONALE*CIH052794 - ANALISI MATEMATICA II

Obiettivi dell'insegnamento

L'insegnamento si inserisce all’interno del percorso degli studi perseguendo alcuni degli obiettivi generali di apprendimento.
In particolare, l’insegnamento contribuisce allo sviluppo delle capacità di: comprensione dei principi scientifici ed ingegneristici fondamentali e la loro applicazione alle principali tecnologie adottate in impresa. Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio previsti della scheda SUA-CdS, l'insegnamento si propone di fornire allo studente gli elementi fondamentali dell'algebra lineare e del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili, con particolare riferimento a sistemi lineari, matrici, spazi vettoriali, trasformazioni lineari, autovalori ed autovettori, forme quadratiche, curve, funzioni di più variabili, limiti, derivate parziali e direzionali, differenziabilità, derivate seconde, formula di Taylor, ottimizzazione libera e vincolata, integrali multipli, formule di riduzione e cambiamento di variabili, equazioni differenziali del primo ordine lineari e a variabili separabili, del secondo ordine lineari a coefficienti costanti. Nel corso verranno fornite applicazioni all'ingegneria di alcuni degli argomenti.


Risultati di apprendimento attesi

Dopo aver superato l'esame, lo studente sarà in grado di: risolvere sistemi lineari, eseguire le operazioni fondamentali con le matrici, operare su spazi vettoriali astratti e metrici, riconoscere e analizzare trasformazioni lineari tra spazi vettoriali, determinare autovalori ed autovettori di matrici, studiare il segno di forme quadratiche, operare con curve nel piano e nello spazio, calcolare limiti, derivate e discutere continuità e differenziabilità di funzioni di più variabili, stabilire se una equazione definisce implicitamente una funzione, risolvere problemi di ottimizzazione libera e vincolata, calcolare integrali multipli, determinare la misura di regioni piane e solide, risolvere equazioni differenziali lineari del primo ordine lineari e a variabili separabili e del secondo ordine lineari complete a coefficienti costanti. Inoltre, lo studente saprà enunciare e dimostrare alcuni teoremi fondamentali di algebra lineare e di analisi matematica, conoscerà inoltre rigorosamente le definizioni e saprà illustrare la teoria, oltre che enunciando e dimostrando teoremi, avvalendosi anche di esempi e controesempi.

Infine lo studente dovrà mostrare una comprensione approfondita e critica dei contenuti. Inoltre, dovrà essere in grado di risolvere gli esercizi con un approccio rigoroso, logico e coerente con la teoria.


Argomenti trattati

Eliminazione di Gauss. Il metodo di eliminazione di Gauss, risoluzione di sistemi lineari triangolari e quadrati. 
Matrici. Matrici, operazioni tra matrici, matrice inversa. Determinante, complemento algebrico, formula di Laplace, matrice trasposta, matrice aggiunta.
Spazi vettoriali ed applicazioni lineari. Spazi vettoriali (reali), vettori, combinazioni lineari, Span di k vettori, basi, dimensione. Prodotto scalare e norma, vettori ortogonali, basi ortonormali. Applicazioni lineari. Nucleo e immagine di una applicazione lineare, rango di una applicazione lineare, teorema della dimensione. 
Sistemi lineari. Matrici e sistemi lineari a scala. Tecniche di calcolo: per la risoluzione di sistemi lineari generali, per trovare il rango e una base dell'immagine di una matrice, per trovare il rango e una base del nucleo di una matrice, per trovare dimensione e base di un sottospazio generato da vettori assegnati.

Matrici e applicazioni lineari. Teorema di rappresentazione di una applicazione lineare, cambiamenti di base, matrici simili.

Autovalori, autovettori, forme quadratiche. Autovalori, autovettori, autospazi. Condizioni per la diagonalizzabilità di una matrice (e di un endomorfismo). Matrici ortogonali, matrici simmetriche, teorema spettrale. Forme quadratiche, matrice di rappresentazione, segno.
Funzioni reali di più variabili reali. Cenni di topologia, coordinate polari nel piano, curve nel piano e nello spazio. Insieme di definizione di una funzione di più variabili, insiemi di livello. Definizione e calcolo di limiti. Funzioni continue e loro proprietà. Derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità, piano tangente. Proprietà delle funzioni differenziabili. Derivate di ordine superiore, matrice Hessiana, teorema di Schwarz, formula di Taylor con resto di Peano. 
Massimi e minimi. Punti di massimo e di minimo relativo, punti critici, teorema di Fermat, punti di sella. Classificazione di punti critici con il criterio della matrice Hessiana e per indagine diretta. Funzioni definite implicitamente e teorema del Dini. Massimi e minimi vincolati su vincoli di uguaglianza, metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Calcolo di massimi e minimi di funzioni continue su insiemi compatti. Insiemi e funzioni convesse, ottimizzazione per funzioni convesse. Problemi applicativi di ottimizzazione di interesse economico. 
Calcolo integrale per funzioni di più variabili. Insiemi normali (o semplici), funzioni integrabili secondo Riemann su insiemi normali (o semplici), integrali doppi, formule di riduzione per integrali doppi su insiemi normali. Funzioni di più variabili a valori vettoriali, matrice Jacobiana. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli per fili e per strati. 
Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni differenziali lineari del primo ordine, struttura dell'integrale generale, problema di Cauchy, formula risolutiva. Equazioni del primo ordine a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine, problema di Cauchy, struttura dell'integrale generale. Integrale generale per equazioni omogenee a coefficienti costanti. Integrale generale per equazioni non omogenee a coefficienti costanti con il metodo di somiglianza.

 

 

 


Prerequisiti

Si richiede che lo studente abbia acquisito conoscenze e competenze relative al corso di Analisi Matematica I e Geometria. In
particolare, è richiesta la conoscenza delle principali operazioni con i vettori geometrici nello spazio e la loro applicazione alla
geometria elementare euclidea nello spazio, e del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di una variabile reale.


Modalità di valutazione

L'esame prevede una prova scritta, articolata in una parte di teoria e in un'altra di esercizi. La valutazione è positiva se si ottiene la sufficienza in entrambe le parti. Dopo aver superato lo scritto, su richiesta dello studente o del docente si accede all'orale, che riguarda l’intero programma del corso. La votazione ottenuta a seguito dell’orale può essere superiore o inferiore a quella riportata nello scritto, e può eventualmente comportare il mancato superamento dell’esame.

Verranno svolte due prove in itinere, il cui esito positivo comporta il superamento dell’esame. Alla seconda prova in itinere si accede solo dopo aver superato la prima. In caso di esito negativo di una delle due prove in itinere si deve sostenere l’esame completo in un appello successivo.

In sede d'esame, le domande teoriche saranno concernenti definizioni, esempi, controesempi, presentazione generale di argomenti, enunciati e dimostrazioni di teoremi. Gli esercizi riguardano l’intero programma del corso. In particolare, lo studente dovrà:

1. risolvere sistemi lineari, usare l'algoritmo di eliminazione di Gauss,
2. eseguire somma e prodotto tra matrici, calcolare rango e determinante di matrici, calcolare la matrice trasposta, l'aggiunta e l'inversa,
3. verificare se un insieme è uno spazio o un sottospazio vettoriale, eseguire combinazioni lineari di vettori, stabilire se dei vettori sono linearmente indipendenti o dipendenti, se costituiscono una base di uno spazio vettoriale; estrarre una base da un sistema di generatori, determinare una base di un sottospazio vettoriale e determinarne la dimensione, operare cambiamenti di base e di coordinate, calcolare il prodotto scalare tra vettori.
4. saper riconoscere e rappresentare una trasformazione lineare tra spazi vettoriali, determinarne nucleo ed immagine e loro proprietà, stabilire se è iniettiva, suriettiva o biiettiva.
5. determinare autovalori ed autovettori di una matrice o di una trasformazione lineare, stabilire se esse sono diagonalizzabili, scrivere la matrice diagonale e la matrice diagonalizzante associate, determinare una base di autovettori.
6. riconoscere una forma quadratica, scriverne la matrice di rappresentazione, ridurla in forma canonica metrica, studiarne il segno.
7. stabilire se un insieme è aperto, chiuso, limitato, illimitato, trovarne l'interno, la chiusura, il bordo, i punti di accumulazione; operare con curve nel piano e nello spazio, deteminare l'insieme di definizione di una funzione di due variabili, gli insiemi di livello, il grafico per alcune funzioni elementari; calcolare limiti o dimostrarne la non esistenza; calcolare derivate parziali, gradienti, derivate direzionali; verificare se una funzione è differenziabile, scrivere l'equazione del piano tangente, calcolare derivate seconde, scrivere la formula di Taylor con resto di Peano.
8. trovare punti di estremo relativo, classificarli mediante il test della matrice Hessiana o per indagine diretta; determinare massimo e minimo vincolati con vincolo di uguaglianza, usando parametrizzazioni del vincolo o mediante i moltiplicatori di Lagrange, e con vincolo di disuguaglianza. Riconoscere se una funzione è convessa, calcolare massimo e minimo assoluti di funzioni convesse. 
9. calcolare integrali doppi, usando la formula di riduzione su insiemi semplici e attraverso cambiamenti di coordinate. Calcolare integrali tripli per fili e per strati.
10. risolvere equazioni differenziali del primo ordine lineari e a variabili separabili, e relativo problema di Cauchy; risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti e non omogenee con il metodo di somiglianza, e relativo problema di Cauchy.

Durante le prove scritte non è possibile usare libri, appunti, calcolatrici e apparecchiature elettroniche in generale.

 



 

 

 


Bibliografia
Risorsa bibliografica facoltativaM. Abate, C. De Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, Editore: McGraw-Hill Education, Anno edizione: 2015
Risorsa bibliografica facoltativaM. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2009
Risorsa bibliografica facoltativaG. Catino, F. Punzo, Esercizi svolti di Analisi Matematica e Geometria 2 , Editore: KDP (Amazon), Anno edizione: 2019
Risorsa bibliografica facoltativaN. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi matematica due , Editore: Liguori, Anno edizione: 2001

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
60:00
90:00
Esercitazione
40:00
60:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 100:00 150:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese
Possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese
schedaincarico v. 1.6.1 / 1.6.1
Area Servizi ICT
26/01/2020