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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2019/2020
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 052488 - MATEMATICA NUMERICA
Docente Antonietti Paola Francesca
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare
Didattica innovativa L'insegnamento prevede  2.0  CFU erogati con Didattica Innovativa come segue:
  • Soft Skills

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (365) INGEGNERIA MATEMATICA*AM052488 - MATEMATICA NUMERICA

Obiettivi dell'insegnamento

Obiettivo formativo principale.  L'insegnamento presenta in maniera rigorosa e approfondita gli strumenti di base della Matematica Numerica. L'insegnamento trae spunto e motivazione dalla formulazione di modelli matematici per lo studio di processi fisici rilevanti, quali ad esempio quelli di diffusione, trasporto e reazione.  Esso si compone di lezioni teoriche, esercitazioni di carattere teorico e laboratori informatici. Le lezioni teoriche verteranno sui concetti fondanti dell’analisi numerica, quali stabilità, convergenza, consistenza ed efficienza computazionale di un metodo numerico. Le esercitazioni e i laboratori avranno lo scopo di tradurre questi concetti in strumenti operativi che consentano allo studente di applicare i metodi proposti alla risoluzione numerica di problemi di rilevanza per la matematica e le scienze applicate. Il software utilizzato per la parte di programmazione sarà MATLAB.

Obiettivi formativi metodologici. Fornire le principali metodologie numeriche utilizzate nell'Ingegneria, con il supporto di svariati esempi applicativi di crescente complessità. Gli studenti matureranno una spiccata capacità critica per il loro utilizzo e per l’analisi dei risultati ottenuti.

Obiettivi formativi secondari. Avviare gli studenti all'uso consapevole di tecniche di programmazione per il calcolo scientifico.  

Questo insegnamento adotta modalità di didattica innovativa. Gli strumenti matematici verranno introdotti a valle di un processo il cui punto d’attacco sarà il problema, in una prospettiva top-down invece di quella tradizionale bottom-up in cui prima si introducono metodi e strumenti, poi si individuano problemi a cui tali metodi possono applicarsi. Il corso di Matematica Numerica è il primo, nel programma formativo della Laurea, che propone una «mediazione» fra la matematica teorica (o fondamentale, o, per meglio dire, esatta) e la sua realizzazione al computer. Il mediatore è l’approssimazione, nelle sue varie forme. Un passo concettuale che cede apparentemente al compromesso di rinunciare al formalismo perfetto onde consentire la risoluzione quantitativa di problemi per i quali la soluzione matematica esatta è inutilizzabile a fini pratici.

Il processo di approssimazione viene poi scomposto in diversi capitoli all’apparenza indipendenti, ognuno avente un obiettivo circoscritto ad uno dei capitoli classici dell’analisi (l’integrazione, la soluzione del problema di Cauchy, la ricerca degli zeri di equazioni non lineari o dei punti fissi di mappe contrattive), dell’algebra (la soluzione di sistemi lineari di grandi dimensioni), del data science (approssimazioni di sequenze di dati con tecniche interpolatorie, di regressione, di rappresentazione polinomiale locale), ecc.. Ognuno di questi capitoli servirà poi da architrave (per meglio dire da core computational kernel) per affrontare problemi più complessi che derivino dalle applicazioni, in modo più specifico dalla modellistica matematica di processi della meccanica dei continui.

Lo studente, tuttavia, nel contesto attuale, deve differire questa consapevolezza agli anni seguenti (dal terzo in poi): fino ad allora la proposta pedagogica dell’attuale corso di Matematica Numerica è vissuta in modo metodologico/contenutistico, senza che una chiara visione dei suoi veri obiettivi possa essere dovutamente apprezzata.

Scopo della proposta è di «invertire l’onere della prova»: anticipando gli obiettivi (ad esempio, la risoluzione di problemi ai limiti, sia stazionari sia evolutivi, derivanti dalla modellistica di processi di diffusione, trasporto e reazione), proponendo strategie per la loro approssimazione globale, lasciando scoprire agli studenti la necessità di disporre di strumenti di approssimazione efficace per affrontare i singoli componenti del problema discreto. Facendo prevalere, in ultima istanza, il computational thinking approach verso quello metodologico settoriale.


Risultati di apprendimento attesi

Le lezioni frontali, le esercitazioni e i laboratori informatici consentiranno allo studente, previo superamento dell’esame, di conoscere e comprendere:

  •   i principi della Matematica Numerica;

  •   i metodi numerici e gli algoritmi usati per la soluzione di svariati problemi matematici anche originati dalle scienze dell'Ingegneria;

  •   le proprietà teoriche dei metodi numerici;

e, inoltre, di applicare conoscenza e comprensione:

  •  alla soluzione di problemi matematici mediante metodi numerici e tramite l’uso del calcolatore e del software MATLAB;

  •  al ragionamento critico e all’interpretazione dei risultati ottenuti alla luce della teoria;

  •  alla scelta consapevole del metodo numerico più adeguato per la soluzione di un dato problema matematico.


Obiettivo primario è mettere in luce, sin dal secondo anno, la forte interconnessione esistente fra matematica fondamentale e matematica applicata, la loro mutua efficacia, e quanto le applicazioni siano preziose per stimolare lo studio della matematica fondamentale e, non di rado, stimolarne di nuova.

Ritengo che questo insegnamento possa essere decisivo nell’aiutare gli allievi a porre nella giusta prospettiva culturale i corsi che riceveranno a valle di quello di Matematica Numerica e a beneficiarne assai di più di quanto potenzialmente sia loro consentito con l’impostazione attuale.


Argomenti trattati
 
Motivazioni per l'insegnamento di matematica numerica: modelli matematici e numerici, problemi differenziali di interesse fisico, esigenza di risoluzioni approssimate.
I fondamenti della matematica numerica: consistenza, stabilità, convergenza, complessità.
Condizionamento e stabilità di problemi ed algoritmi. Rappresentazione dei numeri macchina: aritmetica floating-point ed errore di round-off. Una prima introduzione all'uso del software MATLAB.

Risoluzione numerica di sistemi lineari. Metodi diretti: eliminazione gaussiana e tecniche di fattorizzazione (LU, Cholesky, QR e Thomas). Metodi iterativi: i metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, di rilassamento e di Richardson. Analisi di convergenza e test di arresto. Il caso delle matrici simmetriche e definite positive: i metodi del gradiente e del gradiente coniugato. I metodi di Krylov.

Approssimazione di zeri di funzione e sistemi non lineari. I metodi di bisezione, delle corde, delle secanti e di Newton. Iterazioni di punto fisso: analisi di convergenza. L'estrapolazione di Richardson. Test di arresto. I metodi di quasi-Newton e di Broyden per sistemi di equazioni.
 
Approssimazione di dati e funzioni. Interpolazione di Lagrange: il caso semplice e composito. Interpolazione in nodi gaussiani. Errore di interpolazione. Interpolazione con funzioni spline. Approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Teoria dei polinomi ortogonali (cenni).

Integrazione numerica. Formule di Newton-Cotes semplici e composite. Stime dell'errore e grado di precisione. Formule adattive. Integrazione di tipo Gaussiano.

Metodi numerici per la risoluzione del problema di Cauchy. Metodi ad un passo (Eulero in avanti e all'indietro, Crank-Nicolson, Heun e Runge-Kutta) e a più passi (Multistep Lineari, BDF): analisi di consistenza, zero-stabilità e convergenza. Assoluta stabilità. Approssimazione di sistemi di equazioni differenziali ordinarie del prim'ordine.
 
Metodi alle differenze finite per problemi ai limiti monodimensionali. Formulazione, analisi, aspetti implementativi.
Metodi agli elementi finiti per problemi ai limiti monodimensionali. Formulazione, cenni teorici, aspetti implementativi.
 

Si tratta di un insegnamento effettuato in modalità di didattica innovativa. Entrando nello specifico, 20 ore dell’insegnamento saranno dedicate ad una analisi deduttiva applicata a problemi derivanti dalla modellistica di processi fisici. Si introdurrà il problema, facendo scoprire agli allievi l’impossibilità di risolverlo con gli strumenti teorici della matematica esatta a cui essi sono stati formati, facendo loro sperimentare il software per risolvere numericamente diversi problemi dal forte sapore applicativo.

Solo allora verranno introdotte le leggi generali che regolano la discretizzazione di problemi ai limiti (seppure limitatamente al caso monodimensionale), allo scopo di far acquisire agli studenti confidenza nella tecnica dell’approssimazione, apprezzamento per la necessità di effettuare analisi parametriche e dimensionali, consapevolezza sul fatto che nella matematica applicata l’errore sia inevitabile.

Sempre con l’aiuto del software gli allievi faranno le loro prime esperienze nel dimensionamento dell’errore e della sua dinamica di decrescita, nell’analisi del rapporto fra complessità computazionale e accuratezza attesa.

In tutta questa fase la sperimentazione al computer diventa elemento fondamentale per esaminare criticamente l'affidabilità del processo numerico. Questa fase, che possiamo chiamare di sperimentazione numerica, in realtà costituisce un esempio concreto di computational thinking. La più evidente originalità di questa impostazione pedagogica è che il computational thinking precede la fase puramente metodologica e di analisi matematica. Sarà soltanto a valle della proposizione di tutti i core computational kernel precedentemente evocati che l’allievo potrà riprendere la sperimentazione numerica sui problemi applicativi con maggior rigore e maggior consapevolezza matematica.

 

 


Prerequisiti

Sono necessarie conoscenze di analisi matematica, algebra lineare e geometria, così come previsto dai programmi degli insegnamenti di “Analisi Matematica I, II" e "Algebra Lineare e Geometria”.


Modalità di valutazione

L’esame si compone di :

una prova scritta, obbligatoria, da sostenersi negli appelli previsti dal calendario accademico, nella forma di una prova unica; tale prova verte su domande teoriche (definizioni, algoritmi, enunciati e dimostrazioni), esercizi sia teorici che richiedenti l’uso di Matlab. Lo studente dovrà: mostrare di conoscere e comprendere i metodi numerici, oltre che di valutarne le proprieta¿ teoriche; scrivere ed interpretare algoritmi; scegliere lo schema numerico piu¿ adeguato per risolvere un dato problema matematico; risolvere problemi numerici al calcolatore tramite MATLAB; pensare criticamente e interpretare i risultati ottenuti alla luce della teoria. 

La valutazione massima che è possibile conseguire con la prova scritta è pari a 32 punti.

L’assegnazione (eventuale) della lode, in caso sia stata conseguita una valutazione maggiore o uguale a 30 nella prova scritta, è subordinata al sostenimento di una prova orale.

 

 


Bibliografia
Risorsa bibliografica obbligatoriaA.Quarteroni, R.Sacco, F.Saleri, P.Gervasio, Matematica Numerica, 4 Edizione, Editore: Springer, Serie UNITEXT, Anno edizione: 2014, ISBN: 978-88-470-5644-2
Risorsa bibliografica obbligatoriaA.Quarteroni, Matematica Numerica - Esercizi, Laboratori e Progetti, Editore: Springer, Anno edizione: 2013 http://www.springer.com/de/book/9788847055407

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
60:00
90:00
Esercitazione
0:00
0:00
Laboratorio Informatico
40:00
60:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 100:00 150:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di materiale didattico/slides in lingua inglese
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese
Possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese
Disponibilità di supporto didattico in lingua inglese
schedaincarico v. 1.6.1 / 1.6.1
Area Servizi ICT
20/01/2020