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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2019/2020
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 052360 - ANALISI MATEMATICA II (PER ING. BIOMEDICA)
Docente Vecchi Eugenio
Cfu 7.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare
Didattica innovativa L'insegnamento prevede  1.0  CFU erogati con Didattica Innovativa come segue:
  • MOOC

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (363) INGEGNERIA BIOMEDICA*PZZZZ052360 - ANALISI MATEMATICA II (PER ING. BIOMEDICA)

Obiettivi dell'insegnamento

L'insegnamento si propone di fornire allo studente metodi e tecniche fondamentali della matematica e delle sue applicazioni all'ingegneria. I contenuti del corso riguardano il calcolo differenziale per le funzioni di più variabili reali a valori reali (scalari e vettoriali), il calcolo integrale di funzioni di due variabili, le curve, la teoria dei campi vettoriali con particolare attenzione a quelli conservativi, l'integrazione di prima e seconda specie, lo studio di serie numeriche e di equazioni differenziali ordinarie del primo e secondo ordine, in particolare equazioni a variabili separabili, equazioni lineari del primo e del secondo ordine (queste ultime, in particolare, a coefficienti costanti). Per la parte dell'insegnamento sulle equazioni differenziali è previsto l'utilizzo di Didattica innovativa nella forma di Blended Learning & Flipped Classroom.


Risultati di apprendimento attesi

A seguito del superamento dell'esame, lo studente conosce (DD1)

- i concetti fondamentali del calcolo infinitesimale e differenziale per le funzioni vettoriali di una variabile reale, in particolare le curve parametriche e alcune loro proprietà di base

- i concetti fondamentali del calcolo infinitesimale e differenziale per le funzioni di più variabili reali, il calcolo integrale di funzioni di due variabili, gli integrali di prima specie

- i concetti fondamentali del calcolo infinitesimale e differenziale per le funzioni di più variabili reali a valori reali vettoriali, in particolare la teoria dei campi vettoriali, gli integrali di seconda specie, i campi conservativi

- la teoria delle serie numeriche

- le equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili e lineari e le equazioni lineari del secondo ordine (in particolare a coefficienti costanti).

 

Lo studente è inoltre in grado di risolvere esercizi sugli argomenti trattati nel corso (DD2), in particolare di 

- individuare alcune semplici proprietà di una curva e calcolarne la lunghezza

- studiare continuità e differenziabilità di funzioni in più variabili e risolvere problemi di ottimizzazione libera e vincolata

- calcolare integrali doppi e integrali di prima specie

- calcolare integrali di seconda specie, stabilire se un campo vettoriale è conservativo ed eventualmente calcolarne un potenziale

- studiare il carattere di serie numeriche ed eventuali somme

- risolvere equazioni differenziali della tipologia gìa citata

Il docente si attende un'adeguata correttezza nei calcoli e un'esposizione ben argomentata della teoria.

Il docente si attende inoltre una comprensione della teoria non limitata all'enunciazione di definizioni e risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica ed in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli (DD3), giustificando i procedimenti seguiti. 


Argomenti trattati

ELEMENTI di TOPOLOGIA nello SPAZIO EUCLIDEO n-DIMENSIONALE. Intorno sferico, insieme aperto e insieme chiuso. Punto esterno, punto di frontiera, punto interno, punto d’accumulazione, punto isolato. Insieme limitato, compatto. Insieme connesso per archi e semplicemente connesso.

FUNZIONI vettoriali di una variabile reale. Dominio, limiti, continuità, derivata vettoriale.

FUNZIONI reali di n variabili reali. Dominio, immagine, grafico. Curve di livello. Limite finito o infinito per x®x0: proprietà. Calcolo di limiti e risoluzione di forme indeterminate. Funzioni continue in un punto e in un insieme, spazio vettoriale C(A); teorema di Weierstrass. Calcolo differenziale: derivate parziali, gradiente, derivate direzionali. Interpretazione geometrica delle derivate parziali e direzionali. Funzione differenziabile e piano tangente.  Formula del gradiente, teorema del differenziale totale. Gradiente e curve di livello, direzioni di massima e minima crescita.  Derivate di ordine superiore. Matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Spazi vettoriali Ck e C. Formula di Taylor. Ottimizzazione libera: punto di massimo/minimo locale/globale. Punti critici, teorema di Fermat. Forma quadratica. Matrice simmetrica associata ad una forma quadratica. Criterio di Hurwitz.  Studio della natura di un punto critico. Ottimizzazione vincolata: ricerca di estremi vincolati su domini con frontiera “elementarmente” parametrizzabile.

CURVE. Curva in forma parametrica. Curva chiusa, semplice, piana, cartesiana. Curve in forma polare. Curva rettificabile, lunghezza di una curva. Curva regolare e regolare a tratti, vettore tangente, formula per la lunghezza di una curva di classe . Curve equivalenti. Ascissa curvilinea, parametrizzazione canonica.

INTEGRALE di LINEA (di prima specie). Definizione per funzioni continue su curve C1 a tratti. Significato geometrico di area nel caso di curve in R2, proprietà e applicazioni.

CALCOLO INTEGRALE. Integrali multipli in. Insiemi x-semplici, y-semplici, semplici, regolari. Definizione di integrale doppio di funzioni continue su insiemi semplici e su insiemi regolari, interpretazione geometrica. Proprietà elementari di linearità, monotonia, additività rispetto all'insieme d'integrazione. Massa e baricentro di una lamina piana. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili: coordinate polari nel piano.

CAMPI VETTORIALI. Integrale di linea di un campo vettoriale (integrale di seconda specie). Interpretazione dell’integrale come lavoro.  Proprietà. Rotore, divergenza. Campo irrotazionale. Campo conservativo e potenziale. Lavoro di un campo conservativo come differenza di potenziale. Caratterizzazione di un campo conservativo.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. E.d.o. di ordine n, soluzione, integrale generale, forma normale. E.d.o. del primo ordine, problema di Cauchy, teorema di esistenza ed unicità locale. Equazione a variabili separabili. E.d.o. lineare del primo ordine omogenea e completa, forma dell’integrale generale in entrambi i casi. E.d.o. lineare del secondo ordine omogenea e completa. Spazio vettoriale delle soluzioni dell’equazione omogenea, relazione fra integrale generale dell’equazione completa e dell’equazione omogenea associata. Principio di sovrapposizione. Risoluzione di un’equazione lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti. Ricerca di una soluzione particolare dell’equazione completa con il metodo di “somiglianza”. Problema di Cauchy. Per questo argomento è previsto l'utilizzo di didattiva innovativa nella forma di Blended Learning & Flipped Classroom.


Prerequisiti

Gli argomenti trattati in Analisi Matematica 1 e Geometria sono prerequisiti di questo insegnamento (in particolare calcolo infinitesimale, differenziale ed integrale per funzioni di una variabile, calcolo matriciale, algebra lineare, teoria di base degli spazi vettoriali astratti). Inoltre si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nella scuola secondaria di secondo grado con particolare riferimento all'algebra dei polinomi, equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica, esponenziali e logaritmi e loro proprietà.


Modalità di valutazione

L’esame può essere superato presentandosi alle due prove in itinere o ad un appello d’esame.

Modalità: appello d’esame. L’esame consta di una prova scritta che si articola in due parti, dette convenzionalmente teoria ed esercizi, seguita da un eventuale orale. 

TeoriaLo scopo di questa parte è verificare la conoscenza e la comprensione degli argomenti in programma: il calcolo infinitesimale e differenziale per le funzioni di più variabili reali a valori reali, il calcolo integrale di funzioni di due variabili, le curve in forma parametrica, la teoria dei campi vettoriali (in particolare conservativi), l'integrazione di prima e seconda specie, la teoria delle serie numeriche e delle equazioni differenziali (dei tipi precisati nel programma). Questa parte di teoria contiene richieste di definizioni, enunciati, dimostrazioni, esempi, controesempi, quesiti a scelta multipla. La teoria si considera superata se lo studente ottiene almeno 5 punti su 10.

EserciziLo scopo della seconda parte è verificare la capacità di applicare le conoscenze acquisite allo studio di limiti, continuità e differenziabilità di funzioni di più variabili, alla risoluzione di problemi di ottimizzazione libera e vincolata, al calcolo di integrali doppi, allo studio di curve parametriche e calcolo di integrali curvilinei, alla risoluzione di problemi su campi vettoriali con eventuale calcolo di potenziale, allo studio del carattere di serie numeriche, alla risoluzione di equazioni differenziali (dei tipi precisati nel programma con eventuali problemi associati, in particolare problemi di Cauchy). La parte degli esercizi è superata se lo studente ottiene almeno 11 punti su 23.

Voto finale della prova scritta: Se ciascuna delle due parti è superata, sommandone i punteggi si ottiene il voto complessivo. La prova scritta si intende superata quando il voto complessivo è almeno 18. Tale voto sarà anche il voto finale del corso, se non c'è richiesta di prova orale. 

Modalità: prove in itinere. In alternativa alla prova scritta sull'intero programma, lo studente può presentarsi alle prove in itinere, ciascuna su (circa) la metà del programma. Le prove in itinere sono strutturate in due parti, ovvero Teoria e Esercizi, come la prova d'esame completa. Può sostenere la seconda prova in itinere solo chi ha superato la prima. Si è promossi se si superano la prima e la seconda parte di ciascuna delle due prove e, inoltre, la media dei punteggi totali delle due prove è almeno 18. In assenza di orale, la media così ottenuta è il voto finale conseguito.

Prova orale: A conclusione delle prove scritte (siano esse appello d’esame o prove in itinere), il/la docente si riserva la possibilità di richiedere una prova orale, che può comprendere sia domande teoriche che esercizi, su tutto il programma. D’altra parte, lo studente, che abbia riportato un voto sufficiente nelle prove in itinere o in un appello d’esame, può chiedere la prova orale per modificare, eventualmente, la valutazione ottenuta.


Bibliografia
Risorsa bibliografica facoltativaM. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2009, ISBN: 9788808122810
Risorsa bibliografica facoltativaC.Canuto, A.Tabacco, Analisi Matematica II, Editore: SPRINGER
Risorsa bibliografica facoltativaM.Boella, Analisi Matematica 2. Esercizi., Editore: Pearson, Anno edizione: 2014
Risorsa bibliografica facoltativaM.Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Editore: Esculapio, Anno edizione: 2012, ISBN: 978-88-7488-482-7
Risorsa bibliografica facoltativaS.Salsa, A.Squellati, Esercizi di Analisi matematica 2, Editore: Zanichelli

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
42:00
63:00
Esercitazione
30:00
39:59
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 72:00 102:59

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
schedaincarico v. 1.6.5 / 1.6.5
Area Servizi ICT
03/12/2020