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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2019/2020
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 083402 - CALCOLO NUMERICO ED ELEMENTI DI ANALISI
Docente Micheletti Stefano
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - BV (350) INGEGNERIA AEROSPAZIALE*AE083402 - CALCOLO NUMERICO ED ELEMENTI DI ANALISI
ZZZZ084343 - INTEGRAZIONE DI CALCOLO NUMERICO E COMPLEMENTI DI ANALISI

Obiettivi dell'insegnamento

Obiettivo formativo principale. L’insegnamento si propone di presentare e fornire, in maniera rigorosa e approfondita, gli strumenti di base del Calcolo Numerico e del Calcolo Scientifico; l’insegnamento si prefigge altresì lo scopo di presentare alcuni elementi fondamentali dell’analisi delle equazioni alle derivate parziali, motivati dalle applicazioni della modellistica matematica e della simulazione numerica ai problemi dell'Ingegneria. L’insegnamento si compone di una parte teorica e di una parte pratica svolta al calcolatore. Lo studente apprenderà così le basi del Calcolo Numerico con consapevolezza e senso critico, unitamente alle nozioni di base per lo sviluppo di un programma di calcolo efficiente; tra gli obiettivi principali vi è l’analisi dettagliata di concetti trasversali dell’analisi numerica, quali stabilità, convergenza, consistenza ed efficenza computazionale di un metodo numerico. Il software utilizzato per la parte di programmazione sarà MATLAB.

 

Obiettivi formativi metodologici. Fornire le principali metodologie numeriche utilizzate nell'Ingegneria con alcuni esempi applicativi. Sviluppare negli studenti la capacità critica per il loro utilizzo e l’analisi dei risultati ottenuti.

 

Obiettivi formativi secondari. Fornire le basi della programmazione in ambito scientifico-numerico.


Risultati di apprendimento attesi

Le lezioni frontali e i laboratori informatici consentiranno allo studente, previo superamento dell’esame, di conoscere e comprendere:

- i concetti base del Calcolo Numerico;

- i metodi numerici e gli algoritmi usati per la soluzione di svariati problemi matematici;

- le proprietà teoriche dei metodi numerici;

e, inoltre, di applicare conoscenza e comprensione:

- alla soluzione di problemi matematici mediante metodi numerici e tramite l’uso del calcolatore e del software MATLAB;

- all’implementazione degli algoritmi usando il software MATLAB;

- al ragionamento critico e l’interpretazione dei risultati ottenuti alla luce della teoria;

- alla scelta del metodo numerico più adeguato per la soluzione di un dato problema matematico;

- alla modellistica e simulazione numerica di problemi dell’Ingegneria indipendentemente dal proprio campo di specializzazione.

 

Il docente si attende una conoscenza e comprensione approfondita dei metodi e problemi trattati, non solo limitata all'enunciazione di risultati teorici e algoritmi e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica ed in grado di distinguere le diverse situazioni; in aggiunta, si attende che lo studente sia in grado di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti. Il docente si attende inoltre correttezza e precisione nei calcoli, oltre ad un'esposizione ben argomentata della teoria.


Argomenti trattati

1. Utilizzo del calcolatore nel Calcolo Numerico ed elementi di programmazione in MATLAB. Aritmetica finita di un calcolatore; rappresentazione floating-point dei numeri reali; epsilon macchina; problemi legati all'uso dell'aritmetica floating-point; i diversi tipi di errore nel processo computazionale; costo computazionale di un algoritmo. Programmazione in MATLAB, assegnazione di numeri e definizione di variabili; costruzione di vettori e matrici; principali operazioni scalari e vettoriali; cicli condizionati e non condizionati; rappresentazione grafica di una funzione; functions built-in; definizione di funzioni; il comando inline e gli m-files; lettura e scrittura su file; misura dell'elapsed time; l'help di MATLAB; alcune regole di buona programmazione; la fase di debugging.

 

2. Soluzione di sistemi lineari. Regola di Cramer, limiti e costo computazionale. Metodi diretti; fattorizzazione LU di una matrice; condizioni per l'esistenza e l'unicità della fattorizzazione LU; metodo di eliminazione di Gauss; metodo delle sostituzioni in avanti e all'indietro; pivoting per righe; pivoting totale; soluzione di un sistema tridiagonale e algoritmo di Thomas; fattorizzazione di Cholesky; stabilità di un sistema lineare e numero di condizionamento di una matrice; accuratezza della soluzione di un sistema lineare al calcolatore; implementazione della fattorizzazione LU e algoritmo di Thomas per un sistema di ordine n; il comando backslash in MATLAB; calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice tramite fattorizzazione LU; sistemi sovradeterminati, fattorizzazione QR. Metodi iterativi: costruzione di un generico metodo iterativo; metodi di Jacobi e Gauss-Seidel; il metodo di Richardson nelle sue varianti stazionario e dinamico, precondizionato e non precondizionato; risultati di convergenza; metodi del gradiente e del gradiente coniugato; implementazione dei metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, di Richardson e del gradiente; criteri d'arresto per schemi iterativi e loro qualità.

 

3. Calcolo di autovalori e autovettori. Metodi delle potenze dirette e inverse, con e senza shift; metodo QR; condizioni di applicabilità dei metodi e proprietà di convergenza; criteri di localizzazione geometrica degli autovalori; implementazione dei metodi delle potenze dirette ed inverse e metodo QR.

 

4. Calcolo di zeri di equazioni e sistemi non lineari. Metodo di bisezione; metodi di Newton; metodo delle iterazioni di punto fisso; zeri e punti fissi; proprietà di convergenza dei metodi; criteri d’arresto e loro proprietà; metodi di Newton e iterazioni di punto fisso per sistemi di equazioni non lineari; implementazione dei metodi di bisezione, Newton e punto fisso; il comando MATLAB fsolve.

 

5. Approssimazione di funzioni e di dati. Limiti dello sviluppo in serie di Taylor; interpolazione polinomiale semplice (forma di Lagrange); errore di approssimazione; i comandi MATLAB polyfit e polyval; il fenomeno di Runge; stabilità del polinomio interpolante; interpolazione semplice sui nodi di Chebyshev; interpolazione trigonometrica (cenni); interpolazione polinomiale composita; il comando Matlab interp1; funzioni spline; il comando MATLAB spline; retta di regressione, polinomio approssimante nel senso dei minimi quadrati.

 

6. Derivazione numerica. Differenze finite in avanti, all’indietro e centrate per l’approssimazione della derivata prima di funzione; differenze finite centrate per l’approssimazione della derivata seconda.

 

7. Integrazione numerica. Approssimazione di integrali definiti mediante le formule di quadratura di Newton-Cotes; grado di esattezza e ordine di convergenza; derivazione, interpretazione geometrica e principali proprietà delle formule di quadratura del rettangolo, del trapezio e di Cavalieri-Simpson, in forma semplice e composita; formule di quadratura di tipo Gaussiano; implementazione delle formule di quadratura di Newton-Cotes; verifica sperimentale dei corrispondenti ordini di accuratezza e gradi di esattezza.

 

8. Equazioni differenziali ordinarie. Il problema di Cauchy: richiamo dei principali risultati di esistenza e unicità della soluzione, stabilità di Liapunov; schemi numerici a un passo: Eulero in avanti, all'indietro, Crank-Nicolson; metodo di Heun; schemi espliciti e impliciti; accuratezza, consistenza e convergenza; zero-stabilità; assoluta stabilità condizionata e incondizionata, regioni di assoluta stabilità; metodi di Runge-Kutta; metodi multistep (cenni); soluzione di sistemi di equazioni differenziali del prim'ordine; theta-metodo; equazioni differenziali del secondo ordine (cenni); implementazione dei metodi di Eulero, Crank-Nicolson e Heun; esempi e applicazioni a modelli fisici (sistema massa-molla-smorzatore).

 

9. Equazioni ai valori al bordo ed equazioni alle derivate parziali. Equazioni alle derivate parziali: classificazione, problemi ben posti e unicità della soluzione (cenni), esempi. Problema di Poisson 1D; approssimazione numerica con uno schema alle differenze finite; trattamento delle condizioni al contorno di Dirichlet e Neumann; problemi di diffusione-trasporto-reazione; approssimazione di problemi di diffusione-trasporto a trasporto dominante; implementazione del metodo alle differenze finite e soluzione numerica per equazioni ai valori al bordo 1D. Il problema di Poisson in 2D; schema alla differenze finite a 5 punti per l’operatore di Laplace. Problemi ai valori al bordo e iniziali; l’equazione del calore nel caso 1D; approssimazione con differenze finite e theta-metodo; implementazione e soluzione numerica. Introduzione al metodo degli Elementi Finiti per il problema di Poisson 1D; forma debole delle equazioni; metodo di Galerkin; approssimazione con Elementi Finiti.


Prerequisiti

Sono necessarie conoscenze di analisi matematica, algebra lineare e geometria, così come previsto dai programmi degli insegnamenti di "Analisi e Geometria 1" e "Analisi e Geometria 2".


Modalità di valutazione

L'esame del corso si compone di:

(a) due prove scritte in itinere oppure di un'unica prova scritta da sostenersi durante uno degli appelli d’esame;

(b) una prova orale facoltativa, previo superamento della prova/e scritte con votazione complessiva maggiore o uguale a 26/30.

 

Le due prove scritte in itinere concorrono in egual misura al voto finale. L'accesso alla seconda prova in itinere è subordinato all'esito della prima prova, che deve essere  sufficiente. Il voto finale, solo nel caso in cui anche la seconda prova risultasse sufficiente, sarà ottenuto dalla media dei voti delle due prove in itinere; in caso contrario, dovrà essere sostenuta la prova scritta unica durante uno degli appelli d’esame. Non sono previsti recuperi parziali delle prove in itinere. La prova scritta unica si compone di due parti, ciascuna delle quali deve risultare sufficiente; il voto finale della prova scritta unica è ottenuto come media dei voti delle due parti. In caso di mancato superamento di una o entrambe le parti, deve essere ripetuta l’intera prova scritta unica in uno degli appelli d’esame successivi.

 

Ciascuna prova in itinere e parte della prova scritta unica è composta di un PreTest e di un Test: entrambi concorrono alla determinazione della valutazione della prova e/o parte. Il mancato superamento del PreTest, composto di quesiti a risposta aperta, determina il non superamento dell'intera prova scritta, indipendentemente dal risultato acquisito nel Test.

 

I quesiti e gli esercizi delle prove scritte riguardano sia aspetti teorici che pratici. Questi ultimi sono risolti al calcolatore tramite l’uso del software MATLAB; è prevista l’implementazione degli algoritmi tramite funzioni MATLAB. Lo studente deve: mostrare di conoscere e comprendere i metodi numerici, oltre che di valutarne le proprietà; scrivere ed interpretare algoritmi; scegliere lo schema numerico più adeguato per il risolvere un problema matematico; risolvere problemi matematici al calcolatore tramite MATLAB; implementare algoritmi in funzioni MATLAB e di utilizzarle opportunamente per risolvere problemi; ragionare criticamente e interpretare i risultati ottenuti alla luce della teoria; modellare e simulare numericamente problemi dell’Ingegneria.

 

La valutazione delle prove tiene conto della correttezza e precisione delle risposte fornite, della capacità di ragionamento critico, dell’abilità di implementazione in MATLAB degli algoritmi e della capacità di utilizzare MATLAB per risolvere problemi matematici e dell’Ingegneria.


Bibliografia
Risorsa bibliografica obbligatoriaA. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, Calcolo Scientifico. Esercizi e problemi risolti con MATLAB e Octave, Editore: Springer, Anno edizione: 2017, ISBN: 978-88-470-3953-7
Risorsa bibliografica facoltativaA. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, Matematica Numerica, Editore: Springer, Anno edizione: 2014, ISBN: 978-88-470-5644-2
Risorsa bibliografica facoltativaA. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, Scientific Computing with MATLAB and Octave, Editore: Springer, Anno edizione: 2014, ISBN: 978-3-642-45367-0
Note:

(English)


Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
60:00
90:00
Esercitazione
0:00
0:00
Laboratorio Informatico
40:00
60:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 100:00 150:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese
Possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese
schedaincarico v. 1.6.5 / 1.6.5
Area Servizi ICT
11/08/2020