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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2019/2020
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 078047 - METODI ANALITICI E NUMERICI DELLE E.D.P.
  • 078045 - METODI ANALITICI E NUMERICI DELLE E.D.P. (1)
Docente Salsa Sandro
Cfu 5.00 Tipo insegnamento Modulo Di Corso Strutturato

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (365) INGEGNERIA MATEMATICA*AZZZZ094892 - METODI ANALITICI DELLE E.D.P.
078047 - METODI ANALITICI E NUMERICI DELLE E.D.P.
Ing Ind - Inf (Mag.)(ord. 270) - BV (478) NUCLEAR ENGINEERING - INGEGNERIA NUCLEARE*AZZZZ094892 - METODI ANALITICI DELLE E.D.P.

Obiettivi dell'insegnamento

Il contenuto della presente scheda si riferisce anche all'insegnamento in unione-corso denominato 094892 - METODI ANALITICI DELLE E.D.P. (5 CFU).

Lezioni: presentare le più comuni equazioni della meccanica dei continui ed analizzarne le principali caratteristiche modellistico/analitiche. Esaminare la formulazione variazionale dei casi più semplici.

Esercitazioni: imparare a gestire le tecniche di separazione di variabili e l'uso delle caratteristiche per la ricerca di soluzioni esplicite.


Risultati di apprendimento attesi

Lo studente:

1. conosce i principali modelli di diffusione, stazionari ed evolutivi, di trasporto, di vibrazione (onde). Di questi modelli conosce le caratteristiche salienti: principi di massimo, caratteristiche e velocità di propagazione, connessione con metodi probabilistici, formule di rappresentazione. Conosce i teoremi fondamentali di Analisi Funzionale negli spazi di Hilbert;

2. sa ricostruire i modelli citati dalle leggi generali della meccanica dei continui e appropriate leggi costitutive. Sa analizzare e dimostrare le proprietà caratteristiche di ognuno dei modelli presentati. Sa usare i teoremi astratti di Analisi Funzionale per formulare ed analizzare semplici problemi al bordo per equazioni di Laplace-Poisson.


Argomenti trattati

1. Equazione di diffusione. Legge di Fourier; principali problemi iniziali/al bordo. Principi di massimo e di confronto. Soluzione fondamentale e connessione con passeggiata aleatoria e moto Browniano. Problema di Cauchy globale. Opzionale: applicazione all'equazione di Black-Scholes in finanza; equazione dei mezzi porosi.

2. Equazione di Laplace/Poisson. Problemi ben posti. Funzioni armoniche nel discreto. Principi di media e di massimo. Soluzione fondamentale e funzione di Green. Rappresentazione mediante potenziali (Newtoniani, di doppio e semplice strato).

3. Leggi di conservazione unidimensionali. Modello di trasposto lineare. Modelli di traffico. Onde d'urto e di rarefazione. Condizioni di Rankine-Hugoniot. Soluzioni deboli. Unicità e soluzioni entropiche. Problema di Riemann.

4. Equazione delle onde. Energia ed unicità per problemi iniziali/al bordo. Formula di d'Alembert per la corda vibrante. Soluzione fondamentale e principio di Huygens forte in tre dimensioni. Formula di Kirkhoff. Formula di Poisson nel caso 2-d.

5. Elementi di Analisi degli spazi di Hilbert. Teoremi di proiezione, di Riesz, di Lax-Milgram. Soluzione di problemi variazionali ellittici.


Prerequisiti

Calcolo differenziale ed integrale in una e più dimensioni. Formule di Gauss, serie di funzioni, serie di Fourier. Nozioni di convergenza semplice, uniforme ed in media quadratica. Equazioni differenziali ordinarie: esistenza ed unicità, equazioni lineari. Ottimizzazione. Eventi, probabilità, densità di probabilità, teorema delle probabilità totali, indipendenza, convergenza in legge e quasi certa. Integrale secondo Lebesgue e spazi di funzioni p-sommabili. Teorema della convergenza dominata. 


Modalità di valutazione

L'esame consiste in una prova scritta e in un colloquio orale. La prova scritta può essere sostenuta durante la pausa a metà semestre ("prova in itinere")  oppure in una delle date fissate durante le sessioni estiva ("prova in itinere" oppure "appello d'esame"), autunnale o invernale, secondo il calendario predisposto dalla Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione. La prova scritta è composta di semplici esercizi e non viene valutata numericamente ma solo come "sufficiente" o "insufficiente". In caso di esito insufficiente, la prova va ripetuta interamente in una data successiva. In caso di esito sufficiente, lo studente è ammesso alla prova orale, in data che viene concordata con il docente.

 

In sede di esame scritto, lo studente dovrà:

  1. saper risolvere semplici esercizi sul metodo di separazione delle variabili per problemi al contorno riguardanti le equazioni del calore e delle onde, in dimensione spaziale 1 e l'equazione di Laplace in dimensione 2, anche in connessione con aspetti teorici e modellistici;
  2. saper risolvere semplici esercizi sul metodo delle caratteristiche per problemi di Cauchy globale riguardanti leggi di conservazione quasilineari del primo ordine, anche in connessione con aspetti teorici e modellistici.

In sede di esame orale, lo studente dovrà:

  • dimostrare di conoscere definizioni, enunciati di teoremi e dimostrazioni presentati durante il corso, concernenti l'equazione di diffusione, l'equazione di Laplace, le leggi di conservazione, l'equazione delle onde, la teoria degli spazi di Hilbert e degli spazi di Sobolev. 
  • saper discutere criticamente esempi e contro esempi ai risultati teorici presentati. 

Bibliografia
Risorsa bibliografica obbligatoriaS. Salsa, Equazioni a Derivate Parziali. Metodi, modelli e applicazioni, Editore: Springer, Anno edizione: 2016, ISBN: 978-88-470-1645-3
Risorsa bibliografica facoltativaS. Salsa, Partial Differential Equations in Actions. From Modelling to Theory, Editore: Springer, Anno edizione: 2016, ISBN: 978-88-470-0751-2
Risorsa bibliografica facoltativaS. Salsa, G. Verzini, Partial Differential Equations in Action: Complements and Exercises, Editore: Springer, Anno edizione: 2015, ISBN: 978-3-319-15415-2

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
33:00
49:30
Esercitazione
17:00
25:30
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 50:00 75:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese
Possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese
schedaincarico v. 1.6.1 / 1.6.1
Area Servizi ICT
21/01/2020