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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2019/2020
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 078047 - METODI ANALITICI E NUMERICI DELLE E.D.P.
Docente Salsa Sandro , Zunino Paolo
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Corso Integrato

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (365) INGEGNERIA MATEMATICA*AZZZZ078047 - METODI ANALITICI E NUMERICI DELLE E.D.P.
094892 - METODI ANALITICI DELLE E.D.P.
Ing Ind - Inf (Mag.)(ord. 270) - BV (478) NUCLEAR ENGINEERING - INGEGNERIA NUCLEARE*AZZZZ094892 - METODI ANALITICI DELLE E.D.P.
094961 - METODI NUMERICI DELLE E.D.P.

Obiettivi dell'insegnamento

L'insegnamento è un corso integrato che si compone di due moduli da 5 CFU ciascuno: la parte analitica 078045 METODI ANALITICI E NUMERICI DELLE E.D.P. (1) in unione-corso con 094892 - METODI ANALITICI DELLE E.D.P. (5 CFU), e la parte numerica 078046 METODI ANALITICI E NUMERICI DELLE E.D.P. (2) in unione-corso con 094961 - METODI NUMERICI DELLE E.D.P. (5 CFU).

 

Le equazioni differenziali alle derivate parziali (EDP) sono uno strumento essenziale per la modellizzazione in ambito scientifico-tecnologico. Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio, l'insegnamento si propone quanto segue.

 

Parte Analitica

Lezioni: presentare le più comuni equazioni della meccanica dei continui ed analizzarne le principali caratteristiche modellistico/analitiche. Esaminare la formulazione variazionale dei casi più semplici.

Esercitazioni: imparare a gestire le tecniche di separazione di variabili e l'uso delle caratteristiche per la ricerca di soluzioni esplicite.

 

Parte Numerica

Fornire allo studente gli elementi di base per la costruzione, l’analisi e l’implementazione al calcolatore dei principali schemi numerici basati sulle differenze finite e sugli elementi finiti per l’approssimazione di EDP ellittiche (in una e due dimensioni spaziali), EDP paraboliche e leggi di conservazione scalare (nel caso di una dimensione spaziale). 

 


Risultati di apprendimento attesi

Parte Analitica

Lo studente:

1. conosce i principali modelli di diffusione, stazionari ed evolutivi, di trasporto, di vibrazione (onde). Di questi modelli conosce le caratteristiche salienti: principi di massimo, caratteristiche e velocità di propagazione, connessione con metodi probabilistici, formule di rappresentazione. Conosce i teoremi fondamentali di Analisi Funzionale negli spazi di Hilbert;

2. sa ricostruire i modelli citati dalle leggi generali della meccanica dei continui e appropriate leggi costitutive. Sa analizzare e dimostrare le proprietà caratteristiche di ognuno dei modelli presentati. Sa usare i teoremi astratti di Analisi Funzionale per formulare ed analizzare semplici problemi al bordo per equazioni di Laplace-Poisson. 

Parte Numerica

Lo studente : 

1. conosce schemi numerici (sia alle differenze finite che agli elementi finiti) e ne comprende la costruzione per l’approssimazione della soluzione di alcune classi di semplici equazioni differenziali alle derivate parziali. Inoltre conosce i teoremi che permettono di analizzare le proprietà di consistenza, stabilità e convergenza di tali schemi numerici;


2. sa applicare schemi numerici per la soluzione approssimata di equazioni differenziali alle derivate parziali che modellizzano semplici fenomeni reali, sa utilizzare la piattaforma Matlab per fornirne un’implementazione al calcolatore, e sa applicare la teoria per interpretare i risultati ottenuti dalla simulazione numerica.

 


Argomenti trattati

Parte Analitica

1. Equazione di diffusione. Legge di Fourier; principali problemi iniziali/al bordo. Principi di massimo e di confronto. Soluzione fondamentale e connessione con passeggiata aleatoria e moto Browniano. Problema di Cauchy globale. Opzionale: applicazione all'equazione di Black-Scholes in finanza; equazione dei mezzi porosi.

2. Equazione di Laplace/Poisson. Problemi ben posti. Funzioni armoniche nel discreto. Principi di media e di massimo. Soluzione fondamentale e funzione di Green. Rappresentazione mediante potenziali (Newtoniani, di doppio e semplice strato)

3. Leggi di conservazione unidimensionali. Modello di trasposto lineare. Modelli di traffico. Onde d'urto e di rarefazione. Condizioni di Rankine-Hugoniot. Soluzioni deboli. Unicità e soluzioni entropiche. Problema di Riemann.

4. Equazione delle onde. Energia ed unicità per problemi iniziali/al bordo. Formula di d'Alembert per la corda vibrante. Soluzione fondamentale e principio di Huygens forte in tre dimensioni. Formula di Kirkhoff. Formula di Poisson nel caso 2-d.

5. Elementi di Analisi degli spazi di Hilbert. Teoremi di proiezione, di Riesz, di Lax-Milgram. Soluzione di problemi variazionali ellittici.

 

Parte Numerica

Parte Prima: Metodi Numerici basati sulle Differenze Finite.
Alcuni risultati preliminari: approssimazione delle derivate del primo e secondo ordine tramite rapporti incrementali. 

Il metodo delle differenze finite per l'equazione di Laplace-Poisson monodimensionale: Formulazione algebrica, proprietà della matrice. Consistenza, stabilità e convergenza del metodo. 

Il metodo delle differenze finite per l'equazione di diffusione del calore monodimensionale: Formulazione algebrica. Avanzamento in tempo tramite il theta-metodo. Studio dell'assoluta stabilità del theta metodo. Proprietà di consistenza, stabilità e convergenza del theta metodo. 

Il metodo delle differenze finite per l'equazione di Laplace-Poisson bidimensionale: Lo schema a 5 punti e sua formulazione algebrica. 

Il metodo delle differenze finite per l'equazione di diffusione-trasporto monodimensionale: Analisi di uno schema centrato tramite equazioni alle differenze. Il numero di Peclet e l'instabilità dello schema. Metodi di stabilizzazione: lo schema upwind e la diffusione artificiale.

Il metodo delle differenze finite per  leggi di conservazione scalari: gli schemi Eulero in avanti centrato, Upwind, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff ed Eulero all'indietro centrato. Proprietà di consistenza e convergenza. La condizione CFL e proprietà di stabilità. Analisi di Von Neumann e proprietà di stabilità.

 

Parte Seconda: Metodi Numerici basati sugli Elementi Finiti

Il metodo degli elementi finiti per l'equazione di Laplace-Poisson: introduzione al metodo di Galerkin e sue proprietà di consistenza, stabilità e convergenza. Il metodo degli elementi finiti lineari nel caso monodimensionale e bidimensionale. Alcuni dettagli sull’implementazione del metodo agli elementi finiti. Stime di interpolazione ed ordine di convergenza del metodo degli elementi finiti lineari.

Il metodo degli elementi finiti per l'equazione di diffusione-trasporto-reazione monodimensionale: il metodo degli elementi finiti, insorgenza di instabilità e relazione con il metodo delle differenze finite. Tecniche di stabilizzazione con diffusione artificiale di tipo upwind per problemi di diffusione trasporto. La tecnica del mass lumping per un problema di diffusione-reazione. Discussione dell'estensione al caso  bidimensionale.

Il metodo degli elementi finiti per l'equazione del calore monodimensionale: Approssimazione mediante elementi finiti: il problema semi-discretizzato, Il problema completamente discretizzato tramite il theta-metodo. Proprietà di convergenza e stabilità del theta metodo.

 


Prerequisiti

Parte Analitica: 

Calcolo differenziale ed integrale in una e più dimensioni. Formule di Gauss, serie di funzioni, serie di Fourier. Nozioni di convergenza semplice, uniforme ed in media quadratica. Equazioni differenziali ordinarie: esistenza ed unicità, equazioni lineari. Ottimizzazione. Eventi, probabilità, densità di probabilità, teorema delle probabilità totali, indipendenza, convergenza in legge e quasi certa. Integrale secondo Lebesgue e spazi di funzioni p-sommabili. Teorema della convergenza dominata.

 

Parte Numerica: 

Si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti trattati negli insegnamenti di "Analisi Matematica I", "Analisi Matematica II" e "Algebra Lineare e Geometria". Inoltre si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti trattati nell'insegnamento di "Matematica Numerica" con particolare riferimento ai metodi numerici per la soluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari e di sistemi di equazioni differenziali ordinarie.

 


Modalità di valutazione

Parte Analitica

L'esame della parte Analitica consiste in una prova scritta e in un colloquio orale. La prova scritta può essere sostenuta durante la pausa a metà semestre ("prova in itinere")  oppure in una delle date fissate durante le sessioni estiva ("prova in itinere" oppure "appello d'esame"), autunnale o invernale, secondo il calendario predisposto dalla Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione. La prova scritta è composta di semplici esercizi e non viene valutata numericamente ma solo come "sufficiente" o "insufficiente". In caso di esito insufficiente, la prova va ripetuta interamente in una data successiva. In caso di esito sufficiente, lo studente è ammesso alla prova orale, in data che viene concordata con il docente.

 

In sede di esame scritto, lo studente dovrà:

  1. Saper risolvere semplici esercizi sul metodo di separazione delle variabili per problemi al contorno riguardanti le equazioni del calore e delle onde, in dimensione spaziale 1, anche in connessione con aspetti teorici e modellistici.
  2. Saper risolvere semplici esercizi sul metodo delle caratteristiche per problemi di Cauchy globale riguardanti leggi di conservazione quasilineari del primo ordine, anche in connessione con aspetti teorici e modellistici.

In sede di esame orale, lo studente dovrà:

  • dimostrare di conoscere definizioni, enunciati di teoremi e dimostrazioni presentati durante il corso, concernenti l'equazione di diffusione, l'equazione di Laplace, le leggi di conservazione, l'equazione delle onde, la teoria degli spazi di Hilbert e degli spazi di Sobolev. 
  • Saper discutere criticamente esempi e contro esempi ai risultati teorici presentati. 

 

Parte Numerica

L'esame della Parte Numerica consiste in una prova scritta e in un colloquio orale facoltativo. Lo studente ha diritto di accedere alla prova orale se ha ottenuto un voto nello scritto maggiore o uguale a 18/30. Il colloquio orale può aumentare, lasciare invariato o diminuire il voto ottenuto nella prova scritta. La prova scritta può essere sostenuta in una delle date fissate durante le sessioni estiva ("prova in itinere" oppure "appello d'esame"), autunnale o invernale, secondo il calendario predisposto dalla Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione. La data del colloquio orale viene comunicata dal docente in occasione della prova scritta. Nel caso in cui dopo il colloquio orale l'esito complessivo dell'esame risulti insufficiente, l'intero esame (prova scritta ed colloquio orale facoltativo) deve essere ripetuto in una delle date successive.

 

In sede di esame scritto, lo studente dovrà:

  1. Conoscere, comprendere e saper applicare i principali risultati di teoria per rispondere a domande ed esercizi riguardanti la costruzione di schemi numerici per l’approssimazione di EDP e l’analisi delle loro proprietà di consistenza, stabilità e convergenza. 
  2. Saper utilizzare la piattaforma Matlab per rispondere ad esercizi che richiedono: (a) l’implementazione degli schemi numerici visti durante l'insegnamento (o della medesima tipologia ed equivalente livello di complessità); (b) l’analisi critica dei risultati numerici ottenuti. 

 

In sede di esame orale, lo studente dovrà:

  • dimostrare di conoscere e comprendere le principali definizioni e teoremi inerenti gli schemi numerici presentati durante l'insegnamento con particolare attenzione alle loro proprietà di consistenza, stabilità e convergenza. 
  • mostrare autonomia di giudizio nel discutere criticamente le principali differenze tra gli schemi numerici presentati durante l'insegnamento. 
  • mostrare chiarezza espositiva nell'esporre le proprie argomentazioni.

 

Esame completo

L'esame completo si ritiene superato solo nel caso in cui gli esami di entrambe le parti siano stati superati positivamente all'interno della stessa sessione (prova in itinere + estiva, oppure autunnale, oppure invernale). In tale caso il voto proposto risulta dalla media aritmetica delle valutazioni degli esami delle due parti, eventualmente arrotondata per eccesso. Se al termine di una sessione un esame delle due parti risultasse superato e l'altro no, durante la sessione successiva sarà necessario sostenere gli esami di entrambe le parti ex novo.

Bibliografia
Risorsa bibliografica obbligatoriaS. Salsa, Equazioni a Derivate Parziali. Metodi, modelli e applicazioni, Editore: Springer, Anno edizione: 2016
Risorsa bibliografica obbligatoriaS. Salsa, G. Verzini, Equazioni a Derivate Parziali. Complementi ed esercizi, Editore: Springer, Anno edizione: 2005
Risorsa bibliografica obbligatoriaS. Salsa, Partial Differential Equations in Actions. From Modelling to Theory, Editore: Springer, Anno edizione: 2015
Risorsa bibliografica obbligatoriaA. Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Editore: Springer https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-88-470-0842-7
Note:

ebook disponibile gratuitamente per studenti Polimi

Risorsa bibliografica obbligatoriaA. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri,, Matematica Numerica, Editore: Springer https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-88-470-0842-7
Note:

ebook disponibile gratuitamente per studenti Polimi.


Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
62:00
100:00
Esercitazione
16:00
25:00
Laboratorio Informatico
22:00
25:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 100:00 150:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di materiale didattico/slides in lingua inglese
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese
Possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese
schedaincarico v. 1.6.1 / 1.6.1
Area Servizi ICT
26/01/2020