Obiettivo del corso è far acquisire agli studenti le prime nozioni e i primi strumenti indispensabili alla costruzione, all’analisi e alla comprensione di modelli matematici per l’ingegneria. I contenuti del corso riguardano le basi del calcolo infinitesimale per funzioni di una variabile (limiti, continuita', derivabilita', integrabilita' di funzioni reali di una variabile reale) e un'introduzione alle equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Nella seconda parte del corso, di natura piu' geometrica, viene presentato lo spazio euclideo multi-dimensionale con elementi di calcolo vettoriale e di geometria analitica spaziale (piani, rette, sfere, circonferenze). Infine si fornisce un'introduzione alle curve parametriche nel piano e nello spazio.

Le lezioni e le esercitazioni consentiranno allo studente di

conoscere e comprendere

• i concetti fondamentali del calcolo infinitesimale
• le equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari e a variabili separabili
• la formalizzazione dello spazio multi-dimensionale
• la nozione di vettore e le operazioni vettoriali
• le equazioni di piani, rette, sfere e circonferenze nello spazio tridimensionale
• alcuni aspetti delle curve parametriche

applicare conoscenza e comprensione

• al calcolo dei limiti di funzioni e di successioni
• al calcolo delle derivate di funzioni
• allo studio e alla rappresentazione grafica di funzioni assegnate
• al calcolo di integrali e alla valutazione della loro convergenza
• al calcolo vettoriale
• alla determinazione e al riconoscimento delle equazioni di piani, rette, sfere e circonferenze nello spazio
• all'analisi delle posizioni mutue di piani, rette, sfere e circonferenze nello spazio
• al calcolo di alcune quantita' caratterizzanti le curve parametriche (p.es. la loro lunghezza)

Il docente si attende una comprensione non limitata all'enunciazione di definizioni e risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica ed in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti. Si attende inoltre un'adeguata correttezza nei calcoli e un'esposizione ben argomentata della teoria.

1. Numeri reali e complessi 

Numeri razionali e numeri reali. Maggiorante, minorante, massimo e minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali. Numeri complessi e loro algebra: forma trigonometrica, significato geometrico di somma e prodotto, formula di De Moivre, radici n-esime, formula di Eulero, forma esponenziale.

2. Limiti e continuità

Funzioni di variabile reale. Grafici delle funzioni elementari. Funzioni composte, funzioni monotone, funzioni inverse. Successioni. Definizioni di limite. Unicità del limite. Teorema della permanenza del segno e del confronto. Teorema di convergenza di successioni monotone. Il numero di Nepero. Limiti notevoli e proprietà asintotiche. Infinitesimi ed infiniti e loro confronto. Continuità e principali teoremi sulle funzioni continue (di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi). Discontinuità. Funzioni monotone e loro principali proprietà. 

3. Calcolo differenziale

Concetto di derivata. Continuità delle funzioni derivabili. Algebra delle derivate. Teoremi di Fermat, del valor medio (o di Lagrange) e di de l'Hospital. Test di monotonia e di riconoscimento dei punti stazionari. Funzioni convesse/concave, punti di flesso. Studio del grafico di una funzione. Formula di Taylor.

4. Calcolo integrale

Integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale. Funzione integrale. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Teorema della media integrale. Primitive e integrali indefiniti. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di primitive: integrazione di funzioni razionali fratte, per sostituzione e per parti. Integrali generalizzati. Criteri di convergenza.

5. Equazioni differenziali ordinarie

Integrale generale delle equazioni a variabili separabili e delle equazioni lineari del primo ordine. Problema di Cauchy per le equazioni del primo ordine.

6. Vettori ed elementi di geometria analitica del piano e dello spazio

Lo spazio euclideo n-dimensionale. Prodotto scalare, norma, distanza, angoli, basi ortonormali e proiezioni ortogonali. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz n-dimensionale. Prodotto vettoriale e area, prodotto misto e volume nello spazio tridimensionale. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani nello spazio. Distanze punto-piano e punto-retta. Fasci di piani. Equazioni di circonferenze nel piano e di sfere nello spazio.

7. Curve nel piano e nello spazio, integrali di linea

Curve nel piano e nello spazio: forma parametrica, lunghezza di una curva, parametro d'arco. Integrali di linea di prima specie. Versori tangente, normale, binormale (terna intrinseca) e piani coordinati. Curvatura, raggio di curvatura, cerchio osculatore. Applicazioni fisiche.

Allo studente sono richieste le seguenti conoscenze di base: operazioni con polinomi algebrici, risoluzione di equazioni algebriche di primo e secondo grado, calcolo esponenziale e logaritimico, elementi di trigonometria, disequazioni algebriche e trigonometriche.

Sono previsti quattro appelli d'esame, nelle date stabilite dal calendario accademico (una in gennaio-febbraio, due in giugno-luglio, una a settembre). Sono inoltre previste due prove in itinere (una nell'interruzione di meta' corso e l'altra in gennaio-febbraio). L'esame puo' essere superato sostenendo con votazione sufficiente entrambe le prove in itinere oppure uno degli appelli. Solo chi supera la prima prova in itinere e' ammesso a sostenere la seconda prova.

Ciascuna prova in itinere si compone di due parti

• Prima parte: una domanda alla quale rispondere in modo articolato (per esempio: enunciare e dimostrare un teorema, scrivere una definizione,
  fornire un esempio o un controesempio).
• Seconda parte: due esercizi.

Ciascun appello si compone di due parti

• Prima parte: due domande alle quali rispondere in modo articolato (per esempio: vedi sopra).
• Seconda parte: quattro esercizi.
   

La prima parte svolta viene ritirata prima dello svolgimento della seconda parte.

I punteggi sono cosi' suddivisi:

• prima parte 4/16 (prove in itinere) oppure 8/32 (appelli)
• seconda parte 12/16 (prove in itinere) oppure 24/32 (appelli).

La prova risultera' sufficiente se il voto della prima parte sara' pari ad almeno 2 (prove in itinere) o 4 (appelli) e quello della seconda parte pari ad almeno 7 (prove in itinere) o 14 (appelli). Nel caso in cui la prima prova in itinere non risulti sufficiente non si potra' sostenere la seconda prova.

A discrezione del docente, uno studente che abbia superato entrambe le prove in itinere o la prova scritta dell'appello, potra' essere convocato a sostenere  una prova orale.

L'esame ha l'obiettivo di verificare se lo studente abbia acquisito in maniera adeguata le seguenti competenze:

Prima parte: la conoscenza

• dei concetti fondamentali del calcolo infinitesimale (limiti, continuita', derivabilita', integrabilita' di funzioni reali di variabile reale)
• dello spazio euclideo multi-dimensionale e delle operazioni che si possono compiere tra i vettori
• degli enti fondamentali della geometria analitica tridimensionale (piani, rette, sfere, circonferenze)
• della definizione di curva parametrica e di alcune sue caratteristiche

Seconda parte: la capacita' di applicare le conoscenze acquisite

• al calcolo dei limiti di successioni e di funzioni
• al calcolo delle derivate di funzioni
• all'uso delle derivate per l'analisi della monotonia delle funzioni
• alla rappresentazione grafica di funzioni assegnate
• al calcolo degli integrali e alla valutazione della loro convergenza
• alla risoluzione di semplici equazioni differenziali ordinarie del primo ordin
• alle operazioni principali tra vettori del piano e dello spazio
• alla determinazione delle equazioni di piani, rette, sfere, circonferenze nello spazio e all'analisi delle loro posizioni mutue
• al calcolo di alcune quantita' fondamentali associate alle curve parametriche (p.es. la loro lunghezza)