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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2019/2020
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 082919 - ANALISI MATEMATICA I E GEOMETRIA
Docente Boella Marco Ugo Claudio
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - BV (394) INGEGNERIA GESTIONALE*CIH082919 - ANALISI MATEMATICA I E GEOMETRIA

Obiettivi dell'insegnamento

L’insegnamento si inserisce all’interno del percorso degli studi perseguendo alcuni degli obiettivi generali di apprendimento. In particolare, l’insegnamento contribuisce allo sviluppo delle capacità di: comprensione dei principi scientifici ed ingegneristici fondamentali e la loro declinazionenelle principali tecnologie adottate in impresa.

Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio previsti della scheda SUA-CdS, l'insegnamento si propone di fornire allo studente i principi fondamentali del calcolo infinitesimale e differenziale. Gli insiemi numerici. Le funzioni reali di variabile reale: limiti continuità e comportamento asintotico. Il calcolo differenziale: derivabilità, monotonia e convessità, ricerca di massimi e minimi, formula di Taylor e sue applicazioni al comportamento asintotico delle funzioni. Studio del grafico di una funzione. Calcolo integrale per le funzioni di una variabile reale ed lo studio di successioni e serie numeriche. Il calcolo vettoriale nel piano e nello spazio e le sue applicazioni alla geometria analitica.

Ulteriore obiettivo è la preparazione dello studente all'applicazione delle tecniche analitiche alle altre discipline ingegneristiche.

 


Risultati di apprendimento attesi

Si attendono la conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile. Lo studente sarà in particolare in grado di risolvere operazioni ed equazioni con i numeri complessi in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale, di procedere allo studio qualitativo dei grafici delle funzioni, di risolvere problemi di integrazione e convergenza di integrali impropri, di discutere il carattere di successioni e serie numeriche, di conoscere le operazioni fondamentali sui vettori geometrici e la loro applicazione alla risoluzioni di semplici problemi geometrici, di sapere enunciare e dimostrare alcuni teoremi di base dell'Analisi Matematica.

Il docente si attende una comprensione non limitata all'enunciazione di definizioni e risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica ed in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti.

Si attende inoltre un'adeguata correttezza nei calcoli e un'esposizione ben argomentata della teoria.


Argomenti trattati

INSIEMI NUMERICI

I numeri reali: numeri naturali, principio di induzione, numeri interi e razionali. I numeri reali: principio di completezza. Estremo superiore ed estremo inferiore.  Ordine e disuguaglianze.

 

NUMERI COMPLESSI

Rappresentazione algebrica, modulo, coniugato, piano di Gauss, rappresentazione trigonometrica e esponenziale, formula di de Moivre, radice n-esima, risoluzione di equazioni, sottoinsiemi del piano di Gauss definiti da disuguaglianze.

 

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

Nozioni di base: definizione, dominio, immagine, grafico. Grafico delle funzioni elementari. Operazioni elementari sui grafici. Simmetrie di grafici. Funzioni monotone. Funzioni invertibili e loro inverse. Grafico della funzione inversa. Funzione composta.

Successioni: Definizione di successione. Successioni convergenti, divergenti e irregolari. Unicità del limite. Algebra dei limiti. Permanenza del segno. Successioni monotone. Esistenza del limite di successioni monotone. Criterio del confronto, del rapporto, limiti notevoli.

Limiti e continuità di funzioni: definizione, principali proprieta': unicità del limite, permanenza del segno algebra dei limiti, teorema del confronto, limiti notevoli. Continuità. Classificazione delle discontinuità. Teoremi sulle funzioni continue; teorema degli zeri, teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Applicazioni.

Calcolo differenziale: definizione di derivata, regole fondamentali di derivazione, derivate delle funzioni elementari. Teoremi sulle funzioni derivabili. Classificazione dei punti stazionari. Funzioni convesse. Applicazioni a problemi di ottimizzazione (ricerca di massimi e minimi). Studio di funzioni. Ordini di grandezza (asintotico, o piccolo), Teorema di de l'Hopital. Formula di Taylor: resto secondo Peano, resto secondo Lagrange . Applicazioni della formula di Taylor: calcolo di limiti, approssimazione.  

Calcolo integrale: Costruzione dell'integrale.  Proprietà dell'integrale. Teorema della media integrale, Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione: per parti, per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali. Integrali generalizzati, definizione e criteri di convergenza. Funzioni integrali.

 

SERIE NUMERICHE

Serie numeriche, definizione. Serie Notevoli. Serie a termini positivi. Criteri di convergenza: confronto, confronto asintotico, radice, rapporto, integrale. Serie a termini di segno qualunque. Convergenza semplice e convergenza assoluta. Criterio di Leibniz.

 

CALCOLO VETTORIALE

Vettori geometrici nel piano e nello spazio, definizione, operazioni e proprietà. Prodotto scalare. Prodotto vettoriale e prodotto misto.



ELEMENTI DI GEOMETRIA NEL PIANO E NELLO SPAZIO

Rette nel piano. Rette e piani nello spazio: equazioni parametriche e cartesiane. Mutue posizioni. Distanze. Angoli.

 

 

 

 

 

 


Prerequisiti

Si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nella scuola secondaria di secondo grado con particolare riferimento all'algebra dei polinomi, equazioni, disequazioni e sistemi di primo e secondo grado, trigonometria, principi di geometria euclidea(aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica. Esponenziali e logaritmi e loro proprietà.


Modalità di valutazione

L’esame può essere superato attraverso due prove in itinere o presentandosi a uno degli appelli di luglio, settembre o febbraio. Secondo la prima modalità - la cui partecipazione non è obbligatoria, ma fortemente consigliata - il programma d’esame riguarderà parti distinte del programma. Se il voto ottenuto in una prova è sufficiente, esso concorre alla valutazione finale, determinata come media aritmetica dei risultati parziali. Gli appelli successivi al primo perdono memoria di eventuali valutazioni parziali e riguardano l’intero programma d’esame. In entrambi i casi, nella composizione del voto si terrà conto anche della chiarezza di esposizione. I quesiti presenti nelle prove d'esame possono essere esercizi, definizioni, esempi, contro esempi e teoremi eventualmente con dimostrazione. A discrezione del docente, uno studente che abbia superato entrambe le prove in itinere o la prova scritta dell'appello, potrà essere convocato a sostenere una prova orale.

Lo studente dovrà, in sede di esame:

  1. calcolare massimi, minimi ed estremi superiori ed inferiori di insiemi numerici;
  2. rappresentare in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale numeri complessi e risolvere equazioni e disequazioni di variabile complessa con descrizione grafica dei risultati;
  3. risolvere dei limiti di funzioni e di successioni con eventuale utilizzo degli sviluppi asintotici;
  4. studiare una funzione (dominio, segno, limiti, asintoti, calcolo della derivata prima, punti di non derivabilità, monotonia, massimi e minimi, calcolo della derivata seconda, concavità e convessità, punti di flesso) e tracciarne il suo grafico qualitativo;
  5. risolvere integrali semplici, calcolo di primitive e aree di porzioni di piano utilizzando le tecniche di integrazione per parti, per sostituzione e di funzioni razionali e discutere la convergenza di integrali impropri;
  6. determinare il carattere generale di una serie ed eventualmente la sua somma;
  7. essere in grado di fare operazioni con i vettori e di applicarla alla rappresentazione di rette e piani nello spazio;
  8. esporre in modo chiaro ed esaustivo le definizioni, gli esempi, i teoremi  e le dimostrazioni relativi al programma indicati dal docente.

Bibliografia
Risorsa bibliografica facoltativaBoella, Analisi Matematica 1 e Algebra Lineare, Editore: Pearson, Anno edizione: 2012
Risorsa bibliografica facoltativaBramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Editore: Progetto Pitagora, Esculapio
Risorsa bibliografica facoltativaBramanti, Pagani, Salsa, Analisi Matematica 1, Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2014
Risorsa bibliografica facoltativaCanuto, Tabacco, Analisi Matematica 1, Editore: Springer, Anno edizione: 2008
Risorsa bibliografica facoltativaCatino, Punzo, Esercizi Svolti di Analisi Matematica e Geometria 1, Editore: KDP-Amazon, Anno edizione: 2019
Risorsa bibliografica facoltativaConti, Ferrario, Terracini, Verzini, Analisi Matematica. Dal Calcolo all' Analisi Vol. 1, Editore: Apogeo
Risorsa bibliografica facoltativaCrasta, Malusa, Elementi di Analisi Matematica e Geometria con prerequisiti ed esercizi svolti, Editore: La Dotta, Anno edizione: 2015, ISBN: 978-88-986482-5-2
Risorsa bibliografica facoltativaMigliavacca, Analisi 1, Esercizi + epsilon, Editore: La Dotta, Anno edizione: 2015, ISBN: 978-88-986483-3-7

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
60:00
90:00
Esercitazione
40:00
60:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 100:00 150:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
schedaincarico v. 1.6.1 / 1.6.1
Area Servizi ICT
28/01/2020