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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2019/2020
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 091112 - METODI E MODELLI MATEMATICI PER L'INGEGNERIA [C.I.]
  • 091110 - METODI E MODELLI MATEMATICI PER L'INGEGNERIA [1]
Docente Verri Maurizio
Cfu 5.00 Tipo insegnamento Modulo Di Corso Strutturato

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - BV (394) INGEGNERIA GESTIONALE*AZZZZ091112 - METODI E MODELLI MATEMATICI PER L'INGEGNERIA [C.I.]

Obiettivi dell'insegnamento

L’insegnamento si inserisce all’interno del percorso degli studi perseguendo alcuni degli obiettivi generali di apprendimento dichiarati. In particolare, l’insegnamento contribuisce allo sviluppo delle capacità di:

  • Progettare soluzioni applicando l’approccio scientifico ed ingegneristico (apprendimento, ragionamento e modellizzazione basati su una solida preparazione multidisciplinare) nell’affrontare problemi ed opportunità in ambito aziendale ed industriale.

Infatti nelle applicazioni di varie discipline (ingegneria, fisica, economia, ecc.) si presentano spesso problemi che hanno caratteristiche e proprietà simili, tali da poter essere trattati con metodologie generali di analisi matematica e analisi funzionale. L'obiettivo è allora quello di fornire all'allievo tecniche adeguate alla modellizzazione e ad un approccio unificato alla risoluzione di tali problemi. In particolare:

  1. vengono sviluppati "metodi variazionali" appropriati a studiare problemi di ottimizzazione in cui la quantità variabile è una funzione o una curva (ad es., la funzione potrebbe rappresentare l'evoluzione dello stato di un sistema dinamico a tempo continuo);
  2. sono formulati e risolti modelli relativi a casi di studio concreti in cui si vedono applicate le citate tecniche di calcolo. I modelli discussi riguardano svariate discipline quali ingegneria (produzione, scorte, manutenzione,…), economia (compravendita, consumi,…) e fisica.

 


Risultati di apprendimento attesi

Lo studente:

  • comprende e conosce i principi e le tecniche fondamentali del Calculus in spazi vettoriali infinito-dimensionali;
  • comprende il processo logico con cui, dato un problema reale, se ne formula un modello semplificato che ne colga gli aspetti essenziali trascurando invece i dettagli secondari;
  • è in grado di applicare in maniera autonoma le metodologie matematiche apprese alla risoluzione del modello in esame;
  • sa discutere i risultati ottenuti alla luce delle semplificazioni considerate, proponendo eventuali generalizzazioni o varianti del modello.

 


Argomenti trattati

1. Ottimizzazione in spazi funzionali.

  • Problemi classici: geodetica sul piano, geodetica sulla sfera, geodetica sul cilindro, problema di Didone, superficie di rotazione di area minima, brachistocrona.
  • Formulazione generale di un problema di ottimizzazione: funzionali e Lagrangiana; spazi normati e funzioni di confronto; variazioni ammissibili; estremanti globali ed estremanti locali (forti o deboli).
  • Ottimizzazione libera. Formula di Taylor variazionale (al primo ordine) e variazione prima di un funzionale; estremali. Problemi fondamentali: prima e seconda equazione di Eulero-Lagrange; estremali regolari e spezzati (criterio di Hilbert; condizioni di Erdmann-Weierstrass). Funzionali convessi e criteri di convessità.
  • Ottimizzazione vincolata (vincoli di disuguaglianza; vincoli isoperimetrici). Metodo del prolungamento. Metodo del moltiplicatore di Lagrange.
  • Applicazioni (formulazione del modello e sua risoluzione): superficie di rotazione di area minima; brachistocrona; configurazione di equilibrio di un cavo sospeso; piano ottimale di produzione; migliore rotta di navigazione; programma ottimale di controllo guasti; piano ottimale dei consumi.

 

2. Controllo ottimo.
  • Formulazione generale di un problema di controllo a tempo continuo: indice di costo o di rendimento, stati ed equazione di stato, controlli e controlli ammissibili; controllo ottimo.
  • Problemi normali. Variabile aggiunta e problema aggiunto, Hamiltoniana; condizione di Pontryagin e controlli estremali. Criterio di convessità; criterio della funzione test. Principio di ottimalità.
  • Applicazioni (formulazione del modello e sua risoluzione): programma ottimale di manutenzione; piano ottimale delle scorte; piano ottimale di compravendita.
  • Controlli retroazionati ottimi: controlli ottimi e condizioni iniziali; l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
  • Applicazioni (formulazione del modello e sua risoluzione): migliore rotta di navigazione; volo orizzontale di un razzo.

Prerequisiti

Sono necessarie le conoscenze matematiche di base acquisite nei primi corsi universitari di Algebra Lineare e di Calcolo Differenziale ed Integrale.


Modalità di valutazione

La prova d'esame è un colloquio orale che verte sugli argomenti di teoria e i casi di studio svolti a lezione e ad esercitazione. La prova orale consiste nella presentazione di una delle applicazioni in programma e in domande generali relative alle definizioni, ai concetti e alle tecniche di calcolo usate nella risoluzione del relativo modello. L’applicazione esposta da parte dello studente è scelta dal docente al momento del colloquio stesso fra quattro casi che lo studente è tenuto a preparare rispetto a tutti quelli svolti durante le lezioni o esercitazioni.

In particolare, lo studente dovrà, in sede d’esame:

  • dimostrare di conoscere e avere compreso definizioni, concetti e tecniche di calcolo della teoria svolta a lezione;
  • essere abile nell’esporre i ragionamenti che semplificano un problema concreto e che portano alla costruzione di un suo modello matematicamente trattabile;
  • saper applicare metodi e strumenti appresi nel corso della teoria alla risoluzione di un modello di ottimizzazione;
  • essere capace di ragionare criticamente sullo studio presentato, interpretando i risultati ottenuti in chiave reale e analizzandoli anche alla luce delle semplificazioni introdotte nel modello rispetto al caso reale.

Bibliografia
Risorsa bibliografica obbligatoriaDispensa del docente - prof. M. Verri http://beep.metid.polimi.it

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
30:00
45:00
Esercitazione
20:00
30:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 50:00 75:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
schedaincarico v. 1.6.1 / 1.6.1
Area Servizi ICT
21/01/2020