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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2019/2020
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 082919 - ANALISI MATEMATICA I E GEOMETRIA
Docente Boella Marco Ugo Claudio
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (363) INGEGNERIA BIOMEDICA*PZZZZ082919 - ANALISI MATEMATICA I E GEOMETRIA

Obiettivi dell'insegnamento

L'insegnamento si propone di fornire allo studente i principi fondamentali del calcolo infinitesimale, differenziale, integrale e dell'algebra lineare e della geometria analitica. Ulteriore obiettivo è la preparazione dello studente all'applicazione delle tecniche analitiche apprese alle altre discipline ingegneristiche.


Risultati di apprendimento attesi

A seguito del superamento dell'esame, lo studente conosce gli elementi fondamentali del calcolo infinitesimale, differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile e dell'algebra lineare e della geometria analitica. In particolare, lo studente è in grado di (DD1,DD2)

- eseguire operazioni e risolvere equazioni con numeri complessi (in forma algebrica e trigonometrica)

- calcolare limiti di funzioni e successioni (con tecniche elementari, ma anche con strumenti quali teoria infiniti/esimi, stime asintotiche, uso di "o piccolo" )

- procedere allo studio qualitativo del grafico di una funzione

- risolvere problemi di integrazione e problemi di convergenza di integrali impropri

- eseguire le operazioni fondamentali sui vettori geometrici e utilizzarli nella risoluzione di semplici problemi di geometria analitica nel piano e nello spazio

- eseguire operazioni su matrici, calcolarne determinante e rango,  

- discutere la risolubilità di un sistema lineare e saperlo risolvere 

- risolvere problemi sulle trasformazioni lineari fra spazi vettoriali (nucleo, immagine)

- determinare autovalori/autovettori di una matrice ed eventuale matrice diagonale associata

- esporre adeguatamente la teoria (DD4). 

Il docente si attende inoltre una comprensione non limitata all'enunciazione di definizione e risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica ed in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti (DD3).


Argomenti trattati

Insiemi numerici. Numeri reali. Definizione e proprietà (completezza). Estremi di un insieme di numeri reali. Teorema di esistenza dell’estremo superiore. Insiemi limitati e illimitati. Intervalli. Intorni. Numeri complessi. Forma algebrica e trigonometrica, formule di De Moivre, radice n-esima, piano di Gauss, teorema fondamentale dell’Algebra.

Funzioni di una variabile reale

- Nozioni generali. Definizione di funzione, dominio, immagine, grafico. Operazioni tra funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzioni composte e inverse. Funzioni limitate e monotone. Estremi di una funzione. Funzioni simmetriche, periodiche. Funzioni elementari e loro grafici.

- Limiti. Definizione, teorema di unicità del limite. Limiti destro e sinistro. Algebra dei limiti. Limiti di funzioni composte. Forme indeterminate di tipo aritmetico. Teoremi della permanenza del segno e di confronto. Limiti di funzioni monotone. Il numero di Nepero. Limiti notevoli. Forme indeterminate di tipo esponenziale. Asintoti orizzontali, verticali e obliqui. Infinitesimi e infiniti. Simboli “o piccolo” e “asintotico”.

- Successioni. Definizione e proprietà. Successioni convergenti, divergenti, regolari, indeterminate. Teorema della permanenza del segno e di confronto. Teorema di monotonia. Caratterizzazione sequenziale dei limiti di funzioni.

- Continuità. Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari e di somma, prodotto, quoziente. Continuità della funzione composta e dell’inversa. Classificazione delle discontinuità. Teoremi degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi.

- Calcolo differenziale. Derivata con interpretazione geometrica e fisica. Derivate di funzioni elementari. Relazione fra continuità e derivabilità. Algebra delle derivate. Derivata di funzione composta ed inversa. Funzioni inverse delle trigonometriche e loro derivate. Funzioni iperboliche e loro inverse. Derivate laterali. Punti singolari. Punti critici e teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, di Lagrange, criterio di monotonia. Teoremi di de L’Hospital. Concavità, convessità e flessi.  Studio del grafico di una funzione. Formule di Taylor e di Mac-Laurin.

- Calcolo integrale. Primitiva e integrale indefinito. Tecniche di integrazione indefinita. Integrale definito secondo Riemann. Calcolo di aree piane. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Integrali impropri.

Vettori nel piano e nello spazio. Rette e piani nello spazio tridimensionale. Definizione. Operazioni fondamentali sui vettori. Componenti scalari. Combinazioni lineari. Dipendenza lineare. Prodotto scalare, vettoriale, misto. Condizioni di ortogonalità, parallelismo e complanarità.Equazione della retta e di un piano (parametrica e cartesiana). Condizioni di ortogonalità e di parallelismo tra due rette, due piani. Retta intersezione di due piani. Distanza di un punto da una retta e da un piano.  

Spazi vettoriali astratti. Definizione di spazio vettoriale astratto. Sottospazio vettoriale e sua caratterizzazione. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi, dimensione, sistema di generatori. 

Matrici e sistemi lineari. Definizione di matrice. Proprietà e operazioni sulle matrici. Determinante e sue proprietà. Teorema di Binet. Determinanti e dipendenza e indipendenza lineare. Rango. Matrici invertibili e matrice inversa. Sistema lineare. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli. Sistemi dipendnti da un parametro.

Trasformazioni lineari. Definizione, teorema di rappresentazione matriciale. Immagine e nucleo di una trasformazione lineare. Teorema della nullità+rango.

Autovalori e autovettori. Definizione di autovalore e di autovettore. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica. Autovalori regolari. Matrici diagonalizzabili. Criteri di diagonalizzabilità.


Prerequisiti

Si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza dei seguenti argomenti: algebra dei polinomi, equazioni algebriche di primo e secondo grado, elementi di trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica nel piano, esponenziali, logaritmi e loro proprietà, disequazioni algebriche, trigonometriche, esponenziali e logaritmiche.


Modalità di valutazione

Sono previsti quattro appelli d'esame (uno in gennaio-febbraio, due in giugno-luglio, uno in settembre). Sono inoltre previste due prove in itinere (una nel periodo di interruzione di metà corso e una in gennaio-febbraio). L'esame può essere superato presentandosi alle due prove in itinere oppure ad uno degli appelli d'esame.

Secondo la prima modalità (la partecipazione alle prove in itinere non è obbligatoria, ma fortemente consigliata), gli argomenti di ciascuna prova corrispondono a circa una metà del programma. Se il voto ottenuto nella prima prova è sufficiente, esso concorre alla valutazione finale, determinata come media dei due voti parziali. Può sostenere la seconda prova in itinere solo chi ha superato la prima.

Gli appelli d'esame (seconda modalità) riguardano l'intero programma. 

A discrezione del docente, uno studente che abbia superato entrambe le prove in itinere o la prova scritta dell'appello, potrà essere convocato a sostenere una prova orale. D'altra parte, uno studente che abbia superato entrambe le prove in itinere o la prova scritta dell'appello, può chiedere di modificare la valutazione ottenuta, con una prova orale.

 

In sede d'esame, lo studente dovrà essere in grado di:

- calcolare massimi, minimi, estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali,

- rappresentare in forma algebrica e trigonometrica numeri complessi e risolvere equazioni e disequazioni che coinvolgono una variabile complessa, con descrizione grafica dei risultati,

- calcolare limiti di successioni e di funzioni con eventuale utilizzo di stime asintotiche e di formula di Taylor,

- studiare una funzione (dominio, segno, simmetrie, limiti, asintoti, calcolo della derivata prima, punti di non derivabilità, monotonia, massimi e minimi, calcolo della derivata seconda, concavità e convessità, punti di flesso) e tracciarne il grafico qualitativo,

- calcolare integrali indefiniti e definiti (anche di funzioni razionali e utilizzando tecniche di integrazione per decomposizione, per parti e per sostituzione), con eventuale applicazione al calcolo di aree di regioni piane

- discutere la convergenza di integrali impropri ed eventualmente calcolarli

- operare con i vettori utilizzandoli per rappresentare rette e piani nello spazio

- eseguire operazioni su matrici, calcolarne determinante e rango 

- discutere la risolubilità di un sistema lineare e saperlo risolvere 

- risolvere problemi sulle trasformazioni lineari fra spazi vettoriali (nucleo, immagine)

- determinare autovalori/autovettori di una matrice ed eventuale matrice diagonale associata

- esporre in modo chiaro ed esaustivo le definizioni, gli esempi, i teoremi  e le dimostrazioni che fanno parte del programma d'esame.

 


Bibliografia
Risorsa bibliografica facoltativaM.Bramanti, C.D.Pagani, S.Salsa, Analisi Matematica 1 (con elementi di geometria e algebra lineare), Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2014, ISBN: 9788808254214
Risorsa bibliografica facoltativaC.Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica I, Editore: Springer, Anno edizione: 2012, ISBN: 9788847008717
Risorsa bibliografica facoltativaM. Boella, Analisi Matematica 1 e Algebra Lineare (Eserciziario), Editore: Pearson, Anno edizione: 2012, ISBN: 978-88-7192-769-5
Note:

seconda edizione

Risorsa bibliografica facoltativaM. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Editore: Esculapio
Risorsa bibliografica facoltativaL.Mauri, E. Schlesinger, Esercizi di algebra lineare e geometria, Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2013
Risorsa bibliografica facoltativaC. Migliavacca, Analisi 1, Esercizi+epsilon, Editore: LaDotta, Anno edizione: 2013, ISBN: 978-88-98648-03-0
Risorsa bibliografica facoltativaE.Munarini, Esercizi di Analisi e Geometria 1, Editore: Esculapio, Anno edizione: 2015

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
60:00
90:00
Esercitazione
40:00
60:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 100:00 150:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
schedaincarico v. 1.6.1 / 1.6.1
Area Servizi ICT
28/01/2020