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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2018/2019
Scuola Scuola di Ingegneria Civile, Ambientale e Territoriale
Insegnamento 053384 - ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA
Docente Laeng Enrico
Cfu 16.00 Tipo insegnamento Corso Integrato

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing - Civ (1 liv.)(ord. 270) - LC (306) INGEGNERIA CIVILE PER LA MITIGAZIONE DEL RISCHIO*AZZZZ053384 - ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA
Ing - Civ (1 liv.)(ord. 270) - LC (343) INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE*AZZZZ097439 - ANALISI MATEMATICA 1 E GEOMETRIA

Obiettivi dell'insegnamento

L'obiettivo dell'insegnamento è fornire la formazione di analisi matematica e di algebra lineare di base la cui enfasi è l'applicabilità ai corsi ingegneristici successivi.


Risultati di apprendimento attesi

Lo studente dovrà conoscere:

i fondamenti dell'analisi matematica e dell'algebra lineare in vista di una corretta progettazione delle opere di ingegneria civile e per le gestione dei rischi naturali

applicare le conoscenze acquisite sia a semplici calcoli applicativi eseguiti a mano, sia all'uso critico di strumenti informatici costituiti da software sviluppato da altre fonti

essere in grado di comunicare le conoscenze acquisite con quanti lavorano nel settore.


Argomenti trattati
    • Insiemi numerici 

    Definizioni e proprietà degli insiemi numerici. Numeri naturali N, numeri interi relativi Z, numeri razionali Q, numeri reali R, numeri complessi C. Le quattro operazioni, radici n-esime nel campo reale e nel campo complesso. Teorema fondamentale dell'aritmetica e alcune sue conseguenze. Teorema fondamentale dell'algebra. Cenni di logica e ripasso delle disequazioni in R. Cenni di calcolo combinatorio: disposizioni e permutazioni (con e senza ripetizioni). Coefficienti binomiali e multinomiali. Formula del binomio di Newton. Insiemi di numeri reali. Definizione di Massimo, Minimo, Sup e Inf per un insieme.

    • Funzioni di una variabile

    Definizione generale di funzione tra insiemi. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzioni reali di variabile reale. Grafici di alcune funzioni elementari (potenze, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche). Composizione tra funzioni. Operazioni sui grafici. Definizione di Massimo, Minimo, Sup e Inf per una funzione reale di variabile reale. Massimi e minimi locali e globali.

    • Limiti di funzioni e successioni

    Esempi di successioni (funzioni di variabile intera). Definizione intuitiva e rigorosa di limite di una successione a_n per n che tende a infinito. Esempi. Tabella di limiti notevoli della forma "infinito su infinito". Esempi di successioni il cui limite non esiste. Limite notevole che definisce il numero e. Definizione intuitiva e rigorosa di limite (bilatero e monolatero) di una funzione reale di variabile reale f(x) per x che tende a un valore finito o infinito. Limiti notevoli del tipo "zero su zero". Confonti tra funzioni infinitesime (che tendono a zero) e funzioni infinite (che tendono a infinito). Stime asintotiche. Successioni o funzioni monotone ed esistenza del loro limite.

    • Funzioni continue

    Definizione di continuita` di f(x) in un punto e su tutto un insieme. Esempi di vari tipi possibili di punti di discontinuita` (eliminabile, prima specie, seconda specie). Alcune famiglie di funzioni continue. Alcuni teoremi che garantiscono la continuita` di una funzione. Teorema di Weierstrass su massimo e minimo di una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Asintoti verticali, orizzontali, obliqui.

    • Funzioni derivabili

    Definizione di derivata. Derivate e rette tangenti a un grafico y=f(x). Derivazione delle funzioni elementari. Teoremi sulle derivate: combinazioni lineari, prodotti, quozienti, composizione tra funzioni. Segno della derivata di funzioni crescenti o decrescenti. Teoremi di valor medio e loro conseguenze. Derivate successive. Punti di cuspide, di flesso. Problemi di massimo e minimo. Ricerca di massimi e minimi locali tramite le derivate. Concavita`, convessita` e derivata seconda. Teorema di de l'Hopital. Metodo di Newton per la soluzione di equazioni generiche f(x)=0 con f funzione derivabile. Funzioni di più variabili, derivate parziali, matrice Hessiana, massimi e minimi liberi e vincolati.

    • Formula di Taylor

    Approssimazione di funzioni continue con polinomi. Il polinomio di Taylor e alcune sue proprieta`. Resto di Peano e resto di Lagrange nella formula di Taylor. Polinomi di Taylor per alcune funzioni elementari. Applicazioni al calcolo di limiti, all'approssimazione numerica di funzioni, alla ricerca di massimi e minimi locali.

    • Serie

    Definizione di serie e primi esempi. La serie geometrica. Condizioni necessarie per la convergenza. Serie divergenti e indeterminate. Condizioni sufficienti per la convergenza (criteri). Criterio di confronto (diretto e asintotico), criteri del rapporto e della radice. Serie telescopiche. Criterio di Leibnitz. Serie assolutamente convergenti. Introduzione alle serie di potenze. Serie di Taylor, raggio di convergenza, estensione di funzioni reali al campo complesso. Formula di Eulero.

    • Integrali

    Definizione di integrale indefinito e definito. Aree di figure piane delimitate da una curva. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione: per sostituzione, per parti. Integrali di funzioni razionali: metodo delle frazioni parziali. Sostituzioni per integrali contenenti funzioni trigonometriche. Integrali generalizzati. Criterio di convergenza di serie basato sul confonto con integrali generalizzati. Studio del grafico di funzioni integrali. Integrali multipli, integrali di linea, teoremi di Stokes e Green.

      • Elementi di Geometria

      Vettori nel piano, nello spazio R^3, nello spazio R^n. Somma e prodotto per uno scalare. Combinazione lineare. Prodotto scalare in R^n. Prodotto vettoriale in R^3. Piani e rette nello spazio. Distanze e angoli. Problemi di geometria analitica in R^3. Cenni alle curve coniche e alle curve algebriche in forma implicita.

      • Elementi di Algebra Lineare

      Definizione di matrice. Algebra delle matrici. Rappresentazione tramite matrici di operatori lineari sui vettori di R^n. Determinante e sue proprieta`. Rango di una matrice rettangolare. Sistemi lineari di equazioni. Teorema di Rouché-Capelli. Matrice inversa e sue proprieta`. Autovalori e autovettori. Matrici simili. Metodi di diagonalizzazione di una matrice quadrata. Condizioni di diagonalizzabilita. Matrici simmetriche e matrici ortogonali. Matrici di rotazione in 2 e in 3 dimensioni.


Prerequisiti

Non è previsto nessun prerequisito specifico.


Modalità di valutazione

La verifica dei risultati di apprendimento attesi verrà verificata tramite un compito scritto e una prova orale senza prove in itinere.


Bibliografia
Risorsa bibliografica facoltativaM. Bramanti, C.D. Pagani, S.Salsa, Analisi Matematica 1 (con elementi di geometria e algebra lineare), Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2014

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
104:00
156:00
Esercitazione
56:00
84:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 160:00 240:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese

Note Docente
schedaincarico v. 1.6.2 / 1.6.2
Area Servizi ICT
04/06/2020