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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2018/2019
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 093153 - GEOMETRIA DIFFERENZIALE
Docente Schlesinger Enrico Ettore Marcello
Cfu 8.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (Mag.)(ord. 270) - BV (478) NUCLEAR ENGINEERING - INGEGNERIA NUCLEARE*AZZZZ093153 - GEOMETRIA DIFFERENZIALE
Ing Ind - Inf (Mag.)(ord. 270) - MI (487) MATHEMATICAL ENGINEERING - INGEGNERIA MATEMATICA*AZZZZ093153 - GEOMETRIA DIFFERENZIALE

Obiettivi dell'insegnamento

L'insegnamento si propone di fornire allo studente la conoscenza degli elementi fondamentali della geometria differenziale, con particolare riferimento alla geometria delle curve e delle superfici nello spazio euclidei, e ai concetti di base della geometria Riemanniana. Gli argomenti trattati saranno quindi le curve e le superfici differenziabili, le strutture metriche sulle superfici, le proprietà estrinseche di una superficie immersa nello spazio euclideo, le proprietà intrinseche di una superficie Riemanniana, i teoremi Egregium e di Gauss Bonnet, le varietà astratte e le loro strutture metriche, elementi di calcolo tensoriale, forme differenziale e operatori differenziali su varietà. Ulteriori argomenti potranno essere trattati a seconda degli interessi degli studenti. E' prevista un'attività di laboratorio informatico che utilizzerà MatLab per illustrare esempi e applicazioni.


Risultati di apprendimento attesi

A seguito del superamento dell'esame, lo studente conoscerà gli elementi fondamentali della geometria differenziale di curve e superfici nello spazio e di varietà Riemanniane. In particolare sarà in grado di definire e calcolare la curvatura e la torsione di una curva liscia nello spazio; le curvature principali, la prima e la seconda forma fondamentale, la curvatura Gaussiana e la curvatura media di una superficie immersa; conoscerà i smiboli di Christoffel e sarà in grado di dimostrare il teorema Egregium; saprà definire e calcolare il differenziale di una mappa tra varietà astratte; saprà discutere il concetto di derivata covariante e di connessione di Levi-Civita su una varietà Riemanniana; saprà scrivere le equazioni delle geodetiche e le saprà determinare in alcuni esempi fondamentali quali la sfera e il piano iperbolico. Conoscerà i rudimenti della teoria delle forme differenziali e le saprà applicare alla definizione dell'integrale su varietà Riemanniane e alla dimostrazione del teorema locale di Gauss-Bonnet. Infine saprà definire su una varietà Riemanniana, in forma invariante operatori differenziali quali il gradiente, la divergenza e il laplaciano, e li saprà calcolare in coordinate locali in dipendenza dal tensore metrico. Lo studente sarà inoltre in grado di scrivere degli script di MatLab per calcolare curvature, risolvere equazioni delle geodetiche, e per applicazioni a superfici minime e  a curve e superfici di Bezier,  B-splines e Nurbs.

 

 


Argomenti trattati

1) Geometria differenziale locale delle curve Ascissa curvilinea. Curvatura con segno di una curva piana. Curvatura e torsione di una curva nello spazio. Formule di Frenet. Piano osculatore, piano normale e piano rettificante. Il teorema di esistenza ed unicità per le curve dello spazio. Esempi.

2) Superfici immerse nello spazio tridimensionale Parametrizzazioni locali regolari di superfici immerse. Carte locali. Superfici in forma cartesiana: teorema funzione implicita. Piano tangente. Esempi di carte locali: superfici di rotazione, superfici rigate, catenaria, elicoide.

3) La prima forma fondamentale di una superficie La prima forma fondamentale. Lunghezza di una curva. Elemento d'area. Distanza Riemanniana.

4) Varietà differenziabili, spazio tangente, differenziale di mappe tra varietà Definizione di varietà differenziabili. Esempi. Definizione di funzione liscia. Spazio tangente. Differenziale di una mappa liscia tra varietà e regola della catena. Spazio cotangente. Superfici (varietà) riemanniane astratte. Esempi. Piano di Poincaré. Toro piatto. Isometrie locali.

5) La seconda forma fondamentale di una superficie Superfici orientabili e mappa di Gauss.La seconda forma fondamentale.   Curvatura normale e teorema di Meusniers. Curvature principali e teorema di Eulero. Curvatura media, variazione dell'area e superfici minime. Curvatura Gaussiana e classificazione dei punti di una superficie. Esempi. Conti in coordinate isoterme. Cenno alle mappe conformi e alle superfici di Riemann. Derivata covariante e simboli di Christoffel. Trasporto parallelo. Le equazioni di Gauss e Codazzi e il tensore di curvatura di Riemann. Il teorema Egregium. Cenno al teorema di Bonnet (teorema fondamentale della teoria locale delle superfici)

6) Geodetiche e mappa esponenziale Geodetiche. Poprietà di minimizzazione. Mappa esponenziale e coordinate normali di Riemannn. Coordinate polari geodetiche. Superfici (varietà) riemanniane complete

7) Teorema di Gauss-Bonnet La formula locale. Triangolazione di una superficie e caratteristica di Eulero. Cenno alla classificazione topologica delle superfici compatte. Il teorema di Gauss-Bonnet globale.

8) Forme differenziali e calcolo esterno Campi tensoriali. Derivata covariante di un campo di tensori. Hessiano, divergenza e operatore di Laplace-Beltrami. Forme differenziali. Prodotto esterno e differenziale esterno. Pull back. Forme esatte e forme chiuse. Lemma di Poincarè. Cenni alla coomologia di de Rham e al teorema di Hodge.

Attività di Laboratorio:

Richiami di Matlab: grafico di funzioni in forma cartesiana e parametrica.

Geometria delle curve: tangenti, punti singolari, lunghezza, curvatura e torsione.

Geometria delle superfici: superfici regolari, piani tangenti e vettori normali, punti singolari su superfici. Paraboloide osculatore. Curvature e geodetiche. Superfici minimali.

Curve di Bezier, B-spline e NURBS.

Superfici di Bezier, B-spline e NURBS.

Nota gli argomenti trattati potranno essere integrati o in parte sostituiti da altri argomenti di geometria differenziale e di topologia qualora gli interessi degli studenti iscritti al corso lo rendano opportuno.


Prerequisiti

Per seguire con profitto l'insegnamento lo studente dovrà avere una buona conoscenza degli argomenti trattati in Analisi Matematica 1 e 2 e in Algebra Lineare e Geometria.


Modalità di valutazione

L’esame consiste di un'interrogazione orale il cui scopo sarà di verificare che lo studente conosca gli elementi fondamentali della geometria differenziale di curve e superfici nello spazio e di varietà Riemanniane dettagliati nei Risultati di apprendimento appresi, e sappia scrivere scripts di Matlab per calcolare curvature, risolvere equazioni delle geodetiche, e per applicazioni a superfici minime e  a curve e superfici di Bezier,  B-splines e Nurbs.

 


Bibliografia
Risorsa bibliografica facoltativaDo Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Editore: Prentice Hall, Anno edizione: 1976, ISBN: 9780132125895
Risorsa bibliografica facoltativaFarin G., Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide, Editore: Morgan Kaufmann, Anno edizione: 2001, ISBN: 978-1558607378
Note:

Testo di riferimento per le attività di laboratorio. Quinta edizione 2001.

Risorsa bibliografica facoltativaJohn M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Editore: Springer, Anno edizione: 2014, ISBN: 978-1-4419-9982-5 http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-1-4419-9982-5
Note:

Credo ebook sia per utenti Politecnico

Risorsa bibliografica facoltativaLeonor Godinho, José Natário, An Introduction to Riemannian Geometry, Editore: Springer, Anno edizione: 2014, ISBN: 978-3-319-08666-8 http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-08666-8
Note:

Credo ebook sia disponibile per utenti Politecnico

Risorsa bibliografica facoltativaVladimir Rovenski, Modeling of curves and surfaces with MATLAB, Editore: Spinger, Anno edizione: 2010, ISBN: 978-0-387-71277-2

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
60:00
90:00
Esercitazione
0:00
0:00
Laboratorio Informatico
20:00
30:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 80:00 120:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese
Possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese
Disponibilità di supporto didattico in lingua inglese
schedaincarico v. 1.6.5 / 1.6.5
Area Servizi ICT
24/10/2020