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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2018/2019
Scuola Scuola di Ingegneria Civile, Ambientale e Territoriale
Insegnamento 095730 - ANALISI MATEMATICA 1 E GEOMETRIA
  • 095729 - GEOMETRIA
Docente Frigeri Achille
Cfu 6.00 Tipo insegnamento Modulo Di Corso Strutturato

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing - Civ (1 liv.)(ord. 270) - MI (342) INGEGNERIA CIVILE*AL089872 - GEOMETRIA
095730 - ANALISI MATEMATICA 1 E GEOMETRIA

Obiettivi dell'insegnamento

Obiettivo del corso è fornire allo studente sia i principi fondamentali dell'algebra lineare che le applicazioni del metodo delle coordinate della geometria analitica.

I contenuti dell'insegnamento riguardano: la teoria dei sistemi lineari; lo studio dei vettori geometrici, delle matrici e delle operazioni relative e la generalizzazione a spazi vettoriali reali e complessi e alle applicazioni lineari tra spazi vettoriali; i concetti fondamentali riguardanti autovalori, autovettori e diagonalizzazione di un endomorfismo; il prodotto scalare euclideo; il metodo delle coordinate cartesiane nel piano e nello spazio e le applicazioni allo studio di problemi riguardanti rette, piani, coniche e quadriche.


Risultati di apprendimento attesi

A seguito del superamento dell'esame, lo studente conoscerà gli elementi fondamentali dell'algebra lineare e sarà inoltre in grado di risolvere esercizi sugli argomenti trattati nell'insegnamento, con particolare riferimento ai seguenti:

• studio e risoluzione di sistemi lineari mediante il teorema di Rouché-Capelli e con il metodo di eliminazione di Gauss;

• studio di spazi e sottospazi vettoriali e calcolo di insiemi di generatori, insiemi di vettori linearmente indipendenti, basi e dimensione;

• studio delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali con relativa rappresentazione matriciale, calcolo del rango, del nucleo e dell’immagine di un'applicazione lineare, calcolo dell'applicazione lineare inversa;

• concetti di autovalore e autovettore, e relativa applicazione a problemi legati alla diagonalizzazione di endomorfismi;

• studio di vettori in spazi euclidei reali, calcolo di prodotti vettoriali, prodotti misti, vettori ortogonali, basi ortonormali e diagonalizzazione di matrici simmetriche.

Lo studente conoscerà inoltre il metodo delle coordinate cartesiane, con applicazioni particolari a

• risoluzione di problemi riguardanti piani e rette nello spazio;

• calcolo vettoriale nel piano e nello spazio;

• classificazione e studio di coniche nel piano e quadriche nello spazio.

Il docente si attende una comprensione che non sia limitata al solo enunciato di definizioni e di risultati, e alla risoluzione di esercizi standard, ma sia anche critica, in grado di distinguere differenti tipologie di problemi e di soluzioni, attraverso scelte consapevoli e giustificazione dei procedimenti seguiti. Ci si aspetta infine un'esposizione ben argomentata della teoria e un'adeguata correttezza nei calcoli.


Argomenti trattati

1. NUMERI COMPLESSI

Rappresentazione algebrica, modulo, coniugato, piano di Gauss, rappresentazione trigonometrica e esponenziale. Formula di De Moivre e radici ennesime di un numero complesso.

2. SISTEMI LINEARI

Nozioni fondamentali, teorema di Cramer e teorema di Rouché-Capelli, metodo di eliminazione di Gauss.

3. MATRICI E VETTORI GEOMETRICI

Vettori geometrici e operazioni algebriche sui vettori geometrici. Generalità sulle matrici, operazioni, determinante, rango, inversa di una matrice quadrata.

4. SPAZI VETTORIALI

Operazioni tra vettori, sottospazi, somma ed intersezione di sottospazi. Generatori, dipendenza/indipendenza lineare, basi e dimensione. Coordinate di un vettore rispetto a una base. Cambio di base.

5. APPLICAZIONI LINEARI

Generalità, nucleo ed immagine, applicazioni lineari e matrici, applicazioni lineari iniettive e suriettive. Endomorfismi.

6. AUTOVALORI E AUTOVETTORI

Nozione ed esempi di autovalori e di autovettori. Interpretazione geometrica. Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica. Similitudine di matrici. Diagonalizzazione degli endomorfismi e teoremi relativi.

7. SPAZI EUCLIDEI REALI

Prodotto scalare euclideo in R^n. Prodotto vettoriale, prodotto misto, modulo, angolo, ortogonalità tra vettori. Espressione cartesiana del prodotto scalare e del prodotto vettoriale. Basi ortonormali. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Diagonalizzazione ortogonale di matrici reali e simmetriche. Teorema spettrale. Forme quadratiche: segno e riduzione a forma canonica.

8. COORDINATE CARTESIANE E GEOMETRIA ANALITICA LINEARE

Riferimento cartesiano ortogonale monometrico, nel piano e nello spazio. Rappresentazioni di punti e rette. Equazioni di rette e piani, parametri direttori di rette e piani. Distanze, angolo tra due rette, parallelismo e perpendicolarità tra rette. Parallelismo e ortogonalità tra piani. Angolo tra rette e piani. Proiezione di una retta su un piano. Parallelismo e ortogonalità tra rette e piani. Rette sghembe e minima distanza. Fasci di rette, fasci di piani.

9. CONICHE E QUADRICHE

Proprietà elementari, equazioni canoniche, riduzione a forma canonica, riconoscimento.


Prerequisiti

Si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nella scuola secondaria di secondo grado con particolare riferimento all'algebra dei polinomi, equazioni, disequazioni e sistemi di primo e secondo grado, trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica.


Modalità di valutazione

L'esame relativo al modulo "Geometria" può essere superato presentandosi a uno degli appelli previsti dal calendario accademico previa iscrizione all'appello tramite il servizio poliself.

La prova di ciascun appello si compone di due parti.

• PARTE A. Nella prima parte verrà richiesto allo studente di rispondere ad una serie di quesiti riguardanti definizioni, proprietà, teoremi e loro applicazione, esempi e controesempi discussi durante il corso.

• PARTE B. Nella seconda parte verrà richiesto allo studente di risolvere tre esercizi.

La PARTE A è volta a verificare che lo studente abbia raggiunto un livello adeguato di conoscenza e comprensione teorica degli argomenti dell'insegnamento.

La PARTE B ha l'obiettivo di verificare che lo studente abbia maturato un'adeguata capacità di applicare le conoscenze acquisite alla risoluzione di esercizi riguardanti gli argomenti trattati.

Per superare l'esame di Analisi Matematica I e Geometria è necessaria la sufficienza in entrambe le materie: il voto che verrà verbalizzato è la media aritmetica dei due voti arrotondata per eccesso e verrà verbalizzato al momento del superamento della seconda materia.


Bibliografia
Risorsa bibliografica facoltativaE. Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2018, ISBN: 978-88-08-52069-2
Risorsa bibliografica facoltativaA. Gimigliano, A. Bernardi, Algebra lineare e geometria analitica, Editore: CittàStudi, Anno edizione: 2014, ISBN: 978-88-251-7398-7
Risorsa bibliografica facoltativaL. Mauri, E. Schlesinger, Esercizi di algebra lineare e geometria, Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2013, ISBN: 978-88-08-19252-3
Risorsa bibliografica facoltativaM. Boella, Analisi Matematica 1 e Algebra Lineare. Eserciziario, Editore: Pearson Education, Anno edizione: 2016, ISBN: 978-88-9190146-0

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
36:00
54:00
Esercitazione
24:00
36:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 60:00 90:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese

Note Docente
schedaincarico v. 1.6.1 / 1.6.1
Area Servizi ICT
28/01/2020