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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2018/2019
Scuola Scuola di Ingegneria Civile, Ambientale e Territoriale
Insegnamento 097270 - ANALISI MATEMATICA 2
Docente Garrione Maurizio
Cfu 8.00 Tipo insegnamento Corso Integrato

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing - Civ (1 liv.)(ord. 270) - MI (342) INGEGNERIA CIVILE*LZZZZ095734 - ANALISI MATEMATICA 2 (PER ING. CIVILE)
082545 - ANALISI MATEMATICA 2 (PER CIVILI)
097270 - ANALISI MATEMATICA 2

Obiettivi dell'insegnamento

Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio previsti della scheda SUA-CdS, l'insegnamento si propone di fornire allo studente i principi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili (studio di continuità, differenziabilità, metodi di ottimizzazione, integrazione multipla, integrazione su linee e su superfici). Inoltre, verranno affontati alcuni argomenti complementari relativi alle successioni e al calcolo integrale in una variabile, quali lo studio della convergenza di serie numeriche ed integrali impropri.

Ulteriore obiettivo è la preparazione dello studente all'applicazione delle tecniche analitiche alle altre discipline ingegneristiche.

 


Risultati di apprendimento attesi

Si attendono la conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili, unitamente alla capacità di discutere la convergenza di integrali impropri e il carattere di serie numeriche. Lo studente sarà in particolare in grado di studiare il comportamento locale e globale di funzioni di più variabili attraverso il calcolo di limiti, il calcolo di derivate parziali e direzionali, la ricerca di punti critici liberi e vincolati e il calcolo di integrali multipli, di integrali su linee e superfici. Inoltre, imparerà a relazionare gli strumenti acquisiti con oggetti di interesse fisico e ingegneristico (calcolo di masse e baricentri di corpi rigidi, calcolo di lavoro e flusso di un campo vettoriale).

Il docente si attende una comprensione non limitata all'enunciazione di definizioni e risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica ed in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti. Si attende inoltre un'adeguata correttezza nei calcoli e un'esposizione ben argomentata della teoria.


Argomenti trattati

Serie numeriche e integrali impropri

Integrali impropri: definizione, esempi, criteri di convergenza. Serie numeriche: definizione, esempi, serie notevoli, criteri di convergenza semplice e assoluta. Serie a segni alterni e criterio di Leibniz.

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali

Cenni di topologia negli spazi euclidei. Definizione di palla aperta, punto interno, punto di frontiera, punto esterno, insieme aperto, chiuso, frontiera e punto di accumulazione. Esempi in R^2 e in R^3. Definizione di limite. Continuità. Definizione di derivate parziali e di vettore gradiente. Esempi: l'esistenza delle derivate parziali non implica la continuità. Definizione di vettore normale/di piano tangente al grafico. Definizione di differenziabilità e legame con il piano tangente. Formula del gradiente. Proprietà geometriche del gradiente. Definizione di derivate direzionali. Derivate di ordine superiore. Matrice Hessiana. Teorema di Schwarz. Derivazione di funzioni composte: i casi R->R^2->R, R^2->R->R e R^2->R^2->R. Funzioni a valori vettoriali. Derivabilità e integrabilità per funzioni a valori vettoriali. Regole di derivazione per funzioni a valori vettoriali. Definizione di differenziabilità. Matrice Jacobiana. Derivazione di funzione composta: il caso R^n->R^m->R^p. Formula di Taylor al secondo ordine per f: R^2->R.

Ottimizzazione per funzioni di più variabili

Definizione di massimi e minimi locali. Condizione necessaria per estremante locale. Definizione di punto critico. Definizione di sella locale. Classificazione dei punti critici mediante lo studio della matrice Hessiana. Definizione di punto critico vincolato. Teorema della funzione implicita: caso g(x,y)=0 e g(x,y,z)=0.  Condizione necessaria per avere un estremo vincolato. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Definizione della Lagrangiana.

Curve parametriche e integrali curvilinei

Curve in R^3. Cambi di parametrizzazione. Orientazione. Lunghezza di una curva. Lunghezza del grafico di f in C^0([a,b]). Problema del calcolo esplicito di una lunghezza (lunghezza dell'ellisse). Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei di prima specie: definizione e proprietà.

Calcolo integrale per funzioni di più variabili e lavoro di campi vettoriali

Integrazione delle funzioni di due variabili su rettangoli. Integrazione delle funzioni di due variabili su domini generali. Insiemi misurabili secondo Peano- Jordan. Insiemi di misura nulla (caratterizzazione). Proprietà degli integrali doppi. Insiemi semplici e regolari. Teorema delle integrazioni successive per domini semplici. Insiemi connessi per poligonali. Teorema della media del calcolo integrale. Valor medio di una funzione. Teorema del cambio di variabili negli integrali doppi. Volume dei solidi "a fette". Integrali tripli. Definizione di funzioni integrabili su parallelepipedi. Definizione di insieme di misura nulla. Definizione di integrabilità su domini limitati. Teorema di riduzione, integrazione per fili e per strati. Teorema del cambio di variabili. Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche. Richiami sulla definizione di campo vettoriale. Integrali curvilinei di seconda specie: definizione e proprietà. Condizioni equivalenti all'essere un campo conservativo. Domini semplicemente connessi. Un campo F è conservativo se è irrotazionale su domini semplicemente connessi. Calcolo del potenziale di un campo conservativo.

Superfici e integrali di superficie

Superfici parametriche: definizione.  Esempi. Vettore normale ad una superficie. Piano tangente ad una superficie. Area di una superficie. Integrali di funzioni definite su una superficie. Superfici con bordo. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Divergenza di un campo. Interpretazione fisica della divergenza e del rotore. Identità contenenti rotore, divergenza e gradiente. Teorema di Gauss-Green nel piano. Teorema della divergenza e teorema di Stokes nello spazio.

 


Prerequisiti

Non sono previste propedeuticità formali.

E' comunque di fatto necessario possedere una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nella scuola secondaria di secondo grado, con particolare riferimento all'algebra dei polinomi, ad equazioni, disequazioni e sistemi di primo e secondo grado, trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica, esponenziali, logaritmi e loro proprietà.

E' inoltre opportuno aver maturato la conoscenza degli argomenti trattati durante il corso di Analisi Matematica 1 e Geometria: insiemi numerici, calcolo differenziale e integrale in una variabile, nozioni basilari di algebra lineare e geometria in spazi vettoriali.

 


Modalità di valutazione

L’esame consta di una prova scritta. Non sono previste prove in itinere. Le prove scritte contengono una parte di esercizi e una di teoria (entrambe da svolgersi senza libri, appunti, calcolatrici, tablet, etc.). L’esame viene superato se alla prova scritta di appello si riporta una votazione maggiore o uguale a 18/30. Il mancato superamento di un appello rimanda lo studente agli appelli successivi. A discrezione del docente, lo studente che abbia superato la prova scritta potrà essere convocato a sostenere un'ulteriore prova orale (non sarà in alcun caso possibile sostenere la prova orale senza aver superato lo scritto). La votazione ottenuta a seguito dell’orale può essere superiore o inferiore a quella riportata nello scritto, e può eventualmente comportare il mancato superamento dell’esame. Nel caso in cui uno studente rifiuti una valutazione positiva, dovrà comunicarlo al docente del corso personalmente oppure via e-mail dall’indirizzo ufficiale del Politecnico, entro i termini comunicati dal docente. La prova il cui esito viene rifiutato viene annullata e lo studente viene rimandato agli appelli successivi.

La prova scritta, della durata di 3 ore, contiene una parte di teoria e una di esercizi. E' necessario conseguire una soglia di punteggio minima in entrambe le parti per poter superare l’esame. E' necessario consegnare lo svolgimento completo degli esercizi, motivando opportunamente le risposte fornite ed i passaggi compiuti.

Le domande teoriche proposte nelle prove scritte riguarderanno l’intero programma del corso, e potranno essere focalizzate su definizioni, esempi, presentazione generale di un argomento e teoremi (con o senza dimostrazione). Gli esercizi, allo stesso modo, riguarderanno l’intero programma del corso.

Per sostenere le prove d’esame è obbligatoria l’iscrizione esclusivamente attraverso il sistema di registrazione online di ateneo. Durante lo svolgimento di ogni prova d’esame lo studente non può consultare né avere con sé testi, appunti, calcolatrici, telefoni cellulari o altre apparecchiature elettroniche. Lo studente che contravverrà a tale regola, o che sarà sorpreso a chiedere o fornire aiuti ad altri studenti, sarà immediatamente allontanato dall’aula d’esame e il suo esame verrà annullato. Nel caso uno studente sia sorpreso durante l’esame in possesso del telefono cellulare, o di altre apparecchiature elettroniche che consentono l’accesso ad internet, saranno presi ulteriori provvedimenti punitivi.

L'esame ha l'obiettivo di verificare se lo studente ha acquisito in maniera adeguata le seguenti competenze:

la conoscenza:

- del significato attribuito agli integrali di funzioni con discontinuità di II specie, eventualmente su intervalli infiniti, e alle serie numeriche;

- dei concetti fondamentali del calcolo differenziale per funzioni di più variabili (limiti, continuità, derivabilità, differenziabilità);

- dei concetti fondamentali dell'integrazione multipla per funzioni di più variabili (integrali doppi, tripli);

- delle definizioni di curva e di superficie parametrica, e di alcune loro caratteristiche;

- dei concetti fondamentali relativi agli integrali curvilinei di prima e di seconda specie;

- dei concetti fondamentali relativi agli integrali di superficie;

la capacità di applicare le conoscenze acquisite:

- allo studio della convergenza di integrali impropri e serie numeriche;

- al calcolo di limiti di funzioni di più variabili e allo studio della loro continuità, derivabilità, e differenziabilità;

- al calcolo delle derivate parziali di funzioni di più variabili;

- alla ricerca e alla classificazione di punti critici liberi e vincolati (ottimizzazione);

- al calcolo degli integrali multipli;

- al calcolo di integrali curvilinei (di prima e di seconda specie);

- alla parametrizzazione di curve parametriche ed al calcolo di alcune quantità fondamentali associate (es. la loro lunghezza);

- alla parametrizzazione di superfici parametriche ed al calcolo di alcune quantità fondamentali associate (es. la loro area);

- al calcolo di integrali doppi mediante le formule di Gauss-Green;

- al calcolo di flussi di campi vettoriali.

 

 


Bibliografia
Risorsa bibliografica facoltativaMarco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa, Analisi Matematica 1, Editore: Zanichelli, ISBN: 9788808064851
Note:

Il testo viene utilizzato per la parte relativa a integrali impropri e serie numeriche

Risorsa bibliografica facoltativaMarco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa, Analisi Matematica 2, Editore: Zanichelli, ISBN: 9788808122810
Note:

Contiene tutti gli altri argomenti del corso

Risorsa bibliografica facoltativaNicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica due , Editore: Liguori, ISBN: 9788820726751
Note:

Testo opzionale (non contiene serie numeriche ed integrali impropri)

Risorsa bibliografica facoltativaFilippo Gazzola, Analisi Matematica 2, Editore: La Dotta, ISBN: 9788898648146
Note:

Contiene tutto il programma del corso (Teorema del Dini escluso)

Risorsa bibliografica facoltativaCarlo D. Pagani, Sandro Salsa, Analisi Matematica 1 e Analisi Matematica 2, Editore: Zanichelli, ISBN: 9788808092595
Note:

Testo di approfondimento

Risorsa bibliografica facoltativaV. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi Matematica - Volume 2, Editore: Apogeo, ISBN: 9788850324231
Note:

Testo opzionale (non contiene serie numeriche ed integrali impropri)

Risorsa bibliografica facoltativaRobert Adams, Calcolo Differenziale 2, Editore: Casa editrice ambrosiana, ISBN: 9788808184689
Note:

Testo minimale, parte teorica non completa ma sufficiente per un primo approccio

Risorsa bibliografica facoltativaSandro Salsa, Anna Maria Squellati, Esercizi di analisi matematica 2, Editore: Zanichelli, ISBN: 9788808218964
Note:

Eserciziario: volumi I e II

Risorsa bibliografica facoltativaPaolo Marcellini, Carlo Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due - Prima parte, Editore: Zanichelli, ISBN: 9788808191458
Note:

Eserciziario con molti esercizi svolti

Risorsa bibliografica facoltativaPaolo Marcellini, Carlo Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due - Seconda parte, Editore: Zanichelli, ISBN: 9788808220707
Note:

Eserciziario con molti esercizi svolti

Risorsa bibliografica facoltativaMarco Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Editore: Esculapio, ISBN: 8874884826
Note:

Eserciziario


Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
48:00
72:00
Esercitazione
32:00
48:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 80:00 120:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese

Note Docente
schedaincarico v. 1.6.2 / 1.6.2
Area Servizi ICT
04/06/2020