L'Ingegneria e le Scienze Naturali fanno largo uso di modelli matematici per descrivere ed interpretare il comportamento di fenomeni naturali e sistemi prodotti dalla tecnologia.
Per dedurre da tali modelli previsioni quantitative sul comportamento di tali sistemi è spesso necessario risolvere problemi matematici complessi la cui soluzione è possibile solo con l'ausilio di calcolatori automatici.
Per “Calcolo Numerico” o “Analisi Numerica” si intende la branca della Matematica che studia come trasformare modelli e problemi matematici in una forma che sia possibile rappresentare e risolvere con calcolatori dotati di memoria e velocità di calcolo finite, in modo da saper stimare e controllare l'errore introdotto da tale trasformazione.

Obiettivo formativo principale. Questo corso mira a fornire una conoscenza dei concetti di base del Calcolo Scientifico e dell'Analisi Numerica, tale da consentire un utilizzo critico dei metodi numerici più comunemente utilizzati in ambito scientifico ed ingegneristico.
Tale obiettivo viene perseguito accompagnando le lezioni teoriche frontali, sempre introdotte e motivate da esempi suggeriti dalle applicazioni, con sessioni di esercitazione in laboratorio informatico durante le quali gli studenti vengono guidati nella implementazione dei metodi e degli algoritmi presentati e nella verifica delle loro proprietà all'interno degli ambienti di sviluppo Matlab e Octave.

Obiettivi formativi metodologici. Il corso si propone di introdurre lo studente alla conoscenza ed alla capacità di applicare le tecniche tipicamente utilizzate nell'ambito dell'Analisi Numerica per la caratterizzazione e valutazione di metodi ed algoritmi di simulazione. In particolare si presenteranno i concetti di condizionamento di un problema, e quelli di stabilità, accuratezza ed efficienza di un algoritmo numerico ed i metodi più comunenmente usati per studiare tali proprietà.

Obiettivi formativi secondari. Il corso si propone infine di fornire le capacità di base necessarie per implementare un algoritmo numerico traducendolo in un codice di calcolo, utilizzando in particolare il linguaggio di programmazione Matlab.

Il corso si propone di portare gli studenti

- a conoscere e comprendere i metodi e gli algoritmi di base dell'Analisi Numerica e del Calcolo Scientifico

- a sapere scegliere con adeguato senso critico l'algoritmo numerico più adeguato per la risoluzione dei principali
  problemi matematici comunemente incontrati nella risoluzione di modelli della Fisica e dell'Ingegneria

- a saper esprimere in un linguaggio di programmazione un algoritmo numerico in modo da poterlo implementare
  ed eseguire su una macchina di calcolo

- a saper interpretare i risultati di una simulazione numerica in modo da valutare la correttezza
   dell'implementazione del codice di calcolo e l'adeguatezza dell'algoritmo al problema affrontato

• Introduzione:
• Concetti fondamentali della Matematica Numerica: buona posizione e condizionamento di un problema, stabilità, consistenza e convergenza di un metodo numerico. Errore assoluto e relativo.
• Rappresentazione macchina dei numeri e operazioni aritmetiche in virgola mobile, propagazione degli errori.

• Metodi per la ricerca degli zeri di una funzione:

  • approcci "geometrici" e metodi di punto fisso.

  • ordine di convergenza di un metodo di punto fisso.

  • Il metodo di Newton.

• Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti:

  • la fattorizzazione LU e la tecnica di pivoting.

  • La fattorizzazione di Cholesky per matrici simmetriche e definite positive.

• Risoluzione di sistemi lineari con metodi iterativi:

  • Consistenza, convergenza e velocità asintotica di convergenza.

  • Metodi di Richardson stazionari e non stazionari.

  • Il metodo del gradiente per matrici simmetriche e definite positive.

• Approssimazione di funzioni e dati:

  • Interpolazione polinomiale di Lagrange. Limiti della tecnica e controesempio di Runge.

  • Interpolazione di Lagrange composita.

  • Il metodo dei minimi quadrati per l'approssimazione di funzioni e dati.

• Approssimazione delle derivate di una funzione.

• Formule di quadratura per il calcolo dell'integrale definito di una funzione:

  • Formule di Newton-Cotes semplici e composite.

• Risoluzione numerica di problemi a valori inziali per equazioni differenziali ordinarie:

  • metodi ad un passo, consistenza, zero-stabilità, assoluta stabilità.

Materiale didattico fornito:

I libri di testo proposti nella bibliografia, disponibili sia in lingua italiana che inglese, coprono interamente i contenuti trattati nel corso.

Durante le esercitazioni di laboratorio vengono fornite dispense che presentano

• un ripasso schematico delle basi teoriche degli esercizi svolti
• una descrizione dei metodi usati per la loro risoluzione debitamente motivata
• il codice Matlab/Octave degli esercizi svolti.

Nel corso si farà largo uso dei concetti di base del calcolo differenziale e dell'algebra lineare così come presentate negli insegnamenti di Analisi Matematica 1 ed Algebra Lineare e Geometria.

All'interno delle lezioni teoriche frontali saranno effettuati, qualora il docente lo ritenga opportuno, anche in base alla verifica delle effetive conoscenze pregresse degli studenti, ripassi degli argomenti di base più importanti per la comprensione del corso anche se già trattati in corsi precedenti.

L'esame consiste in una prova scritta, da svolgersi in aula informatizzata con l'utilizzo del calcolatore e di un interprete del linguaggio Matlab.
Su richiesta dello studente sarà possibile sostenere, in seguito al conseguimento di un voto sufficiente nella prova scritta, una discussione orale integrativa.

I quesiti di cui si compone la prova scritta riguarderanno tanto gli aspetti teorici quanto quelli più prettamente pratici trattati nel corso.
In particolare sarà richiesto agli studenti di implementare nel linguaggio di programmazione Matlab alcuni semplici programmi per risolvere problemi tipici del Calcolo Scientifico e di interpretare i risultati dell'esecuzione di tali programmi al fine di valutarne la corretteza.

Al fine di ottenere una valutazione positiva nella prova scritta ogni studente dovrà mostrare :

- di conoscere e comprendere i principali metodi ed algoritmi presentati nel corso

- di sapere applicare le proprie conoscenze ed il proprio senso critico alla scelta dell'algoritmo
  numerico più adeguato per la risoluzione di uno specifico problema matematico

- di saper tradurre un algoritmo numerico in un programma in linguaggio Matlab tenendo conto
  della accuratezza e della efficienza dell'implementazione

- di saper interpretare i risultati di una simulazione numerica in modo da valutare la correttezza
   dell'implementazione del codice di calcolo e l'adeguatezza dell'algoritmo al problema affrontato

Su richiesta dello studente, la prova scritta può essere sostituita da un progetto da svolgere a casa consistente
nella risoluzione in Octave/Matlab di un problema numerico di interesse ingegneristico.
Alla conclusione del progetto lo studente dovrà consegnare una relazione scritta e sostenere una discussione orale.

Nella valutazione del progetto e della sua discussione, verrano presi in considerazione, oltre ai criteri validi per la prova scritta :

- la capacità di applicare le conoscenze acquisite in modo indipendente alla risoluzione di un problema di effettiva rilevanza scientifica o ingegneristica.

- la capacità di comunicare in modo chiaro e rigoroso le caratteristiche del problema affrontato,
  le idee alla base della soluzione individuata e la qualità dei risultati ottenuti.