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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2018/2019
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 082919 - ANALISI MATEMATICA I E GEOMETRIA
Docente Boella Marco Ugo Claudio
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (363) INGEGNERIA BIOMEDICA*AE082919 - ANALISI MATEMATICA I E GEOMETRIA

Obiettivi dell'insegnamento

L'insegnamento si propone di fornire allo studente i principi fondamentali del calcolo infinitesimale, differenziale, integrale e dell'algebra lineare e della geometria analitica. Ulteriore obiettivo è la preparazione dello studente all'applicazione delle tecniche analitiche apprese alle altre discipline ingegneristiche.


Risultati di apprendimento attesi

Ci si aspetta che lo studente conosca gli elementi fondamentali del calcolo infinitesimale, differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile e dell'algebra lineare e della geometria analitica. In particolare, lo studente sarà in grado di

- eseguire operazioni e risolvere equazioni con numeri complessi (in forma algebrica e trigonometrica)

- calcolare limiti di funzioni e successioni (con tecniche elementari, ma anche con strumenti quali teoria infiniti/esimi, stime asintotiche, uso di "o piccolo" )

- procedere allo studio qualitativo del grafico di una funzione

- risolvere problemi di integrazione e problemi di convergenza di integrali impropri

- eseguire le operazioni fondamentali sui vettori geometrici e utilizzarli nella risoluzione di semplici problemi di geometria analitica nel piano e nello spazio

- eseguire operazioni su matrici, calcolarne determinante e rango 

- discutere la risolubilità di un sistema lineare e saperlo risolvere 

- risolvere problemi sulle trasformazioni lineari fra spazi vettoriali (nucleo, immagine)

- determinare autovalori/autovettori di una matrice ed eventuale matrice diagonale associata

- saper enunciare e dimostrare alcuni teoremi di base dell'Analisi Matematica e dell'Algebra lineare

 

Il docente si attende un'adeguata correttezza nei calcoli e un'esposizione ben argomentata della teoria.

Il docente si attende inoltre una comprensione non limitata all'enunciazione di definizione e risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica ed in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti.


Argomenti trattati
  1. NOZIONI PRELIMINARI 

Nozione di insieme. Simboli di appartenenza e di inclusione, uguaglianza fra insiemi, operazioni insiemistiche (unione, intersezione, differenza, complementazione, prodotto cartesiano). Numeri naturali. Fattoriale e coefficiente binomiale. Numeri interi. Numeri razionali. 

 

 

  1. INSIEME dei NUMERI REALI

Numeri reali (R): definizione, proprietà algebriche, di ordinamento e di completezza. Rappresentazione geometrica dei numeri reali. Estremi di un insieme di numeri reali (maggioranti, minoranti, sup, inf, max, min). Teorema di esistenza dell’estremo superiore e inferiore. Insiemi limitati e illimitati. Esponenziali e logaritmi. Intervalli. Intorni. Valore assoluto. 

 

 

  1. INSIEME dei NUMERI COMPLESSI

Numeri complessi in forma algebrica e trigonometrica, formule di De Moivre, radice n-esima, piano di Gauss, teorema fondamentale dell’algebra, operazioni e risoluzione di equazioni in campo complesso.

 

 

4.        FUNZIONI REALI di una VARIABILE REALE 

  • Nozioni generali 

Definizione di funzione, dominio, immagine, grafico. Operazioni fra funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzioni composte e inverse. Funzioni limitate e monotone. Estremi di una funzione: estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo (locale e globale). Funzioni simmetriche ( somma, prodotto, composizione di funzioni pari e/o dispari), periodiche. Funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche, modulo, …) e loro grafici. Operazioni elementari sui grafici.

 

  • Limiti

Definizione, teorema di unicità del limite. Limiti destro e sinistro. Algebra dei limiti. Limiti di funzioni composte. Forme indeterminate di tipo aritmetico. Teoremi della permanenza del segno e di confronto. Limiti di funzioni monotone. Il numero di Nepero. Limiti notevoli. Forme indeterminate di tipo esponenziale. Asintoti orizzontali, verticali e obliqui.

 

  • Infinitesimi e infiniti

Infinitesimi ed infiniti: definizione, confronto, ordine, parte principale. Principio di sostituzione degli infinitesimi e infiniti. Simboli “o piccolo” e“ asintotico”. Sostituzione di una funzione con una ad essa asintotica nel calcolo dei limiti. Regole di calcolo con “o piccolo” e asintotico.

 

  • Successioni

Definizione di successione. Successioni limitate, monotone, convergenti, divergenti, regolari, indeterminate. Relazione fra convergenza e limitatezza. Algebra dei limiti. Forme indeterminate di tipo aritmetico. Teorema della permanenza del segno e di confronto. Proprietà dei limiti di successioni (in particolare “limite di una successione limitata per una convergente a zero”).  Teorema di monotonia.  Forme indeterminate di tipo esponenziale. Caratterizzazione sequenziale dei limiti di funzioni.

 

  • Continuità

Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari e di somma, prodotto, quoziente. Spazio funzionale delle funzioni continue in un insieme A. Continuità della funzione composta. Punti di discontinuità e loro classificazione. Teorema della permanenza del segno. Teorema degli zeri (metodo di bisezione), teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi, immagine continua di un intervallo. Continuità della funzione inversa.

 

  • Calcolo differenziale

Derivata con interpretazione geometrica e fisica. Derivate di funzioni elementari. Relazione fra continuità e derivabilità. Algebra delle derivate. Derivata di funzione composta ed inversa. Funzioni inverse delle trigonometriche e loro derivate. Funzioni iperboliche e loro inverse. Derivate laterali. Punti singolari: punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale. Punti critici e teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, di Lagrange e conseguenze: criterio di monotonia. Teoremi di de L’Hospital. Proprietà della funzione derivata. Concavità, convessità e flessi.  Studio del grafico di una funzione. Formule di Taylor e di Mac-Laurin con resto secondo Peano e secondo Lagrange. Sviluppi notevoli (esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche,...). Sviluppi composti.

 

  • Calcolo integrale

Primitiva e integrale indefinito. Tecniche di integrazione indefinita. Integrazione di funzioni razionali. Integrazione per parti e per sostituzione. Casi riconducibili all’integrazione di funzioni razionali tramite sostituzione.

Integrale definito secondo Riemann. Calcolo di aree piane. Teorema della media integrale. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale.

 

  • Integrali impropri

 

Caso dell’intervallo non limitato: definizione di integrabilità in senso improprio, esempio fondamentale sull’integrabilità di in un intorno di , interpretazione geometrica, criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio di assoluta integrabilità.

Caso della funzione non limitata nell’intorno di un punto: definizione di integrabilità in senso improprio, esempio fondamentale sull’integrabilità di in un intorno di , interpretazione geometrica, criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio di assoluta integrabilità.

Caso delle funzioni non limitate nell’intorno di un numero finito di punti e eventualmente definite su intervalli non limitati.

 

 

  1. VETTORI nel PIANO e nello SPAZIO 

Definizione di vettore: modulo, direzione e verso. Operazioni fondamentali sui vettori: somma di vettori, prodotto di un vettore per uno scalare. Vettori nel piano e nello spazio. Versori e componenti scalari. Distanza fra due punti. Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Prodotto scalare, vettoriale, misto e loro interpretazione geometrica. Proiezioni di vettori. Condizioni di ortogonalità, parallelismo e complanarità.

 

 

  1. RETTE e PIANI nello SPAZIO TRIDIMENSIONALE 

Equazione della retta in forma parametrica vettoriale e in forma cartesiana, coseni direttori di una retta. Condizioni di ortogonalità e di parallelismo tra due rette, rette incidenti e rette sghembe. Equazione del piano in forma parametrica vettoriale e in forma cartesiana. Coseni direttori di un piano. Condizioni di ortogonalità e di parallelismo tra due piani. Retta intersezione di due piani. Distanza di un punto da una retta e da un piano.

 

 

  1. SPAZI VETTORIALI ASTRATTI 

Spazio vettoriale astratto. Esempi: spazi euclidei, polinomi, spazi funzionali. Sottospazi vettoriali. Caratterizzazione di un sottospazio vettoriale. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi, componenti, dimensione, sistema di generatori. Spazio vettoriale generato da uno o più vettori. Prodotto scalare tra due vettori nello spazio euclideo. Modulo di un vettore nello spazio euclideo.

 

  1. MATRICI 

Definizione di matrice. Matrice: quadrata, triangolare, diagonale, trasposta, simmetrica, ortogonale. Traccia di una matrice. Operazioni fondamentali sulle matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto righe per colonne. Struttura di spazio vettoriale delle matrici m x n.

Minore complementare, complemento algebrico, determinante di una matrice quadrata. Teorema di Laplace. Principali proprietà del determinante. Teorema di Binet. Interpretazione geometrica del determinante. Legame tra il determinante e la dipendenza e indipendenza lineare. Rango di una matrice. Matrici invertibili e matrice inversa. Matrici simili (o equivalenti).

 

 

  1. SISTEMI LINEARI 

Definizione di sistema lineare e sua rappresentazione matriciale. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Discussione e risoluzione di sistemi lineari al variare di un parametro.

 

 

  1. TRASFORMAZIONI LINEARI 

Definizione di trasformazione lineare tra spazi vettoriali. Teorema di rappresentazione matriciale. Immagine e nucleo di una trasformazione lineare. Teorema della nullità+rango.

 

 

  1. AUTOVALORI, AUTOVETTORI e DIAGONALIZZAZIONE 

Definizione di autovalore e di autovettore. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Autovalori regolari. Matrici diagonalizzabili. Criterio della regolarità degli autovalori per la diagonalizzabilità. Criterio degli autovalori distinti per la diagonalizzabilità. Diagonalizzabilità delle matrici simmetriche tramite cambi di base ortogonali.


Prerequisiti

Si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza dei seguenti argomenti: algebra dei polinomi, equazioni algebriche di primo e secondo grado, elementi di trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica nel piano, esponenziali, logaritmi e loro proprietà, disequazioni algebriche, trigonometriche, esponenziali e logaritmiche.


Modalità di valutazione

Sono previsti quattro appelli d'esame (uno in gennaio-febbraio, due in giugno-luglio, uno in settembre). Sono inoltre previste due prove in itinere (una nel periodo di interruzione di metà corso e una in gennaio-febbraio). L'esame può essere superato presentandosi alle due prove in itinere oppure ad uno degli appelli d'esame.

Secondo la prima modalità (la partecipazione alle prove in itinere non è obbligatoria, ma fortemente consigliata), gli argomenti di ciascuna prova corrispondono a circa una metà del programma. Se il voto ottenuto nella prima prova è sufficiente, esso concorre alla valutazione finale, determinata come media dei due voti parziali. Può sostenere la seconda prova in itinere solo chi ha superato la prima.

Gli appelli d'esame (seconda modalità) riguardano l'intero programma. 

A discrezione del docente, uno studente che abbia superato entrambe le prove in itinere o la prova scritta dell'appello, potrà essere convocato a sostenere una prova orale. D'altra parte, uno studente che abbia superato entrambe le prove in itinere o la prova scritta dell'appello, può chiedere di modificare la valutazione ottenuta, con una prova orale.

 

In sede d'esame, lo studente dovrà essere in grado di:

- calcolare massimi, minimi, estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali,

- rappresentare in forma algebrica e trigonometrica numeri complessi e risolvere equazioni e disequazioni che coinvolgono una variabile complessa, con descrizione grafica dei risultati,

- calcolare limiti di successioni e di funzioni con eventuale utilizzo di stime asintotiche e di formula di Taylor,

- studiare una funzione (dominio, segno, simmetrie, limiti, asintoti, calcolo della derivata prima, punti di non derivabilità, monotonia, massimi e minimi, calcolo della derivata seconda, concavità e convessità, punti di flesso) e tracciarne il grafico qualitativo,

- calcolare integrali indefiniti e definiti (anche di funzioni razionali e utilizzando tecniche di integrazione per decomposizione, per parti e per sostituzione), con eventuale applicazione al calcolo di aree di regioni piane

- discutere la convergenza di integrali impropri ed eventualmente calcolarli

- operare con i vettori utilizzandoli per rappresentare rette e piani nello spazio

- eseguire operazioni su matrici, calcolarne determinante e rango 

- discutere la risolubilità di un sistema lineare e saperlo risolvere 

- risolvere problemi sulle trasformazioni lineari fra spazi vettoriali (nucleo, immagine)

- determinare autovalori/autovettori di una matrice ed eventuale matrice diagonale associata

- esporre in modo chiaro ed esaustivo le definizioni, gli esempi, i teoremi  e le dimostrazioni che fanno parte del programma d'esame.

 


Bibliografia
Risorsa bibliografica facoltativaM.Bramanti, C.D.Pagani, S.Salsa, Analisi Matematica 1 (con elementi di geometria e algebra lineare), Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2014, ISBN: 9788808254214
Risorsa bibliografica facoltativaC.Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica I, Editore: Springer, Anno edizione: 2012, ISBN: 9788847008717
Risorsa bibliografica facoltativaM. Boella, Analisi Matematica 1 e Algebra Lineare (Eserciziario), Editore: Pearson, Anno edizione: 2012, ISBN: 978-88-7192-769-5
Note:

seconda edizione

Risorsa bibliografica facoltativaM. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Editore: Esculapio
Risorsa bibliografica facoltativaL.Mauri, E. Schlesinger, Esercizi di algebra lineare e geometria, Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2013
Risorsa bibliografica facoltativaC. Migliavacca, Analisi 1, Esercizi+epsilon, Editore: LaDotta, Anno edizione: 2013, ISBN: 978-88-98648-03-0
Risorsa bibliografica facoltativaE.Munarini, Esercizi di Analisi e Geometria 1, Editore: Esculapio, Anno edizione: 2015

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
65:00
97:30
Esercitazione
35:00
52:30
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 100:00 150:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
schedaincarico v. 1.6.5 / 1.6.5
Area Servizi ICT
18/01/2021