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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2018/2019
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 082919 - ANALISI MATEMATICA I E GEOMETRIA
Docente Marchini Elsa Maria
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (347) INGEGNERIA CHIMICA*PZZZZ082919 - ANALISI MATEMATICA I E GEOMETRIA
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (348) INGEGNERIA DEI MATERIALI E DELLE NANOTECNOLOGIE*PZZZZ082919 - ANALISI MATEMATICA I E GEOMETRIA

Obiettivi dell'insegnamento

Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio previsti della scheda SUA-CdS, l'insegnamento si propone di fornire allo studente i principi fondamentali del calcolo differenziale e integrale e dell'algebra lineare, con particolare attenzione ai seguenti argomenti: insiemi numerici; geometria elementare nel piano e nello spazio; spazi vettoriali; matrici e sistemi lineari; funzioni reali di una variabile reale; continuità;calcolo differenziale per funzioni di una variabile e applicazioni; calcolo integrale per le funzioni di una variabile reale; successioni numeriche.


Risultati di apprendimento attesi

Le lezioni e le esercitazioni consentiranno allo studente di sviluppare una approfondita conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile e dell'algebra lineare. Lo studente sarà in particolare in grado di risolvere operazioni ed equazioni con i numeri complessi, di affrontare problemi che coinvolgono rette e piani nello spazio, di padroneggiare l'algebra delle matrici e il concetto di spazio vettoriale, di risolvere sistemi lineari, di comprendere e descrivere le principali proprietà delle funzioni di una variabile, di calcolare limiti, di procedere allo studio qualitativo dei grafici delle funzioni, di risolvere problemi di integrazione, di discutere il carattere di successioni  numeriche, di sapere enunciare e dimostrare alcuni teoremi di base dell'Analisi Matematica, di svolgere deduzioni logiche a partire dagli argomenti trattati, di sviluppare relazioni tra gli argomenti sopra indicati.


Il docente si attende una comprensione non limitata all'enunciazione di definizioni e risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica ed in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti.
Si attende inoltre un'adeguata correttezza nei calcoli e un'esposizione (scritta) ben argomentata della teoria.


Argomenti trattati

Insiemi numerici.

Numeri naturali, interi, razionali. Numeri reali, ordinamento e completezza. Estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali. Principio di induzione. Fattoriale. Coefficiente binomiale e binomio di Newton. Numeri complessi, piano di Gauss, forma algebrica e operazioni elementari. Forma trigonometrica e forma esponenziale dei numeri complessi. Radici n-esime di un numero complesso.

Algebra lineare e geometria analitica.

Matrici e la loro algebra. Vettori, somma e prodotto per uno scalare, norma, vettori linearmente indipendenti. Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Prodotto misto tra vettori, calcolo di determinanti 2X2 e 3X3. Rette nel piano e nello spazio. Equazioni parametriche e cartesiane, parallelismo, perpendicolarità. Piani nello spazio, equazione cartesiana, parallelismo, ortogonalità. Rette e piani nello spazio. Distanza da un punto a una retta e a un piano. Spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali, complementi ortogonali, proiezioni. Basi ortonormali. Applicazioni lineari, matrici associate alle applicazioni. Determinante di una matrice quadrata di ordine qualunque. Rango di una matrice. Matrice di un'applicazione lineare (con dim). Sistemi lineari, teorema di Cramer. Sistemi lineari, teorema di Rouché-Capelli. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Applicazioni lineari iniettive, suriettive, biunivoche. Autovalori e autovettori. Autovalori e autovettori, matrici diagonalizzabili. Autovalori regolari. Determinante e traccia in funzione degli autovalori.

Studi di funzioni.

Funzioni, dominio, codominio, rappresentazione cartesiana. Funzioni limitate, simmetriche. Funzioni elementari, funzioni monotone, traslazioni e dilatazione di grafici. Funzioni composte. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.

Funzioni monotone, funzione inversa, funzioni inverse delle funzioni trigonometriche. Successioni, carattere di una successione. Definizione di limite. Successioni monotone, limitate. Successioni geometriche. Il numero di Nepero e. Forme indeterminate di tipo esponenziale. Confronto tra infiniti e tra infinitesimi. Criterio del confronto, permanenza del segno. I simboli di Landau o piccolo e asintotico. Limiti e continuità. Asintoti. Limiti notevoli, utilizzo degli asintotici. Funzioni continue, classificazione delle discontinuità. Massimi e minimi relativi e assoluti. Teorema di Weierstrass, teorema degli zeri (con dim), teorema dei valori intermedi, permanenza del segno. Definizione di derivata, interpretazioni fisiche e geometriche. Punti di non derivabilità. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione, derivazione della funzione inversa. Teorema di Fermat (con dim), teorema di Lagrange (con dim), applicazioni, test di monotonia. Teorema di de l'Hopital (cenno alla dim), derivata seconda, concavità e convessità. Studi di funzione. Formula di Taylor con resto di Peano (con dim). Formula di McLaurin, esempi. Formula di Taylor con resto di Lagrange, stima dell'errore. Polinomio di Taylor di funzioni composte.

Calcolo integrale.

Integrale alla Cauchy. Integrazione delle funzioni continue. Teorema della media integrale (con dim). Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim). Integrazione per scomposizione, per sostituzione, per parti. Integrazione delle funzioni razionali fratte.

 

Il programma e le dimostrazioni richieste potranno subire piccole variazioni che verranno comunicate tramite avviso sul portale Beep.


Prerequisiti

Si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nella scuola secondaria di secondo grado con particolare riferimento a: algebra dei polinomi, equazioni e disequazioni, sistemi elementari, trigonometria, geometria euclidea, geometria analitica, funzioni elementari e loro proprietà.


Modalità di valutazione

Sono previsti appelli nel numero prescritto dalla scuola. Il primo di tali appelli è suddiviso in due prove intermedie, come sotto descritto.

È prevista una prova intermedia, in forma scritta, a metà semestre. Gli studenti che otterranno un voto maggiore o uguale a 18/32 saranno ammessi a sostenere un'ulteriore prova scritta a fine semestre, prova che verterà sugli argomenti svolti nella seconda parte del corso. I restanti studenti dovranno sostenere l'esame nella sua totalità in uno dei successivi appelli ordinari, non potranno in particolare presentarsi alla seconda prova in itinere. Gli studenti che otterranno in entrambe le prove intermedie voti maggiori o uguali a 18/32, avranno superato l'esame ed il voto sarà la media dei due voti ottenuti nelle prove in itinere (arrotondato per eccesso).

Gli studenti risultati insufficienti alla seconda prova in itinere dovranno ripetere l'esame nella sua totalità in uno degli appelli ordinari successivi.

L’esame consta di una prova scritta obbligatoria che si articola in due parti (lo stesso giorno).
Prima parte: è un “pre-scritto”, contiene 10 domande semplici; si considera superata se lo studente risponde ad almeno 6 domande correttamente, in tal caso, lo studente avrà diritto alla correzione della seconda parte.
Seconda parte: contiene una domanda di teoria e alcuni esercizi; per ogni domanda viene precisato il punteggio massimo che si può ottenere.
Voto finale: il numero di risposte giuste della prima parte viene dimezzato, si ottiene così un voto compreso tra 3 e 5 (3 corrisponde al minimo di 6 risposte giuste, 5 al massimo di 10 risposte giuste). La seconda parte viene valutata in 27 punti massimo: 3 punti per la domanda di teoria, 24 punti per gli esercizi (secondo punteggio precisato ogni volta). Sommando i voti delle due parti, si ottiene il voto finale, se >30, il voto corrisponde alla lode.

La prova scritta si intende superata quando il voto della prima parte è di almeno 3/5 e il voto complessivo è di almeno 18/32. Per raggiungere tale voto lo studente può superare i compitini (in itinere) oppure uno qualunque degli appelli successivi. La prova scritta dei due compitini e di qualunque altro appello è sempre del formato descritto qui sopra.

Durante lo svolgimento di ogni prova d'esame lo studente non può consultare né avere con sé testi, appunti, calcolatrici, telefoni cellulari, trasmittenti o qualsiasi altra apparecchiatura elettronica. Lo studente che contravverrà a tale regola, o che sarà sorpreso a chiedere o fornire aiuti ad altro studente, sarà immediatamente allontanato dall'aula d'esame e l'esame stesso si intenderà non superato. In tal caso il docente assegnerà l'esito "riprovato" agli studenti coinvolti.

Lo studente deve presentarsi alle prove d'esame munito di un documento di riconoscimento, in caso contrario non potrà essere ammesso in aula.

L'iscrizione alle prove è tassativa. Lo studente non iscritto (o iscritto tardivamente) non verrà ammesso in aula.

Le regole di cui sopra sono tassative e non ammettono eccezioni. Si prega quindi di non richiederle.

 


Bibliografia
Risorsa bibliografica facoltativaM. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare , Editore: Zanichelli, ISBN: 9788808254214
Risorsa bibliografica facoltativaP. Marcellini C. Sbordone, Calcolo, Editore: Liguori, ISBN: 9788820722180
Risorsa bibliografica facoltativaM. Contedini, G. Grillo, Esercizi di Analisi Matematica I e Algebra Lineare, Editore: La Dotta, Anno edizione: 2015, ISBN: 978889864829
Risorsa bibliografica facoltativaM. Bramanti, Esercizi di Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Editore: Esculapio, Anno edizione: 2005, ISBN: 8874880197
Risorsa bibliografica facoltativaG. Crasta, A. Malusa, Elementi di Analisi Matematica e Geometria, Editore: La Dotta, Anno edizione: 2017, ISBN: 9788898648252

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
60:00
90:00
Esercitazione
40:00
60:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 100:00 150:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
schedaincarico v. 1.6.1 / 1.6.1
Area Servizi ICT
20/11/2019