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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2018/2019
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 082919 - ANALISI MATEMATICA I E GEOMETRIA
Docente Pata Vittorino
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - LC (367) INGEGNERIA DELLA PRODUZIONE INDUSTRIALE*AZZZZ082919 - ANALISI MATEMATICA I E GEOMETRIA

Obiettivi dell'insegnamento

Coerentemente con gli obiettivi generali del Corso IPI, ovvero:

 Comprensione dei principi scientifici ed ingegneristici fondamentali e loro declinazione nei contesti di tecnologie e processi produttivi,

l’Insegnamento ANALISI MATEMATICA I E GEOMETRIA si propone di fornire agli Studenti le conoscenze di base sui seguenti argomenti, che costituiscono un bagaglio culturale imprescindibile all'interno di un percorso di studi in Ingegneria:

- Elementi di logica formale ed insiemi numerici.

- Successioni e serie numeriche.

- Calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali di una variabile reale.

- Algebra lineare.

Si insisterà sulla comprensione e sull’assimilazione delle definizioni e dei risultati principali, più che sulle dimostrazioni (alcune delle quali, peraltro, verranno svolte in dettaglio). Ampio spazio verrà dato ad esempi e ad esercizi.


Risultati di apprendimento attesi

Lo Studente comprende e conosce gli aspetti metodologico-operativi della matematica di base, al fine di interpretare e descrivere i problemi dell'ingegneria. Nello specifico, lo Studente deve essere in grado di padroneggiare le tecniche proprie dell'Analisi Matematica e dell'Algebra Lineare, con il fine di poterle poi applicarle nel corso della sua carriera accademica e professionale. In particolare, svolge correttamente calcoli riguardanti limiti, serie numeriche, derivate, studi di funzioni, integrali, matrici, operatori lineari, oltre che possedere le principali nozioni teoriche.


Argomenti trattati
1. Algebra lineare.
- Matrici e determinanti.
- Lo spazio vettoriale Rn.
- Applicazioni lineari.
- Autovalori e autovettori.
- Sistemi lineari.
 
2. Insiemi numerici  e operazioni.
- Numeri naturali, razionali, reali, complessi.
- Operazioni insiemistiche.
- Relazioni e funzioni.
- Cenni di logica formale.
 
3. Successioni numeriche.
- Successione convergente, divergente, oscillante.
- Successione limitata, infinitesima.
- Unicità del limite.
- Sottosuccessioni.
- Operazioni con i limiti, forme indeterminate.
- Teorema della permanenza del segno e relativi corollari.
- Teorema dei 2 Carabinieri.
- Teorema del prodotto di un'infinitesima per una limitata.
- Limiti notevoli.
- Successioni monotone, il numero e.
- Teorema di Bolzano-Weierstrass.
- Successioni di Cauchy: completezza di R.
- Uso dell'asintotico nel calcolo dei limiti.
 
4. Serie numeriche
- Serie convergente, divergente, oscillante.
- Condizione necessaria di convergenza.
- Serie a termini positivi.
- Serie geometrica, serie armonica, serie di Mengoli.
- Criterio del confronto, del rapporto e della radice.
- Criterio del confronto asintotico.
- Serie armonica generalizzata.
- Serie fattoriale.
- Serie a segni alterni: criterio di Leibniz.
- Convergenza assoluta.
 
5. Limiti e continuità
- Funzioni reali: dominio, immagine, grafico, simmetrie, periodicità.
- Funzioni monotone, funzione inversa, composizione di funzioni.
- Intorni di punti in R.
- Definizione di limite.
- Limite destro e sinistro. Asintoti orizzontali e verticali.
- Relazione con i limiti di successioni.
- Operazioni sui limiti.
- Unicità, permanenza del segno, Teorema dei 2 Carabinieri.
- Continuità in un punto, funzioni continue.
- Continuità della somma, prodotto, quoziente e composta di funzioni.
- Teorema della permanenza del segno.
- Classificazione delle discontinuità. Discontinuità delle funzioni monotone.
- Teorema degli zeri, di Weierstrass, dei valori intermedi.
- Funzioni monotone e continuità, inversa di funzioni continue.
 
6. Derivabilità.
- Derivata in un punto ed interpretazione geometrica.
- Derivata destra e sinistra. La funzione derivata.
- Derivate delle funzioni elementari.
- Operazioni con le derivate, derivazione della composta e dell'inversa.
- Relazione tra derivabilità e continuità in un punto.
- Punti di non derivabilità.
- Cenni al differenziale.
- Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange.
- Continuità della derivata, la classe C1.
- Condizione sufficiente di derivabilità.
- Funzioni crescenti e decrescenti: criterio di monotonia.
- Derivate successive.
- Funzioni convesse e concave: criterio di convessità.
- Studio di funzioni.
- Regola di de l'Hospital. Formula di Taylor.
 
7. Integrale di Riemann.
- Integrale delle funzioni limitate. Funzioni non integrabili.
- Interpretazione geometrica dell'integrale.
- Proprietà dell'integrale: linearità, additività, confronto, modulo dell'integrale.
- Classi di funzioni integrabili.
- Teorema della media.
- La funzione integrale.
- Teorema fondamentale del calcolo.
- Primitive di funzioni continue. Differenza di due primitive.
- Formula del calcolo.
- Integrale indefinito. Primitive elementari.
- Metodi di integrazione: sostituzione, scomposizione, per parti, per ricorrenza.
- Integrali impropri. Confronto, confronto asintotico.
- Serie numeriche e integrali impropri.

Prerequisiti

Sono richieste le competenze di base fornite dalla scuola superiore. In particolare, è richiesta la conoscenza dei seguenti argomenti:

- Geometria analitica.

- Trigonometria.

- Logaritmi ed esponenziali.

- Equazioni e disequazioni (logaritmiche, trigonometriche, con valore assoluto).

Si suggerisce di visionare il MOOC di Pre-Calculus https://www.pok.polimi.it/courses/course-v1:Polimi+MAT101+2017_M9/about
ideato dal Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. Il corso copre la matematica di base, permettendo di colmare eventuali lacune e di mettere a punto la preparazione necessaria all'ingresso all'università.


Modalità di valutazione

Appelli (non sono previste Prove in Itinere).

L’esame si articola attraverso una prova scritta suddivisa in 4 parti:

1. Esercizi e/o domande di  base

2. Algebra Lineare

3. Analisi-Teoria

4. Analisi-Esercizi

 

La prova d'esame è volta ad accertare le abilità conseguite dallo Studente nel calcolo di limiti, serie numeriche, derivate, studi di funzioni, integrali, matrici, operatori lineari, verificando inoltre la sua preparazione sulla parte teorica. Particolare enfasi verrà data all'utilizzo di strumenti teorici per la risoluzione dei problemi.

Le date delle singole prove saranno comunicate con un congruo anticipo in aula e su Beep.

PER PARTECIPARE A UN APPELLO D'ESAME E' NECESSARIO ESSERSI ISCRITTI NEI TEMPI PREVISTI.


Bibliografia
Risorsa bibliografica obbligatoriaDispense del docente
Risorsa bibliografica facoltativaP. Marcellini C. Sbordone, Calcolo, Editore: Liguori

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
60:00
90:00
Esercitazione
40:00
60:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 100:00 150:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese
Possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese
schedaincarico v. 1.6.1 / 1.6.1
Area Servizi ICT
04/04/2020