logo-polimi
Loading...
Risorse bibliografiche
Risorsa bibliografica obbligatoria
Risorsa bibliografica facoltativa
Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2018/2019
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 088697 - CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA
Docente Ladelli Lucia Maria
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (355) INGEGNERIA DELL'AUTOMAZIONE*AZZZZ088697 - CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA

Obiettivi dell'insegnamento

Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio, previsti dalla scheda SUA-Cds, l'insegnamento si propone di fornire all'allievo i modelli matematici e le tecniche statistiche di base per affrontare problemi ingegneristici inerenti ai fenomeni casuali.

I contenuti della prima parte del corso riguardano le basi del calcolo delle probabilità: definizione assiomatica di uno spazio di probabilità, probabilità condizionata, indipendenza, variabili aleatorie e vettori aleatori, legge debole dei Grandi Numeri e Teorema Centrale del Limite. Nella seconda parte del corso vengono fornite le nozioni di base di statistica matematica: rudimenti di teoria della stima puntuale parametrica, intervalli di confidenza per caratteristiche di una popolazione, test di verifica di ipotesi parametriche, cenni di statistica non paramentrica.


Risultati di apprendimento attesi

A seguito del superamento dell’esame, lo studente:

-  conosce i principi fondamentali del calcolo delle probabilità e della statistica matematica (DdD1);

-  conosce la terminologia adeguata(DdD1), è in grado di modellare problemi ingegneristici inerenti a fenomeni casuali(DdD1);

-  è in grado di selezionare i principi utili per ottenere soluzioni a problemi (DdD2);

-  è in grado di gestire problemi non strettamente inerenti alle problematiche affrontate nel corso assumendo decisioni motivate (DdD 2);

-  è in grado di comunicare i risultati della propria attività in modo chiaro e convincente (DdD 4).

Il docente si attende una comprensione che non si limiti alla mera enunciazione di definizioni e risultati e alla soluzione di esercizi standard, ma che sia critica, ovvero che lo studente sia in grado di giustificare i procedimenti seguiti e di distinguere le diverse situazioni.


Argomenti trattati

1. Probabilita'. Definizione assiomatica di probabilita'; spazio dei campioni, eventi, probabilita'. Proprieta' della funzione di probabilita'. Probabilita' condizionata e indipendenza stocastica. Formule delle probabilita' totali e di Bayes, regola del prodotto. Prove di Bernoulli. Esempi ed applicazioni.

2. Variabili aleatorie. Variabili aleatorie e funzione di ripartizione. Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue e loro funzioni di densita'. Valore atteso e varianza; deviazione standard. ``Failure rate''. Esempi di distribuzioni notevoli: distribuzione uniforme discreta, di Bernoulli, binomiale, geometrica, di Poisson, ipergeometrica, uniforme continua, esponenziale, gamma, normale, distribuzioni di Pareto; loro principali proprieta' e applicazioni. Funzione di una variabile aleatoria: metodo della funzione di ripartizione. Proprieta' di valore atteso e varianza. Momenti. Disuguaglianza di Chebichev. Trasformazioni affini di variabili aleatorie; loro effetto su media, varianza e densita'; standardizzazione di una variabile aleatoria. Funzione generatrice dei momenti e sue proprieta'. Esempi e applicazioni.

3. Vettori aleatori. Vettore aleatorio; funzione di ripartizione congiunta e  funzioni di ripartizione marginali. Densita' assolutamente continue e densita' discrete congiunte e marginali. Indipendenza di variabili aleatorie; vettori aleatori indipendenti. Cenni alle funzioni di vettori aleatori. Funzioni di vettori aleatori discreti e congiuntamente continui: metodo della funzione di ripartizione. Trasformazioni affini. Somma di variabili aleatorie; convoluzione discreta e continua. Somma di variabili aleatorie di Poisson indipendenti, di gamma indipendenti, di normali indipendenti. Valore atteso di una funzione di variabili aleatorie. Valore atteso della somma di variabili aleatorie. Media della binomiale e dell'ipergeometrica. Valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie indipendenti. Covarianza e coefficiente di correlazione lineare; loro proprieta'. Varianza della somma di variabili aleatorie. Media campionaria, suo valore atteso e sua varianza; varianza campionaria e suo valore atteso.

Legge debole e legge forte dei grandi numeri. Teorema centrale del limite; esempi, conseguenze, approssimazione normale. Matrice di covarianza. Normali multivariate; principali proprieta'. Densita' e valori attesi condizionali. Cenni alle catene di Markov. Esempi e applicazioni.

4. Distribuzioni campionarie per popolazioni gaussiane. Distribuzione congiunta di media e varianza campionarie per un campione gaussiano. Conseguenze. Distribuzioni chi-quadrato, t di Student, F di Fisher.

5. Teoria della stima. Statistiche e stimatori. Metodo dei momenti e metodo di massima verosimiglianza per la costruzione di stimatori puntuali. Errore quadratico medio. Proprieta' esatte e asintotiche degli stimatori: non distorsione, non distorsione asintotica, consistenza, normalita' asintotica. Intervalli di confidenza e metodo della quantita' pivotale. Intervalli di confidenza per media e varianza di popolazioni gaussiane. Esempi ed applicazioni.

6. Verifica delle ipotesi. Ipotesi statistiche, semplici e composte; errori di primo e secondo tipo; regione critica, statistica test, livello di significativita' del test, funzione potenza, p-value. Test z, t, chi-quadro e F; altri esempi di test parametrici. Connessioni fra prova delle ipotesi e intervalli di confidenza. Intervalli di confidenza e test di ipotesi per la media di popolazioni non gaussiane nel caso di grandi campioni. Esempi ed applicazioni: inferenza asintotica per popolazioni bernoulliane.

7. Metodi non parametrici. Test  chi-quadro di buon adattamento e di indipendenza. 


Prerequisiti

Per seguire il corso sono necessari i rudimenti del calcolo infinitesimale in una e piu' variabili, cosi' come sono contenuti nei primi corsi di analisi matematica e algebra lineare.


Modalità di valutazione

Sono previste due prove in itinere e le prove d'esame secondo il calendario stabilito dalla Scuola.

 

L'acquisizione dei crediti avviene o mediante le due prove in itinere o in una delle prove d'esame previste.

 

La seconda prova in e' riservata agli ammessi in base al risultato della prima prova in itinere. L'esame si considera superato se la media aritmetica dei risultati nelle due prove raggiunge la sufficienza ed in entrambe le prove si sono ottenuti risultati almeno non lontani dalla sufficienza.

I restanti appelli d'esame sono superati se la votazione ottenuta risulta sufficiente.

 

Le modalità di verifica dell'apprendimento che seguono valgono sia per le prove in itinere sia per ciascuna prova d'esame.

 

- La prova d'esame è scritta ed è articolata in due parti: nella prima si richiede al candidato di rispondere a domande riguardanti argomenti sviluppati a lezione (DdD:1,4), nella seconda di risolvere alcuni problemi (esercizi, DdD:1,2).

Il docente si riserva la possibilità, in caso di valutazione incerta,  di richiedere un esame orale integrativo (DdD: 1,4).

 

- Durante l'esame lo studente  potra' utilizzare il formulario preparato dai docenti, reperibile sulla  pagina web del  corso, le tavole delle distribuzioni notevoli e la calcolatrice. E' vietato l'uso di altro materiale e di dispositivi elettronici, in particolare e' vietato tenere il cellulare durante la prova d'esame.

 

Più specificatamente, l' esame ha l'obiettivo di verificare se lo studente ha acquisito le competenze che seguono.

Conoscenza e comprensione (DdD1):

   dei concetti fondamentali del calcolo delle probabilità ;

   delle basi della statistica matematica;

capacità di applicare le conoscenze acquisite (DdD2):  

   alla costruzione di un modello probabilistico di fenomeni aleatori

   al calcolo della probabilità di eventi relativi a fenomeni aleatori

   al calcolo di quantità relative alle variabili e ai vettori aleatori quali, ad esempio, media, varianza, momenti, funzione generatrice       dei  momenti e covarianza

   al calcolo della probabilità di eventi tramite il Teorema Centrale del Limite

   al calcolo di quantità relative ai vettori aleatori gaussiani e a statistiche basate su un campione gaussiano

   per ottenere stimatori puntuali tramite il metodo dei momenti e della massima verosimiglianza

   per verificare proprietà degli stimatori quali la non distorsione, la consistenza, la consistenza in media quadratica e l'asintotica           normalità

   per calcolare l'errore quadratico medio degli stimatori puntuali

   per determinare le stime intervallari dei parametri individuando una quantità pivotale adatta alla popolazione in esame

   per costruire test di verifica di ipotesi nulle semplici e composte sui parametri di una o due famiglie gaussiane

   per costruire test di verifica di ipotesi asintotici per una o due famiglie bernoulliane

   per costruire test chi quadrato;

abilitità comunicative (DdD4):

   nell'esporre in maniera critica e autonoma i vari argomenti affrontati durante il corso


Bibliografia
Risorsa bibliografica obbligatoriaSheldon M. Ross, Probabilita' e statistica per l'ingegneria e le scienze. 3a edizione., Editore: Apogeo, Anno edizione: 2015, ISBN: 978891609946
Note:

Libro di testo. Titolo originale: Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists, 5th ed. 2014, Elsevier.

Risorsa bibliografica obbligatoriaIlenia Epifani-Lucia Ladelli-Gustavo Posta, Esercizi di Statistica per l'Ingegneria, le Scienze e l'Economia, Editore: Edizioni La Dotta, Anno edizione: 2017, ISBN: 978-88-98648-59-7
Risorsa bibliografica obbligatoria https://beep.metid.polimi.it
Note:

Materiale didattico disponibile sulla pagina web del corso

Risorsa bibliografica facoltativaHwei Hsu, Probabilita', variabili casuali e processi stocastici., Editore: McGraw-Hill, Anno edizione: 2011, ISBN: 9788838666964 https://beep.metid.polimi.it

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
60:00
90:00
Esercitazione
40:00
60:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 100:00 150:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese
Possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese
Disponibilità di supporto didattico in lingua inglese
schedaincarico v. 1.6.1 / 1.6.1
Area Servizi ICT
27/01/2020