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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2017/2018
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 083402 - CALCOLO NUMERICO ED ELEMENTI DI ANALISI
Docente Dede' Luca
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - BV (350) INGEGNERIA AEROSPAZIALE*PZZZZ083402 - CALCOLO NUMERICO ED ELEMENTI DI ANALISI

Programma dettagliato e risultati di apprendimento attesi

Obiettivi e contenuti del corso

 

Obiettivo formativo principale. Il Corso si propone di far in modo che gli studenti apprendano con consapevolezza e senso critico gli strumenti di base del Calcolo Numerico ed alcuni elementi fondamentali della analisi delle equazioni alle derivate parziali, tenendo presenti le applicazioni nella modellazione e nella simulazione di problemi dell'Ingegneria. Il contenuto del Corso si compone di una parte teorica e di una parte pratica svolta al calcolatore. Lo studente apprenderà così le basi del Calcolo  Numerico unitamente alle nozioni di base di come sviluppare un programma di calcolo efficace. Il software utilizzato per la parte di programmazione sarà Matlab. 

 

Obiettivi formativi metodologici. Fornire le principali metodologie numeriche utilizzate nell'Ingegneria con alcuni esempi applicativi. Sviluppare negli studenti la capacità critica per il loro utilizzo.

 

Obiettivi formativi secondari. Fornire le basi della programmazione in ambito scientifico-numerico.

 

Descrizione degli argomenti trattati

1. Utilizzo di un calcolatore nel Calcolo Numerico: l'aritmetica finita di un calcolatore; rappresentazione floating-point dei numeri reali; l'epsilon macchina; problemi legati all'uso dell'aritmetica floating-point; i diversi tipi di errore nel processo computazionale; costo computazionale di un algoritmo.

 

2. Elementi di programmazione in MATLAB: assegnazione di numeri e definizione di variabili;  le principali operazioni; costruzione di vettori e matrici; principali operazioni vettoriali; cicli condizionati e non condizionati; rappresentazione grafica di una funzione; esempi di functions built-in; definizione di funzioni: il comando inline e gli m-files; esempi di lettura e scrittura su file; misura dell'elapsed time; l'help di Matlab; alcune regole di buona programmazione; la fase di debugging.

 

3. Algebra lineare numerica: risoluzione di un sistema lineare; i limiti della regola di Cramer. Metodi diretti; fattorizzazione LU di una matrice; condizioni per l'esistenza e l'unicità della fattorizzazione LU; metodo delle sostituzioni in avanti e all'indietro; la fattorizzazione di Cholesky; il pivoting; risoluzione di un sistema tridiagonale: l'algoritmo di Thomas; Stabilità di un sistema lineare e numero di condizionamento di una matrice. Implementazione della fattorizzazione LU per un generico sistema di ordine n; il comando backslash in MATLAB; calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice tramite la fattorizzazione LU; sistemi sovradeterminati, fattorizzazione QR. Costruzione di un generico metodo iterativo; i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel; il metodo di Richardson nelle sue varianti stazionario e dinamico, precondizionato e non precondizionato; risultati di convergenza; criteri d'arresto per uno schema iterativo; il metodo del gradiente e del gradiente coniugato (cenni).  Implementazione dei metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, di Richardson e del gradiente.  Calcolo di autovalori e autovettori: i metodi delle potenze dirette e delle potenze inverse (con e senza shift), il metodo QR.

 

4. Calcolo di zeri di equazioni e sistemi non lineari: il metodo di bisezione; metodi di Newton; iterazioni di punto fisso; criteri d'arresto; Implementazione dei metodi di bisezione, Newton e del metodo di punto fisso per il caso scalare; Il metodo di Newton per sistemi di equazioni non lineari;  il comando Matlab fsolve.

 

5. Approssimazione di funzioni e di dati: limiti dello sviluppo in serie di Taylor; interpolazione polinomiale semplice (forma di Lagrange); i comandi Matlab polyfit e polyval; il fenomeno di Runge; stabilità del polinomio interpolante (cenni); interpolazione semplice sui nodi di Chebyshev; interpolazione composita; il comando Matlab interp1; funzioni spline; il comando Matlab spline; retta di regressione, approssimazioni nel senso dei minimi quadrati con polinomi. Implementazione dell'interpolazione composita lineare e del calcolo della retta di regressione.

 

6. Integrazione e derivazione numerica: approssimazione di integrali definiti mediante le formule di quadratura di Newton-Cotes; grado di esattezza e ordine di convergenza; derivazione, interpretazione geometrica e principali proprietà delle formule di quadratura del rettangolo, del trapezio e di Cavalieri-Simpson, in forma semplice e composita; formule di quadratura di tipo Gaussiano.  Implementazione delle formule di quadratura di Newton-Cotes; verifica sperimentale dei corrispondenti ordini di accuratezza e gradi di esattezza.  Approssimazione della derivata prima di una funzione: differenze finite in avanti, all'indietro e centrate; approssimazione della derivata seconda; forme indeterminate.

 

7. Equazioni differenziali ordinarie: il problema di Cauchy: richiamo dei principali risultati di esistenza e unicità della soluzione, stabilità di Liapunov (cenni). Gli schemi a un passo: Eulero in avanti, all'indietro e Crank-Nicolson; schemi espliciti versus schemi impliciti; convergenza, zero-stabilità e assoluta stabilità; lo schema di Heun; metodi di Runge-Kutta, risoluzione di sistemi di equazioni differenziali del prim'ordine.  Applicazioni a semplici modelli fisici (pendolo non lineare, sistema massa-molla-smorzatore). Implementazione dei metodi di Eulero e del metodo di Crank-Nicolson per il caso scalare. Sistemi di equazioni differenziali del prim'ordine: theta-metodo; equazioni di alto ordine (cenni).

 

8. Equazioni ai valori al bordo: il problema di Poisson monodimensionale; approssimazione numerica con uno schema alle differenze finite; approssimazione di problemi di diffusione-trasporto a trasporto dominante; trattamento delle condizioni al contorno di Dirichlet e Neumann. Implementazione di un codice monodimensionale alle differenze finite per la simulazione della trasmissione di calore in una sbarra sottile riscaldata. Forma debole delle equazione di Poisson e introduzione al metodo degli elementi finiti. 

 

9. Cenni alle equazioni alle derivate parziali: classificazione delle equazioni alle derivate parziali: equazioni ellittiche, paraboliche ed iperboliche; problemi ben posti e unicità della soluzione (cenni). Il problema di Poisson in 2D (cenni); risoluzione numerica: schemi alle differenze finite a 5 punti per l'operatore di Laplace (cenni). Problemi ai valori al bordo e iniziali: l'equazione del calore nel caso monodimensionale; approssimazione con differenze finite e theta-metodo; implementazione e soluzione numerica.


 

 


Note Sulla Modalità di valutazione

Organizzazione del corso e modalità di verifica

 

Modalità didattiche

Il Corso si articolerà su 63 ore di lezione frontale e 48 ore di esercitazione in laboratorio. Gli studenti potranno così trovare un riscontro immediato pratico degli insegnamenti teorici ricevuti, familiarizzandosi al tempo stesso con un linguaggio di programmazione. La frequenza alle lezioni non è obbligatoria.

 

Modalità di verifica

La verifica consta di una prova scritta che si svolge in aula informatica e prevede sia domande teoriche che pratiche, con esercizi da risolvere al calcolatore (si richiede l'utilizzo del software di calcolo Matlab e la programmazione di scripts e functions Matlab). In alternativa alla prova scritta, l'esame si compone di due prove scritte in itinere. Le prove scritte sono selettive. Se non viene conseguita una valutazione sufficiente lo studente non supera l'esame.

 


Bibliografia
Risorsa bibliografica obbligatoriaA. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, Calcolo Scientifico. Esercizi e problemi risolti con MATLAB e Octave, Editore: Springer, Anno edizione: 2012, ISBN: 978-88-470-2745-9
Risorsa bibliografica facoltativaA. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, Matematica Numerica, Editore: Springer, Anno edizione: 2014, ISBN: 978-88-470-5644-2
Risorsa bibliografica facoltativaA. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, Scientific Computing with MATLAB and Octave, Editore: Springer, Anno edizione: 2014, ISBN: 978-3-642-45367-0
Note:

(English)


Mix Forme Didattiche
Tipo Forma Didattica Ore didattiche
lezione
63.0
esercitazione
0.0
laboratorio informatico
48.0
laboratorio sperimentale
0.0
progetto
0.0
laboratorio di progetto
0.0

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese
schedaincarico v. 1.6.1 / 1.6.1
Area Servizi ICT
08/12/2019