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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2015/2016
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 078047 - METODI ANALITICI E NUMERICI DELLE E.D.P.
Docente Miglio Edie , Salsa Sandro
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Corso Integrato

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (365) INGEGNERIA MATEMATICA*AZZZZ078047 - METODI ANALITICI E NUMERICI DELLE E.D.P.
094892 - METODI ANALITICI DELLE E.D.P.
Ing Ind - Inf (Mag.)(ord. 270) - BV (478) NUCLEAR ENGINEERING - INGEGNERIA NUCLEARE*AZZZZ094892 - METODI ANALITICI DELLE E.D.P.
094961 - METODI NUMERICI DELLE E.D.P.

Programma dettagliato e risultati di apprendimento attesi

Obiettivi del corso - Parte Analitica

Lezioni:presentare le più comuni equazioni della meccanica dei continui ed analizzarne le principali caratteristiche modellistico/analitiche. Esaminare la formulazione variazionale dei casi più semplici.

Esercitazioni: imparare a gestire le tecniche di separazione di variabili e l'uso delle caratteristiche per la ricerca di soluzioni esplicite.

Programma:

1. Equazione di diffusione. Legge di Fourier; principali problemi iniziali/al bordo. Principi di massimo e di confronto. Soluzione fondamentale e connessione con passeggiata aleatoria e moto Browniano. Problema di Cauchy globale. Opzionale: applicazione all'equazione di Black-Scholes in finanza; equazione dei mezzi porosi.

2. Equazione di Laplace/Poisson. Problemi ben posti. Funzioni armoniche nel discreto. Principi di media e di massimo. Soluzione fondamentale e funzione di Green. Rappresentazione mediante potenziali (Newtoniani, di doppio e semplice strato)

3. Leggi di conservazione unidimensionali. Modellodi trasposto lineare. Modelli di traffico. Onde d'urto e di rarefazione. Condizioni di Rankine-Hugoniot. Soluzioni deboli. Unicità e soluzioni entropiche. Problema di Riemann.

4. Equazione delle onde. Energia ed unicità per problemi iniziali/al bordo. Formula di d'Alembert per la corda vibrante. Soluzione fondamentale e principio di Huygens forte in tre dimensioni. Formula di Kirkhoff. Formula di poisson nel caso 2-d.

5. Elementi di Analisi degli spazi di Hilbert. Teoremi di proiezione, di Riesz, di Lax-Milgram. Soluzione di problemi variazionali ellittici.

 

Obiettivi e contenuti del corso – Parte Numerica

Il corso si propone di introdurre alcuni strumenti dell’Analisi Numerica per lo studio e la risoluzione di problemi ai limiti, rilevanti per la formazione di un ingegnere. Ogni argomento trattato verrà accompagnato da esercitazioni al calcolatore durante le quali lo studente verrà messo in grado di risolvere alcuni semplici problemi.

Descrizione degli argomenti trattati

Prima Parte – Modellistica differenziale ed approssimazione tramite differenze finite

Approssimazione numerica dell'equazione del calore tramite differenze finite: Approssimazione delle derivate del primo e secondo ordine tramite rapporti incrementali. Formulazione algebrica del problema, proprieta' della matrice. Consistenza, stabilita' e convergenza del metodo. Avanzamento in tempo tramite il theta-metodo. Metodi espliciti e impliciti e analisi della loro stabilita'. Principio del massimo discreto.

Equazioni di diffusione-trasporto monodimensionali: Analisi di uno schema centrato tramite equazioni alle differenze. Il numero di Peclet e l'instabilita' dello schema. Metodi di stabilizzazione: lo schema upwind e la diffusione artificiale.

Approssimazione numerica delle leggi di conservazione scalari: approssimazione tramite differenze finite. Gli schemi Upwind, Lax-Friedrichs e Lax-Wendroff e la loro accuratezza. Analisi degli schemi, la condizione CFL e le loro proprieta' di stabilita'.

Equazione di Laplace-Poisson: Lo schema a 5 punti per l'equazione di Poisson. Principio del massimo discreto. La flessione di una membrana elastica.

Seconda Parte – Elementi di Analisi Funzionale, formulazioni variazionali e discretizzazione tramite il metodo degli elementi finiti.

Il metodo di Galerkin elementi finiti: introduzione al metodo di Galerkin per un problema ellittico monodimensionale. Proprietà del metodo di Galerkin: consistenza, stabilità e convergenza. Il metodo degli elementi finiti nel caso monodimensionale. Elementi finiti lineari e quadratici. Implementazione tramite basi Lagrangiane. Interpolazione e stima dell'errore. Ordine di convergenza del metodo.

Approssimazione delle equazioni di diffusione-trasporto-reazione monodimensionali tramite elementi finiti: relazione con il metodo delle differenze finite ed insorgenza di instabilita'. Stabilizzazione con diffusione artificiale di tipo upwind e di tipo fitting esponenziale. La tecnica del mass lumping per un problema di diffusione-reazione monodimensionale.

Approssimazione dell'equazione del calore tramite elementi finiti: Approssimazione numerica tramite il metodo di Galerkin, il problema semi-discreto. Avanzamento in tempo tramite il theta-metodo. Metodi espliciti, impliciti e analisi della loro stabilita'.


Note Sulla Modalità di valutazione

L'esame consiste in una prova scritta e in un colloquio orale. La prova scritta, composta da domande teoriche, esercizi e verifiche al calcolatore, e' selettiva. Lo studente e' ammesso al colloquio orale finale solo dopo averla superata. La prova orale della parte numerica è facoltativa sotto le seguenti condizioni: possono fare a meno del colloquio orale coloro che abbiano ottenuto nella prova scritta un voto maggiore o uguale a 18.


Bibliografia
Risorsa bibliografica obbligatoriaS. Salsa, Equazioni a Derivate Parziali. Metodi, modelli e applicazioni, Editore: Springer, Anno edizione: 2016
Risorsa bibliografica obbligatoriaS. Salsa, G. Verzini, Equazioni a Derivate Parziali. Complementi ed esercizi, Editore: Springer, Anno edizione: 2005
Risorsa bibliografica obbligatoriaS. Salsa, Partial Differential Equations in Actions. From Modelling to Theory, Editore: Springer, Anno edizione: 2015
Risorsa bibliografica obbligatoriaA. Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Editore: Springer, Anno edizione: 2009, ISBN: 978-88-470-0841-0
Risorsa bibliografica facoltativaS. Salsa, F. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino, Invito alle Equazioni a Derivate Parziali, Editore: Springer, Anno edizione: 2009, ISBN: 978-88-470-1179-3

Mix Forme Didattiche
Tipo Forma Didattica Ore didattiche
lezione
65.0
esercitazione
16.0
laboratorio informatico
21.0
laboratorio sperimentale
0.0
progetto
0.0
laboratorio di progetto
0.0

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di materiale didattico/slides in lingua inglese
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese
Possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese
schedaincarico v. 1.6.5 / 1.6.5
Area Servizi ICT
20/10/2020