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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2014/2015
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 083402 - CALCOLO NUMERICO ED ELEMENTI DI ANALISI
Docente Micheletti Stefano
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - BV (350) INGEGNERIA AEROSPAZIALE* AL084343 - INTEGRAZIONE DI CALCOLO NUMERICO E COMPLEMENTI DI ANALISI
AESAL083402 - CALCOLO NUMERICO ED ELEMENTI DI ANALISI
PASAZZZZ083402 - CALCOLO NUMERICO ED ELEMENTI DI ANALISI
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 509) - BV (100) INGEGNERIA AEROSPAZIALE* AL060059 - CALCOLO NUMERICO A

Programma dettagliato e risultati di apprendimento attesi

Obiettivi e contenuti del corso

Obiettivo formativo principale

Il Corso si propone di far in modo che gli studenti apprendano con consapevolezza e senso critico gli strumenti di base del Calcolo Numerico ed alcuni elementi fondamentali della analisi delle equazioni alle derivate parziali, tenendo presenti le applicazioni nella modellazione e nella simulazione di problemi dell'Ingegneria. Il contenuto del Corso si compone di una parte teorica e di una parte pratica svolta al calcolatore. Lo studente apprenderà così le basi del Calcolo  Numerico unitamente alle nozioni di base di come sviluppare un programma di calcolo efficace. Il software utilizzato per la parte di programmazione sarà Matlab o Octave. 

Obiettivi formativi metodologici

Fornire le principali metodologie numeriche utilizzate nell'Ingegneria con alcuni esempi applicativi. Sviluppare negli studenti la capacità critica per il loro utilizzo.

Obiettivi formativi secondari

Fornire le basi della programmazione in ambito scientifico-numerico.

 

Descrizione degli argomenti trattati

1. Utilizzo di un calcolatore nel Calcolo Numerico: l'aritmetica finita di un calcolatore; rappresentazione floating-point dei numeri reali; l'epsilon macchina; problemi legati all'uso dell'aritmetica floating-point; i diversi tipi di errore nel processo computazionale; costo computazionale di un algoritmo.

2. Elementi di programmazione in MATLAB-Octave : assegnazione di numeri e definizione di variabili;  le principali operazioni; costruzione di vettori e matrici; principali operazioni vettoriali; cicli condizionati e non condizionati; rappresentazione grafica di una funzione; esempi di functions built-in; definizione di funzioni: il comando inline e gli m-files; esempi di lettura e scrittura su file; misura dell'elapsed time; l'help di Matlab; Alcune regole di buona programmazione; La fase di debugging.

3. Algebra lineare numerica : risoluzione di un sistema lineare; i limiti della regola di Cramer. Metodi diretti; fattorizzazione LU di una matrice; condizioni per l'esistenza e l'unicità della fattorizzazione LU; metodo delle sostituzioni in avanti e all'indietro; la fattorizzazione di Cholesky; il pivoting; risoluzione di un sistema tridiagonale: l'algoritmo di Thomas; Stabilità di un sistema lineare e numero di condizionamento di una matrice. Implementazione della fattorizzazione LU per un generico sistema di ordine n; il comando backslash in MATLAB; calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice tramite la fattorizzazione LU;  Costruzione di un generico metodo iterativo; i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel; il metodo di Richardson nelle sue varianti stazionario e dinamico, precondizionato e non precondizionato; risultati di convergenza; criteri d'arresto per uno schema iterativo; il metodo del gradiente coniugato (cenni);  Implementazione dei metodi di Jacobi, Gauss-Seidel e di Richardson.  Calcolo di autovalori e autovettori: il metodo delle potenze (con e senza shift), il metodo QR (cenni).

4. Calcolo di radici di equazioni e sistemi non lineari : il metodo di bisezione; il metodo di Newton; iterazioni di punto fisso; criteri d'arresto; Implementazione dei metodi di bisezione e del metodo di punto fisso per il caso scalare; Il metodo di Newton per sistemi di equazioni non lineari;  il comando Matlab fsolve.

5. Approssimazione di funzioni e di dati : limiti dello sviluppo in serie di Taylor; interpolazione polinomiale semplice (forma di Lagrange); i comandi Matlab polyfit e polyval; il fenomeno di Runge; interpolazione semplice sui nodi di Chebyshev; interpolazione composita; il comando Matlab interp1; funzioni spline; il comando Matlab spline; retta di regressione, approssimazioni nel senso dei minimi quadrati con polinomi. Implementazione dell'interpolazione composita lineare e del calcolo della retta di regressione.

6. Integrazione e derivazione numerica : approssimazione di integrali definiti mediante le formule di quadratura di Newton-Cotes; grado di esattezza e ordine di convergenza; derivazione, interpretazione geometrica e principali proprietà delle formule di quadratura del rettangolo, del trapezio e di Cavalieri-Simpson, in forma semplice e composita; formule di quadratura di tipo Gaussiano; formula di Simpson adattiva. Approssimazione della derivata prima di una funzione: differenze finite in avanti, all'indietro e centrate; Implementazione delle formule di quadratura di Newton-Cotes; verifica sperimentale dei corrispondenti ordini di accuratezza e gradi di esattezza. 

7. Equazioni differenziali ordinarie : il problema di Cauchy: richiamo dei principali risultati di esistenza e unicità della soluzione; Gli schemi a un passo: Eulero in avanti, all'indietro e Crank-Nicolson; schemi espliciti versus schemi impliciti; convergenza, zero-stabilità e assoluta stabilità; lo schema di Heun; metodi di Runge-Kutta, risoluzione di sistemi di equazioni differenziali del prim'ordine.  Applicazioni a semplici modelli fisici (pendolo non lineare, sistema massa-molla-smorzatore). Implementazione dei metodi di Eulero e del metodo di Crank-Nicolson per il caso scalare.

8. Equazioni ai valori al bordo : il problema di Poisson monodimensionale; approssimazione numerica  con  uno schema alle differenze finite. Implementazione di un  codice monodimensionale alle differenze finite per la simulazione della trasmissione di calore in una sbarra sottile riscaldata Forma debole delle equazione di Poisson e introduzione al metodo degli elementi finiti. Condizioni al bordo essenziali e naturali e loro trattamento numerico.

9. Cenni alle equazioni alle derivate parziali : classificazione delle equazioni alle derivate parziali: equazioni ellittiche, paraboliche ed iperboliche; Problemi ben posti e unicità della soluzione. Proprietà principali della soluzione analitica del problema di Laplace;  La soluzione fondamentale del problema di Laplace. Risoluzione numerica: schemi alle differenze finite a 5 punti per l'operatore di Laplace. Un esempio di approssimazione numerica: risoluzione dell'equazione di Laplace bidimensionale su un dominio quadrato con uno schema alle differenze finite.   Integrazione in tempo per il caso parabolico.

 

 

 


Note Sulla Modalità di valutazione

Organizzazione del corso e modalità di verifica

Modalità didattiche

Il Corso si articolerà su 72 ore di lezione frontale e 48 ore di esercitazione in laboratorio. Gli studenti potranno così trovare un riscontro immediato pratico degli insegnamenti teorici ricevuti, familiarizzandosi al tempo stesso con un linguaggio di programmazione. La frequenza alle lezioni non è obbligatoria.

Modalità di verifica

La verifica consisterà di una prova scritta (con l'ausilio del computer) con mix di esercizi e quesiti, al fine di verificare non solo l'apprendimento della parte teorica ma anche le conoscenze di programmazione acquisite. La prova scritta è selettiva. Se non viene conseguita una valutazione sufficiente lo studente non viene ammesso al colloquio orale e non supera l'esame.


Bibliografia

Mix Forme Didattiche
Tipo Forma Didattica Ore didattiche
lezione
72.0
laboratorio informatico
48.0

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
schedaincarico v. 1.6.1 / 1.6.1
Area Servizi ICT
08/12/2019