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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2014/2015
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 082740 - ANALISI MATEMATICA 1
Docente Bonzini Giuseppe
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - CO (360) INGEGNERIA INFORMATICA* AZZZZ087499 - INTEGRAZIONE DI ANALISI MATEMATICA 1
072608 - ANALISI MATEMATICA 1 (PER IL SETTORE DELL'INFORMAZIONE)
I1AAZZZZ082740 - ANALISI MATEMATICA 1

Programma dettagliato e risultati di apprendimento attesi

Programma di Analisi Matematica 1

Obiettivi

 

Gli obiettivi di questo corso sono diversi.
a. Strumentale: introdurre i concetti fondamentali del calcolo infinitesimale unidimensionale, ossia il calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale. Questi strumenti saranno immediatamente utilizzati dallo studente nello studio di tutte le altre discipline a contenuto fisico-matematico, ed inoltre preparano il successivo corso di Analisi Matematica 2, che completerà in modo sostanziale la strumentazione matematica necessaria allo studio di queste discipline.
b. Formativo: mostrare la struttura logica tipica del discorso matematico, abituare al necessario rigore nella discussione e verifica delle ipotesi, mentalità fondamentale per un uso critico e consapevole di qualsiasi modello, matematico e non.
c. Consolidamento delle conoscenze matematiche di base. Uno dei concetti fondamentali del corso è certamente quello di funzione. Di conseguenza, un altro obiettivo essenziale è creare una certa familiarità con le funzioni elementari e le loro proprietà; questo insieme di conoscenze e abilità in parte costituisce un prerequisito del corso.

 

Programma delle lezioni e delle esercitazioni

1 - Insiemi Numerici

Richiami sugli insiemi dei numeri naturali, dei numeri interi, dei numeri razionali. Principio di induzione.

Numeri reali. Ordinamento e completezza. Estremo superiore di un insieme. Possibilità di definire radici n-esime, potenze a esponenete razionale e reale, logaritmi in R.

Numeri complessi. Forma algebrica e trigonometrica dei numeri complessi. Rappresentazione nel piano di Gauss. Operazioni sui numeri complessi. Radici complesse. Equazioni algebriche e teorema fondamentale dell'algebra.

2 - Funzioni reali di una variabile reale

2.1 Generalità

Funzione, dominio, codominio, grafico. Funzioni elementari. Funzioni  simmetriche, monotone, limitate, periodiche. Funzione composta, funzione inversa

2.2 Limiti

Definizione di limite per successioni e per funzioni. Unicità del limite. Algebra dei limiti. Forme di indecisione. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto. Limiti notevoli. Infinitesimi ed infiniti, ordine di un infinitesimo, di un infinito. Il simbolo di asintotico. Esistenza del limite per funzioni monotone. Numero e.

2.3 Continuità

Definizione. Continuità delle funzioni elementari. Operazioni con funzioni continue. Punti di discontinuità e loro classificazione. Teoremi di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi.

2.4 Calcolo differenziale

Definizione di derivata ed interpretazioni geometriche e fisiche. Derivate di funzioni elementari. Continuità e derivabilità. Differenziale e linearizzazione. Regole di derivazione. Derivata di funzione composta ed inversa. Ricerca di massimi e minimi: teoremi di Fermat, di Rolle, di Lagrange. Teorema di De L'Hospital. Formula di Taylor e Mac-Laurin. Il simbolo di "o piccolo". Concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione.

2.5 Calcolo integrale

Integrale definito di funzioni continue o continue a tratti su intervalli limitati; sue interpretazioni geometriche e fisiche. Proprietà elementari dell'integrale definito. Primitiva, integrale indefinito. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione per parti, per sostituzione.

 2.6 Integrali generalizzati

Integrale generalizzato per funzioni illimitate su un intervallo limitato o definite su un intervallo illimitato. Criteri di integrabilità al finito e all'infinito. Integrabilità assoluta e integrabilità semplice. Criteri di confronto. Cenno alle funzioni integrali.

3 - Serie

3.1 Serie numeriche

Serie convergenti, divergenti, oscillanti. Serie notevoli. Serie a termini positivi: criteri del confronto, confronto asintotico, confronto tra serie e integrale generalizzato. Serie a termini qualunque: convergenza semplice e convergenza assoluta. Serie a termini di segno alterno; criterio di Leibniz.

3.2 Serie di Taylor di una funzione infinitamente derivabile.

Sviluppo in serie di Taylor delle funzioni trascendenti elementari.

3.3 Esponente complesso.

Definizione dell'esponenziale nel campo complesso e delle altre trascendenti elementari mediante serie di potenze. Formule di Eulero. Forma esponenziale dei numeri complessi.

 

 

Prerequisiti 

 

Algebra: calcolo letterale; polinomi ed operazioni su di essi; radice n-esima aritmetica, potenze a esponente razionale, loro proprietà; valore assoluto e sue proprietà; risoluzione di equazioni e disequazioni (primo e secondo grado, con moduli, algebriche, fratte, irrazionali...).

Logaritmi e loro proprietà, equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche.

Trigonometria: concetti di base, funzioni trigonometriche elementari, identità notevoli della trigonometria, applicazioni geometriche della trigonometria, equazioni e disequazioni trigonometriche.


Geometria analitica: coordinate cartesiane, equazione della retta, della circonferenza, cenni alle coniche; significato geometrico di equazioni e sistemi di equazioni in due incognite.


Funzioni elementari: conoscere e saper costruire i grafici di rette, parabole, funzioni potenza, esponenziale, logaritmo; funzioni trigonometriche elementari.

 

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Note Sulla Modalità di valutazione

La verifica dell'apprendimento è effettuata mediante due prove in itinere, scritte, oppure un esame, con prova scritta ed eventuale prova orale. I periodi destinati allo svolgimento delle prove in itinere e dei tre appelli previsti per l'esame sono indicati nel calendario accademico. L'esito positivo delle prove in itinere determina il voto finale e il superamento dell'esame. Gli studenti possono rifiutare l'eventuale voto positivo, sia delle prove in itinere che degli esami, e in tal caso dovranno ripetere l'esame in uno degli appelli fissati.


Bibliografia
Risorsa bibliografica obbligatoriaM. Bramanti - C. D. Pagani - S. Salsa, Analisi Matematica 1, Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2008, ISBN: 978-88-08-06485-1
Risorsa bibliografica obbligatoriaEsercizi ed esercitazioni a cura dei docenti del corso https://beep.metid.polimi.it
Risorsa bibliografica facoltativaM. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Editore: Società Editrice Esculapio, Anno edizione: 2011, ISBN: 978-88-7488-444-5 http://www1.mate.polimi.it/~bramanti/testi/esercitazioni.htm
Note:

Segue l'impostazione del libro di testo: Bramanti-Pagani-Salsa: Analisi Matematica 1. Zanichelli, 2008

Risorsa bibliografica facoltativaS. Salsa - A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2011, ISBN: 978-88-08-21894-0
Risorsa bibliografica facoltativaM. Boella, Analisi matematica 1 e algebra lineare - esercizi, Editore: Pearson, Anno edizione: 2012, ISBN: 978-88-7192-7695
Risorsa bibliografica facoltativaR. A. Adams, Calcolo differenziale 1, Editore: Ambrosiana, Anno edizione: 2003, ISBN: 88-408-1261-X

Mix Forme Didattiche
Tipo Forma Didattica Ore didattiche
lezione
60.0
esercitazione
40.0
laboratorio informatico
0.0
laboratorio sperimentale
0.0
progetto
0.0
laboratorio di progetto
0.0

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
schedaincarico v. 1.6.5 / 1.6.5
Area Servizi ICT
19/09/2020