Obiettivi e contenuti del corso

Obiettivo del corso è far acquisire agli studenti le prime nozioni e i primi strumenti indispensabili alla costruzione, all’analisi e alla comprensione di modelli matematici per l’ingegneria.

I contenuti del corso riguardano principalmente il calcolo infinitesimale per funzioni di una variabile e le prime nozioni di calcolo vettoriale e geometria analitica.

Descrizione degli argomenti trattati

Argomento 1. Numeri reali e complessi. Numeri razionali e numeri reali. Massimo e minimo estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali. Numeri complessi e loro algebra: forma trigonometrica, formula di De Moivre, radici n-esime, forma esponenziale.

Argomento 2. Funzioni, limiti, continuità. Funzioni di variabile reale. Grafici delle funzioni elementari. Funzioni composte, funzioni inverse. Successioni. Definizioni di limite. Il numero e. Limiti notevoli. Infinitesimi ed infiniti. Continuità e teoremi sulle funzioni continue (di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi).

Argomento 3. Calcolo differenziale. Concetto di derivata e proprietà. Teoremi di Fermat, del valor medio (o di Lagrange) e di de l'Hospital. Test di monotonia e di riconoscimento dei punti stazionari. Concavità/convessità e flessi. Differenziale. Formula di Taylor. Studio del grafico di una funzione.

Argomento 4. Calcolo integrale. Integrale di Riemann. Proprietà dell’integrale. Funzioni definite da integrali. Teoremi fondamentali del calcolo. Calcolo di primitive: integrazione di funzioni razionali fratte, per sostituzione e per parti. Integrali generalizzati. Criteri di convergenza. Integrali dipendenti da un parametro. Derivazione sotto il segno di integrale.

Argomento 5.  Equazioni differenziali I . Soluzione di equazioni a variabili separabili ed equazioni lineari del primo ordine. Problema di Cauchy per equazioni del prim'ordine. Modelli di Malthus e di Verhulst.

Argomento 6. Vettori ed elementi di geometria analitica del piano e dello spazio. Vettori nel piano e nello spazio: somma e prodotto di un vettore. Prodotto scalare, norma, distanza, angoli, basi ortonormali e proiezioni ortogonali.

Prodotto vettoriale e area. Prodotto misto e volume. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani nello spazio. Equazioni di circonferenze nel piano e di sfere nello spazio.

Argomento 7. Curve nel piano e nello spazio, integrali di linea. Calcolo differenziale per funzioni vettoriali di una variabile. Versori tangente, normale, e binormale. Curve nel piano e nello spazio: lunghezza di una curva, parametro d'arco. Integrali di linea di prima specie. Applicazioni fisiche. 

Organizzazione del corso e modalità di verifica

Il corso è organizzato in lezioni ed esercitazioni e diviso in due parti con un’interruzione a circa metà corso per permettere lo svolgimento della prima prova in itinere. Sono previsti tre appelli d’esame, nelle date stabilite dal calendario di Facoltà. L’esame consta di una prova scritta e di un colloquio orale; la prova scritta è selettiva, se non viene superata con valutazione sufficiente lo studente non è ammesso al colloquio orale e non supera l’esame. Sono inoltre previste due prove in itinere (una nell’interruzione di metà corso e l’altra a fine corso) che, qualora risultino entrambe sufficienti, danno diritto all’esonero dallo scritto del primo appello.