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1° Modulo:
Il primo modulo del corso integrato di FONDAMENTI DI STATISTICA E SEGNALI BIOMEDICI ha lo scopo di familiarizzare lo studente con alcune delle tecniche statistiche di base più usate nelle applicazioni dell'ingegneria biomedica.
- Programma dettagliato delle lezioni e delle esercitazioni
1. Introduzione.
Nozioni generali: esperimenti deterministici ed esperimenti casuali; il ruolo della probabilità e della statistica; la modellizzazione.
2. Probabilità.
Spazio campionario, eventi e loro algebra, funzione di probabilità e sue proprietà, probabilizzazione di spazi campionari finiti. Probabilità condizionata, formule delle probabilità totali e di Bayes, regola del prodotto, eventi indipendenti, applicazioni: test diagnostico, affidabilità di sistemi in serie e in parallelo.
3. Variabili aleatorie.
Variabili aleatorie discrete e continue, funzione di ripartizione, funzione di densità, formula dell'area per variabili aleatorie continue. Indici di sintesi di una distribuzione: moda, quantili, valore atteso, varianza, deviazione standard, coefficiente di variazione. Simmetria (Skewness) e kurtosi. Standardizzazione di una variabile aleatoria. Disuguaglianza di Chebichev. Trasformazioni (affine, quadratica, ...) di variabili aleatorie.
Distribuzioni notevoli discrete. Distribuzione uniforme discreta, di Bernoulli, binomiale, geometrica, binomiale negativa, di Poisson, ipergeometrica; loro principali proprietà e applicazioni.
Distribuzioni notevoli continue. Distribuzione uniforme continua, esponenziale, di Erlang, di Weibull, gaussiana (normale), lognormale; loro principali proprietà e applicazioni.
4. Variabili aleatorie multivariate.
Variabili aleatorie bivariate, funzioni di ripartizione congiunta e marginali, densità congiunta e marginali: densità discrete e tabella a doppia entrata, densità continue e formula del volume. Indipendenza di variabili aleatorie.
Valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie. Covarianza e coefficiente di correlazione lineare e loro proprietà. Modello gaussiano bivariato; modello uniforme in 2-D. Variabili aleatorie n-variate (cenni). Modello multinomiale.
5. Somme di variabili aleatorie.
Valore atteso e varianza di somme di variabili aleatorie. Riproducibilità delle distribuzioni: binomiale, binomiale negativa, di Poisson, gaussiana, Erlang. Media campionaria, suo valore atteso e sua varianza; varianza campionaria e suo valore atteso.
6. Teoremi limite per somme di variabili aleatorie.
Legge debole dei grandi numeri e sua applicazione alla stima frequentista della probabilità. Teorema centrale del limite e sua applicazione alle approssimazioni gaussiane.
7. Stima puntuale.
Popolazione, modello statistico, campione casuale, statistiche e stimatori. Distribuzioni campionarie per campionamento da popolazione gaussiana: distribuzione chi-quadrato, t di Student e uso delle relative tavole. Errore quadratico medio. Stimatori puntuali dei parametri di distribuzioni notevoli, per esempio: gaussiana, di Bernoulli, di Poisson, esponenziale.
8. Stima intervallare e verifica di ipotesi.
Intervalli di confidenza per media e varianza di campioni gaussiani. Test di ipotesi: ipotesi statistiche, semplici e composte; regione critica, statistica test; errori di primo e secondo tipo, livello di significatività; P-value. Test di ipotesi su media e varianza di campioni gaussiani unidimensionali, per confrontare medie di campioni gaussiani accoppiati e disaccoppiati: test z, t e chi-quadrato. Connessioni fra verifica di ipotesi e intervalli di confidenza. Intervalli di confidenza e test di ipotesi per la media di popolazioni non gaussiane nel caso di grandi campioni. Esempi ed applicazioni: inferenza asintotica per popolazioni bernoulliane.
9. Test chi-quadrato di buon adattamento e di indipendenza.
10. Regressione lineare.
Modello di previsione. Modello di regressione lineare semplice, stima dei parametri di regressione con il metodo dei minimi quadrati, coefficiente di determinazione, intervalli di confidenza e test di ipotesi per i parametri di regressione; bande di predizione per responsi futuri e responsi medi. Modello di regressione lineare multipla.
11. Valutazione di riconoscitori, sensitività, specificità, curve ROC.
Attività di laboratorio
Uso del software libero R (http://www.r-project.org) per l'analisi statistica dei dati.
1. Statistica descrittiva.
1.1 Analisi univariata: indici di centralità e di dispersione, distribuzioni empiriche, istogrammi, boxplot.
1.2 Analisi bivariata: tabella di contingenza, scatterplot, coefficiente di correlazione campionario.
1.3 Regressione lineare semplice e multipla.
2. Valutazione di riconoscitori (sensitività, specificità, curve ROC) con il pacchetto ROCR di R
BASICS OF STATISTICS
Aim of the course is to acquaint the student with basic knowledge about Statistics, necessary for biomedical engineering applications. Subjects of the course: data analysis (exploratory methods; data summaries; histograms and boxplots); probability (Bayes’ Theorem; random variables; moments; correlation and independence; more common probability distributions; Law of Large Numbers and Central Limit Theorem); statistical inference (parameter estimation; confidence intervals; hypothesis testing); evaluation of classifiers (sensitivity, specificity, ROC graphs); linear regression models. Use of a statistical package --R (http://www.r-project.org)-- for data analysis.
2° Modulo:
Scopo del secondo mosulo del Corso di FONDAMENTI DI STATISTICA E SEGNALI BIOMEDICI è fornire le basi per la comprensione del del trattamento e dell'elaborazione di segnali biomedici. Lo studente è introdotto alla conoscenza delle loro caratteristiche principali, ai modelli di generazione e alle elaborazioni elementari e di più generale utilizzo.
1 Segnali biomedici
1.1 Esempi di segnali biomedici
1.2 Caratteristiche nel dominio del tempo. Periodicità. Stazionarietà/ergodicità.
Media, varianza, funzione di autocorrelazione. Crosscorrelazione.
1.3 Conversione A/D. Quantizzazione. Campionamento.
2. Descrizione dei segnali nel dominio della frequenza.
2.1 Serie di Fourier. Trasformata di Fourier.
2.2 Trasformata di Fourier discreta. FFT (cenni). Trasformata z. Piano s <--> piano z.
3. Filtraggio
3.1 I sistemi lineari come filtri. Introduzione ai filtri numerici. Filtri IIR (cenni).
3.2 Convoluzione. Filtri FIR. Progettazione nel dominio delle frequenze. Finestratura.
4. Detezione e classificazione.
4.1 Detezione di onde. Distanza onda-template. Correlazione. Filtri matched.
4.2 Media sincrona. Presupposti teorici. Miglioramento SNR. Applicazioni.
4.3 Valutazione di un riconoscitore.
5. Analisi spettrale, introduzione e stima non-parametrica.
5.1 Spettro di energia. Spettro di potenza. Teorema di Parseval.
5.2 Periodogramma. Risoluzione tempo/frequenza. Varianza della stima.
6. Modelli parametrici.
6.1 Definizioni. Richiami alla regressione lineare multipla. Minimi quadrati.
6.2 Modelli AR, ARX, ARMAX (cenni).
6.3 Stima spettrale parametrica. Rumore bianco/colorato.
6.4 Filtraggio ottimo a minima varianza. Filtro di Wiener e di Widrow.
7. Cenni alla ricostruzione di immagini tomografiche.
7.1 Principi per l’estrazione di proiezioni. Sinogramma/trasformata di Radon.
7.2 Ricostruzione tomografica. Retroproiezione filtrata.
BASICS OF BIOMEDICAL SIGNALS
Aim of the course is to provide thSe background for the comprehension of the biomedical signal processing. The biomedical signals will be described according to their principal characteristics, their generating models and the basis of processing procedures.
Biomedical signals in the time domain - Periodicity, stationarity - Ergodic processes - Signal to noise ratio SNR - Acquisition, sampling theorem, A/D conversion - Autocorrelation and cross-correlation functions - Frequency analysis of biomedical signals - Fourier series - Fourier transform, discrete Fourier transform, Fast Fourier transform - Z Transform - Digital filters FIR and IIR: design methods and applications - Wave detection and classification - Matched filters - Correlation - Minimum distance. SNR improvement: averaging. Evaluation of classifiers: sensitivity, specificity, ROC graphs. Spectral analysis: energy and power spectra - Periodogram - Time/frequency resolution - Parametric models - Linear prediction. AR, ARX, ARMAX models. Least squares estimation - Parametric spectral estimation - Optimal filters. Wiener and Widrow filter. Introduction to biomedical images - Projection images - Tomographic reconstruction - Radon transform and sinogram - Filtered backprojection.
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