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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2005/2006
Facoltà Scuola di Ingegneria Industriale
Insegnamento 077711 - ALGEBRA LINEARE E CALCOLO NUMERICO
Docente Micheletti Stefano
Cfu 5.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 509) - BV (120) INGEGNERIA MECCANICA* ACO077711 - ALGEBRA LINEARE E CALCOLO NUMERICO

Programma dettagliato e risultati di apprendimento attesi

Obiettivi e contenuti del corso

Problemi di algebra lineare compaiono in numerosi campi ingegneristici dalla meccanica dei solidi allo studio di reti elettriche, all’analisi del segnale all’ottimizzazione, dalla risoluzione di equazioni non lineari all’approssimazione di funzioni e di problemi retti da equazioni differenziali. In questo corso si intendono introdurre i concetti di base dell’algebra lineare sia astratta che numerica quali l’algebra delle matrici, il concetto di spazio vettoriale, di prodotto scalare, le norme vettoriali e matriciali, nonché l’analisi dell’errore ed il numero di condizionamento. In questo senso il corso completa ed estende le nozioni di algebra lineare introdotte nel corso EAMAG. Per la risoluzione di sistemi lineari considereremo il metodo di eliminazione di Gauss sia nella sua forma più naturale, sia come metodo di fattorizzazione della matrice di partenza. Affronteremo il problema del pivoting e la sua influenza sull’accuratezza della soluzione calcolata. Per problemi sotto o sovra-determinati introdurremo la fattorizzazione QR e la decomposizione a valori singolari (SVD). Passeremo quindi a considerare metodi iterativi relativamente moderni per la risoluzione di sistemi lineari, come il metodo del gradiente e del gradiene coniugato nel caso particolare di sistemi lineari simmetrici e definiti positivi. Si definiranno quindi gli autovalori di una matrice e si presenterà una tecnica, il metodo delle potenze, per il calcolo dell’autovalore estremo di una matrice. Questa tecnica verrà quindi opportunamente estesa al calcolo di un generico autovalore della matrice stessa.  Le non linearità presenti in molti problemi dell’ingegneria richiedono l’utilizzo di opportune tecniche per la loro risoluzione numerica. Uno dei metodi più noti ed utilizzati per la risoluzione di equazioni non lineari della forma F(x)=0 è certamente il metodo di Newton che verrà descritto ed utilizzato sia nel caso scalare che in quello vettoriale. In quest’ultimo caso, il metodo di Newton richiede la risoluzione di un sistema lineare (sullo Jacobiano di F) e, di conseguenza, troveranno immediata applicazione le tecniche risolutive presentate nella prima parte del corso. Nella risoluzione di un problema spesso è necessario anche saper approssimare (o trattare opportunamente) dei dati, noti ad esempio per via sperimentale. Per questo motivo nell’ultima parte del corso si introdurrà un metodo di approssimazione di funzioni e dati: l’interpolazione polinomiale di Lagrange. Se ne daranno le principali caratteristiche teoriche e, durante i laboratori, se ne evidenzieranno le proprietà di stabilità, robustezza ed accuratezza. Questo aspetto , unitamente all’efficienza degli algoritmi, verrà sempre del resto evidenziato sia durane le lezioni teoriche che durante le esercitazioni pratiche. In effetti, durante le esercitazioni in laboratorio informatico gli studenti potranno verificare le principali proprietà incontrate a lezione, implementando direttamente gli algoritmi proposti od utilizzando strumenti opportunamente predisposti nell’ambiente di lavoro al cui uso gli allievi verranno progressivamente addestrati.

 

Descrizione degli argomenti trattati

Algebra lineare astratta:vettori e spazi vettoriali, prodotto scalare, norma di un vettore. Matrici ed applicazioni lineari. Rango di una matrice. Determinante. Matrici speciali: simmetriche, definite positive. Autovalori di una matrice. Il raggio spettrale. Diagonalizzazione di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Il teorema di Rouché-Capelli.

Risoluzione numerica di sistemi lineari-I: metodi diretti. Il metodo di eliminazione di Gauss. L’eliminazione di Gauss attraverso le trasformazioni elementari. La fattorizzazione LU. Il caso simmetrico definito positivo: la fattorizzazione di Cholesky. Il numero di condizionamento e l’analisi di stabilità.  Sistemi sovra o sotto determinati. La fattorizzazione QR attraverso le trasformazioni di Householder. La decomposizione SVD. Il rango numerico.

Risoluzione numerica di sistemi lineari-II: metodi iterativi. La matrice di iterazione. Condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza di un metodo iterativo. Criteri d’arresto. Il metodo di Richardson. Scelta ottimale del parametro di accelerazione. Il metodo del gradiente ed il metodo del gradiente coniugato per matrici simmetriche definite positive. Sistemi malcondizionati: il problema del precondizionamento.

Calcolo approssimato di autovalori ed autovettori di una matrice: il metodo delle potenze, delle potenze inverse e delle potenze con shift.

Risoluzione numerica di equazioni e sistemi non lineari:il metodo di Newton.

Approssimazione di funzioni:l’interpolazione polinomiale di Lagrange.

 

 


Note Sulla Modalità di valutazione
Organizzazione del corso e modalità di verifica Il corso consta di Lezioni ed Esercitazioni. Il corso prevede due prove in itinere in laboratorio (la prima a meta’ del corso e la seconda subito dopo la fine) che, qualora risultino entrambe sufficienti, danno diritto all’esonero dallo scritto del primo appello. Ogni appello d’esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. Sono previsti tre appelli d’esame, nei mesi di febbraio, luglio e settembre.

Bibliografia

Testi consigliati

1.A. Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico. Esercizi e problemi risolti con MATLAB, Springer-Italia, Milano, 2002

2.G. Strang,  Algebra lineare e sue applicazioni,  Liguori, Napoli, 1981

 


Mix Forme Didattiche
Tipo Forma Didattica Ore didattiche
lezione
36.0
esercitazione
0.0
laboratorio informatico
31.0
laboratorio sperimentale
0.0
laboratorio di progetto
0.0

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
schedaincarico v. 1.6.5 / 1.6.5
Area Servizi ICT
20/10/2020