Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio previsti della scheda SUA-CdS, l'insegnamento si propone di 
fornire allo studente i principi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili (studio di continuità,
differenziabilità, metodi di ottimizzazione, integrazione multipla, integrazione su linee e su superfici). Inoltre, verranno affontati 
alcuni argomenti complementari relativi alle successioni e al calcolo integrale in una variabile, quali lo studio della convergenza 
di serie numeriche ed integrali impropri.

Ulteriore obiettivo è la preparazione dello studente all'applicazione delle tecniche analitiche alle altre discipline ingegneristiche.

Si attendono la conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili, 
unitamente alla capacità di discutere la convergenza di integrali impropri e il carattere di serie numeriche. Lo studente sarà 
in particolare in grado di studiare il comportamento locale e globale di funzioni di più variabili attraverso il calcolo di limiti, 
il calcolo di derivate parziali e direzionali, la ricerca di punti critici liberi e vincolati e il calcolo di integrali multipli, di 
integrali su linee e superfici. Inoltre, imparerà a relazionare gli strumenti acquisiti con oggetti di interesse fisico e ingegneristico 
(calcolo di masse e baricentri di corpi rigidi, calcolo di lavoro e flusso di un campo vettoriale).

Il docente si attende una comprensione non limitata all'enunciazione di definizioni e risultati e alla risoluzione di esercizi
standard, ma critica ed in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i 
procedimenti seguiti. Si attende inoltre un'adeguata correttezza nei calcoli e un'esposizione ben argomentata della teoria.

Serie numeriche e integrali impropri

Integrali impropri: definizione, esempi, criteri di convergenza. Serie numeriche: definizione, esempi, serie notevoli, 
criteri di convergenza semplice e assoluta. Serie a segni alterni e criterio di Leibniz.

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali

Cenni di topologia negli spazi euclidei. Definizione di palla aperta, punto interno, punto di frontiera, punto esterno, 
insieme aperto, chiuso, frontiera e punto di accumulazione. Esempi in R^2 e in R^3. Definizione di limite. Continuità. 
Definizione di derivate parziali e di vettore gradiente. Esempi: l'esistenza delle derivate parziali non implica la continuità. 
Definizione di vettore normale/di piano tangente al grafico. Definizione di differenziabilità e legame con il piano tangente.
Formula del gradiente. Proprietà geometriche del gradiente. Definizione di derivate direzionali. Derivate di ordine superiore. 
Matrice Hessiana. Teorema di Schwarz. Derivazione di funzioni composte: i casi R->R^2->R, R^2->R->R e R^2->R^2->R. 
Funzioni a valori vettoriali. Derivabilità e integrabilità per funzioni a valori vettoriali. Regole di derivazione per funzioni a 
valori vettoriali. Definizione di differenziabilità. Matrice Jacobiana. Derivazione di funzione composta: il caso R^n->R^m->R^p.
Formula di Taylor al secondo ordine per f: R^2->R.

Ottimizzazione per funzioni di più variabili

Definizione di massimi e minimi locali. Condizione necessaria per estremante locale. Definizione di punto critico. 
Definizione di sella locale. Classificazione dei punti critici mediante lo studio della matrice Hessiana. Definizione di punto 
critico vincolato. Condizione necessaria per avere un estremo vincolato. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Definizione della Lagrangiana.

Curve parametriche e integrali curvilinei

Curve in R^3. Cambi di parametrizzazione. Orientazione. Lunghezza di una curva. Lunghezza del grafico di f in C^0([a,b]). 
Problema del calcolo esplicito di una lunghezza (lunghezza dell'ellisse). Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei di prima 
specie: definizione e proprietà.

Calcolo integrale per funzioni di più variabili e lavoro di campi vettoriali

Integrazione delle funzioni di due variabili su rettangoli. Integrazione delle funzioni di due variabili su domini generali. 
Insiemi misurabili secondo Peano- Jordan. Insiemi di misura nulla (caratterizzazione). Proprietà degli integrali doppi. 
Insiemi semplici e regolari. Teorema delle integrazioni successive per domini semplici. Insiemi connessi per poligonali. 
Teorema della media del calcolo integrale. Valor medio di una funzione. Teorema del cambio di variabili negli integrali doppi. 
Volume dei solidi "a fette". Integrali tripli. Definizione di funzioni integrabili su parallelepipedi. Definizione di insieme 
di misura nulla. Definizione di integrabilità su domini limitati. Teorema di riduzione, integrazione per fili e per strati. 
Teorema del cambio di variabili. Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche. Richiami sulla definizione di campo vettoriale. 
Integrali curvilinei di seconda specie: definizione e proprietà. Condizioni equivalenti all'essere un campo conservativo. 
Domini semplicemente connessi. Un campo F è conservativo se è irrotazionale su domini semplicemente connessi. 
Calcolo del potenziale di un campo conservativo.

Superfici e integrali di superficie

Superfici parametriche: definizione. Esempi. Vettore normale ad una superficie. Piano tangente ad una superficie. 
Area di una superficie. Integrali di funzioni definite su una superficie.  Superfici con bordo. Flusso di un campo vettoriale 
attraverso una superficie. Divergenza di un campo. Interpretazione fisica della divergenza e del rotore. Identità 
contenenti rotore, divergenza e gradiente. Teorema di Gauss-Green nel piano. Teorema della divergenza e teorema di 
Stokes nello spazio.

Non sono previste propedeuticità formali.  

E' comunque di fatto necessario possedere una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nella scuola secondaria di secondo grado, con particolare riferimento all'algebra dei polinomi, equazioni, disequazioni e sistemi di primo e secondo grado, trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica. Esponenziali e logaritmi e loro proprietà.

E' inoltre opportuno aver maturato la conoscenza degli argomenti trattati durante il corso di analisi matematica 1 e geometria: insiemi numerici, calcolo differenziale e integrale in una variabile, nozioni basilari di algebra lineare e geometria in spazi vettoriali.

Non sono previste prove in itinere. L’esame consta di una prova scritta che contiene una prima parte di quesiti
(sia teorici che esercizi) a risposta multipla e una seconda parte di esercizi articolati in diversi punti (entrambe le parti sono
da svolgersi senza libri, appunti, calcolatrici, tablet, etc.). La prima parte viene valutata in decimi: chi non raggiungesse la
votazione di 5/10 non può superare l’esame. La seconda parte viene valutata in ventiduesimi: chi non raggiungessen la votazione
di 11/22 non può superare l'esame. Il voto complessivo sarà la somma delle due votazioni acquisite e l'esame sarà superato se
tale voto sarà di almeno 18/32. Il mancato superamento di un appello rimanda lo studente agli  appelli successivi.
Nel caso in cui uno studente rifiuti una valutazione positiva, lo studente viene rimandato agli appelli successivi.

Per sostenere la prova d’esame è obbligatoria l’iscrizione entro i termini ed esclusivamente attraverso il sistema di registrazione
online di ateneo: non verranno fatte eccezioni, è dunque inutile chiederle. Durante lo svolgimento di ogni prova d’esame lo
studente non può consultare né avere con sé testi, appunti, calcolatrici, telefoni cellulari o altre apparecchiature elettroniche.
Lo studente che contravverrà a tale regola, o che sarà sorpreso a chiedere o fornire aiuti ad altri studenti, sarà immediatamente
allontanato dall’aula d’esame, il suo esame verrà annullato e verrà segnalato l'episodio al Preside per ulteriori provvedimenti
disciplinari.

Per la preparazione dello scritto servono sia la parte prima, che la parte seconda. Libri di esercizi

Libro di esercizi

Libri di esercizi. Per la preparazione dello scritto servono i volumi I e II (il volume III sarà utile il prossimo anno per Equazioni differenziali).

Eserciziario