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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2022/2023
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 086000 - ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE E TRASFORMATE
Docente Colombo Fabrizio
Cfu 5.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (355) INGEGNERIA DELL'AUTOMAZIONE*AZZZZ086000 - ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE E TRASFORMATE
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (357) INGEGNERIA ELETTRONICA*AZZZZ086000 - ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE E TRASFORMATE

Obiettivi dell'insegnamento

Obiettivo del corso è fornire allo studente importanti strumenti matematici operativi ampiamente utilizzati in altri corsi, dandone al tempo stesso i fondamenti matematici rigorosi, necessari per un loro uso critico e consapevole. Gli strumenti operativi che costituiscono il contenuto qualificante del corso sono: la trasformata di Laplace e il suo utilizzo per risolvere equazioni differenziali, integrali o integrodifferenziali; la trasformata di Fourier, in una o più variabili, sia in ambito funzionale che in ambito distribuzionale; la teoria delle distribuzioni e l'estensione a questo contesto dei concetti di derivata, convoluzione, trasformata di Fourier. Per sviluppare questi contenuti è necessario preliminarmente fornire alcuni elementi di analisi funzionale (convergenza uniforme di successioni di funzioni, spazi vettoriali normati, di Banach, di Hilbert, concetto di operatore e di funzionale lineare continuo) e di teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue (misura e integrazione astratta, convoluzione, spazi Lp).


Risultati di apprendimento attesi

Conoscenza e comprensione (Descrittore di Dublino #1):

Al termine del corso e dopo aver superato l'esame lo studente saprà conoscere e comprendere le nozioni di base su spazi vettoriali normati, metrici, di Banach, di Hilbert; i concetti e risultati fondamentali sulla convergenza uniforme di successioni di funzioni, i concetti e risultati fondamentali della teoria dell'integrazione di Lebesgue, della teoria della trasformata di Fourier nel contesto di L1, L2 e delle distribuzioni temperate, della teoria della trasformata di Laplace, della teoria delle distribuzioni (principalmente in una variabile); saprà conoscere e comprendere alcune delle applicazioni fisiche e ingegneristiche significative dei concetti matematici introdotti nel corso.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Descrittore di Dublino #2):

Al termine del corso e dopo aver superato l'esame lo studente saprà applicare conoscenza e comprensione all'impostazione e l'esecuzione corretta di calcoli simbolici che coinvolgono gli strumenti introdotti nel corso: riconoscere l'appartenenza o meno di una funzione assegnata ai vari spazi funzionali incontrati nel corso; lavorare con successioni di funzioni e con diverse nozioni di convergenza; impostare ed eseguire il calcolo di convoluzioni di funzioni; utilizzare il metodo della trasformata di Laplace per risolvere equazioni differenziali, integrali o integrodifferenziali; calcolare e utilizzare operativamente la trasformata di Fourier di una funzione L1, L2 o di una distribuzione temperata; calcolare la derivata distribuzionale di una funzione e saper eseguire correttamente altre operazioni sulle distribuzioni; calcolare la convoluzione di distribuzioni o la trasformata di Fourier di una distribuzione temperata.

Il docente si attende che lo studente sappia esporre definizioni, enunciati e dimostrazioni di teoremi in modo logicamente corretto, utilizzando il linguaggio matematico, sia verbale che simbolico, in modo coerente e preciso, e sappia risolvere gli esercizi giustificando i procedimenti seguiti in base alla teoria.


Argomenti trattati

Elementi di analisi funzionale. Generalità su spazi vettoriali, spazi di funzioni, spazi vettoriali normati, spazi metrici, spazi di Banach. Successioni e serie di funzioni, convergenza puntuale e uniforme. Gli spazi di funzioni continue o derivabili k volte, loro completezza. Generalità sugli operatori lineari continui tra spazi vettoriali normati e funzionali lineari continui su spazi vettoriali normati.

Elementi di teoria della misura e dell'integrazione. Motivazioni per introdurre l'integrale di Lebesgue. Spazi di misura astratti, misura di Lebesgue e sue proprietà. Funzioni misurabili, definizione di integrale rispetto a una misura astratta. Lo spazio vettoriale normato L1. Proprietà dell'integrale di Lebesgue: proprietà elementari; integrazione per successioni e per serie di funzioni. Applicazione della teoria a misure diverse da quella di Lebesgue: misure di Dirac, misure con peso. Spazi Lp: disuguaglianze di Minkowsky, di Holder; completezza degli spazi Lp. Integrali doppi, teorema di Fubini-Tonelli. Convoluzione in R o Rn.

Geometria negli spazi di Hilbert. Spazi vettoriali con prodotto interno, proprietà di base di prodotto scalare, norma e ortogonalità. Spazi di Hilbert. Teorema della proiezione su un sottospazio finito dimensionale di uno spazio di Hilbert, sistemi ortonormali e significato della proiezione in termini di approssimazione; disuguaglianza di Bessel. Definizione di sistema ortonormale completo. Serie di Fourier in uno spazio di Hilbert, rispetto a un sistema ortonormale completo. Applicazioni all'analisi di Fourier: convergenza L2 delle serie di Fourier classiche.

Trasformata di Fourier in Rn. Teoria L1 della trasformata di Fourier: definizione, proprietà operatoriali, trasformata e derivate, trasformata e convoluzione. Teorema di inversione per la trasformata di Fourier. Calcolo di trasformate di funzioni razionali col metodo dei residui. Teoria L2 della trasformata di Fourier: la classe S di Schwartz delle funzioni a decrescenza rapida; proprietà della trasformata di Fourier sullo spazio S. Utilizzo delle proprietà della trasformata su S per definire la trasformata di Fourier di funzioni L2. La trasformata di Fourier è un'isometria di L2 su se stesso. Principio di indeterminazione di Heisenberg.

Trasformata di Laplace e applicazioni. Generalità sulla trasformata di Laplace, calcolo di trasformate di funzioni elementari; relazione con la trasformata di Fourier; proprietà operatoriali della trasformata: trasformata della primitiva, delle derivate, della convoluzione; formula dell's-shift; formula del t-shift. Metodi elementari di inversione della trasformata di Laplace basati sull'uso a ritroso delle tabelle di trasformate e proprietà operatoriali. Applicazioni della trasformata di Laplace a: problema di Cauchy per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, non omogenee, del second'ordine o di ordine n; circuiti elettrici LCR in serie con tensione applicata eventualmente discontinua; equazioni integrali di Volterra di seconda specie di convoluzione.

Elementi di teoria delle distribuzioni e applicazioni. Introduzione al concetto di distribuzione e sua definizione. Esempi notevoli di distribuzioni: funzioni localmente sommabili, misure. Operazioni elementari sulle distribuzioni. Derivata di una distribuzione. Esempi. Distribuzioni a supporto compatto, convoluzione di distribuzioni. Distribuzioni temperate, trasformata di Fourier di distribuzioni. Esempi di applicazioni alle equazioni differenziali.


Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale in una variabile, numeri complessi in forma esponenziale, serie numeriche e serie di Fourier, equazioni differenziali lineari. Generalità sugli spazi vettoriali astratti e sugli operatori lineari tra spazi vettoriali. (I contenuti dei corsi di  Analisi Matematica 1 e 2 e Algebra lineare e geometria sono più che sufficienti).


Modalità di valutazione

L’esame consiste in una prova scritta, contenente sia esercizi da svolgere sugli argomenti del programma, sia domande teoriche su definizioni, enunciati di teoremi e loro dimostrazioni, presentazione di esempi e contresempi, sugli argomenti del programma.

Nel rispondere alle domande teoriche sul programma d'esame lo studente deve mostrare la conoscenza e la comprensione delle definizioni dei concetti introdotti nel corso e delle motivazioni per cui sono stati introdotti; la conoscenza e la comprensione degli enunciati dei teoremi e delle loro dimostrazioni; la capacità di produrre esempi e contresempi che illustrino la validità o non validità delle implicazioni tra certe proprietà; la padronanza nell'uso corretto e preciso del linguaggio e del simbolismo matematico.
In secondo luogo, lo studente dovrà mostrare di saper risolvere esercizi sugli argomenti del programma del corso.

Le date degli appelli d'esame sono stabilite in base alle regole della Scuola, e non sono previste prove in itinere.

 


Bibliografia
Risorsa bibliografica obbligatoriaMarco Bramanti, Metodi di analisi matematica per l'ingegneria, Editore: Progetto Leonardo, Anno edizione: 2017
Note:

Il testo contiene sia la teoria che esercizi svolti.


Software utilizzato
Nessun software richiesto

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
30:00
25:00
Esercitazione
20:00
50:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 50:00 75:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di supporto didattico in lingua inglese
schedaincarico v. 1.7.2 / 1.7.2
Area Servizi ICT
03/10/2022