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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2021/2022
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 052431 - ANALISI E GEOMETRIA 2
Docente Zavaglia Andrea Carlo
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare
Didattica innovativa L'insegnamento prevede  1.0  CFU erogati con Didattica Innovativa come segue:
  • Blended Learning & Flipped Classroom

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - PC (354) INGEGNERIA MECCANICA*AZZZZ052431 - ANALISI E GEOMETRIA 2

Obiettivi dell'insegnamento

L'insegnamento si propone di fornire allo studente metodi e tecniche fondamentali della matematica e delle sue applicazioni all'ingegneria. I contenuti del corso riguardano l'algebra lineare, le equazioni differenziali lineari ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti, il calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili reali a valori vettoriali, la teoria dei campi vettoriali con particolare attenzione a quelli conservativi, l'integrazione di campi vettoriali su curve e superfici, i teoremi del rotore e della divergenza, e lo studio di serie numeriche e di serie di Fourier. Per la parte dell'insegnamento sulle equazioni differenziali è previsto l'utilizzo di Didattica innovativa nella forma di Blended Learning & Flipped Classroom.

 

 


Risultati di apprendimento attesi

A seguito del superamento dell'esame, lo studente conoscerà gli elementi fondamentali dell’algebra lineare, delle equazioni differenziali lineari ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti, del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili reali a valori vettoriali, della teoria dei campi vettoriali inclusa la loro integrazione su curve e superfici parametrizzate, e delle serie numeriche e di Fourier.

Lo studente sarà inoltre in grado di risolvere esercizi sugli argomenti trattati nel corso, in particolare di

svolgere operazioni su vettori e matrici; calcolare il rango e il determinante di semplici matrici; determinare basi di sottospazi di uno spazio vettoriale quali il nucleo e l’immagine di un’applicazione lineare; studiare la risolubilità di un sistema lineare in dipendenza di un parametro per mezzo del teorema di Rouché-Capelli; risolvere un sistema lineare con il metodo di eliminazione di Gauss; calcolare proiezioni ortogonali; determinare autovettori e autovalori di una matrice quadrata 2x2 o 3x3, e stabilire la diagonalizzabilità di tali matrici;

studiare la convergenza di serie numeriche; tracciare il grafico e calcolare i coefficienti di Fourier di semplici funzioni periodiche;

risolvere un problema di Cauchy per un’equazioni differenziale lineare ordinaria del secondo ordine a coefficienti costanti, o per un sistema di due equazioni omogenee del primo ordine;

studiare continuità e differenziabilità di funzioni in più variabili;

determinare massimi e minimi liberi e vincolati di funzioni scalari di due o tre variabili;

calcolare integrali doppi e tripli con il metodo di riduzione o con un cambiamento di coordinate;

stabilire se un campo è conservativo e in caso determinarne un potenziale; calcolare il lavoro di un campo lungo un cammino;

calcolare l'integrale di superficie, in particolare l’area di una superficie e il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata;

applicare i teoremi del rotore e della divergenza.

Il docente si attende una comprensione della teoria non limitata all'enunciazione di definizioni e risultati e alla risoluzione di esercizi
standard, ma critica ed in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti.

Si attende inoltre un'adeguata correttezza nei calcoli e un'esposizione ben argomentata della teoria.



 


Argomenti trattati

Argomento 1. Algebra lineare. Vettori e spazi vettoriali, prodotto scalare, norma di un vettore. Dipendenza e indipendenza lineare. Determinante e rango di una matrice. Funzioni lineari. Teorema di rappresentazione. Autovalori e autovettori, diagonalizzazione di una matrice. Matrici simmetriche, definite positive. Forme quadratiche, classificazione delle coniche. Sistemi di equazioni lineari. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli. Metodo di eliminazione di Gauss.

Argomento 2. Equazioni differenziali II. Equazioni lineari del second'ordine a coefficienti costanti. Problemi di Cauchy e ai limiti. Integrale generale dell’equazione omogenea e non omogenea (metodo di somiglianza). Vibrazioni meccaniche. Sistemi di due equazioni del primo ordine. Cenni a equazioni e sistemi lineari di ordine superiore. Per questo argomento è previsto l'utilizzo di Didattica innovativa nella forma di Blended Learning & Flipped Classroom.

Argomento 3. Serie numeriche e serie di Fourier. Concetto di serie. Serie geometrica e serie armonica. Serie a termini positivi: criteri di convergenza. Serie a termini di segno alternato. Funzioni periodiche e polinomi trigonometrici. Coefficienti di Fourier. Convergenza puntuale e in media quadratica della serie di Fourier.

Argomento 4. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Dominio naturale e curve di livello. Limiti e continuità di funzioni di due variabili. Derivate parziali e direzionali. Differenziale e piano tangente. Formula del gradiente. Funzioni implicite. Derivate di ordine superiore, matrice hessiana. Formula di Taylor. Punti stazionari, estremi liberi, test della matrice hessiana. Estremi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Argomento 5. Integrali multipli. Integrali doppi su domini semplici per funzioni continue, formule di riduzione, cambi di coordinate. Formule di Gauss-Green nel piano. Integrali tripli. Formule di riduzione: “per fili” e “per strati”. Coordinate polari nel piano, coordinate sferiche e cilindriche nello spazio. Applicazioni: volumi, baricentri e momenti d’inerzia.

Argomento 6. Campi vettoriali e integrali di linea. Campi vettoriali, campi conservativi, potenziale. Integrali di linea di seconda specie, lavoro di un campo di forze. Rotore e divergenza.

Argomento 7. Superfici e integrali di superficie. Superfici parametriche nello spazio. Piano tangente, vettore normale. Integrali di superficie. Flusso di un campo attraverso una superficie. Teoremi del rotore e della divergenza.


Prerequisiti

Gli argomenti trattati in Analisi e Geometria 1 sono prerequisiti di questo insegnamento. Inoltre si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nella scuola secondaria di secondo grado con particolare riferimento all'algebra dei polinomi, equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica,  esponenziali e logaritmi e loro proprietà.


Modalità di valutazione

Sono previsti quattro appelli d'esame, nelle date stabilite dal calendario accademico (una in giugno-luglio, una a settembre e due in gennaio-febbraio). Sono inoltre previste due prove in itinere (una nell'interruzione di meta' corso e l'altra a fine corso, prima del primo appello). L'esame puo' essere superato sostenendo con votazione sufficiente entrambe le prove in itinere oppure uno degli appelli. Solo chi supera la prima prova in itinere puo' sostenere la seconda prova.

 

Ciascuna prova in itinere si compone di due parti

  • La prima parte consiste nella risposta a questioni teoriche (come ad esempio definizioni, enunciati e dimostrazioni di teoremi, esempi/controesempi, domande vero/falso alle quali rispondere in modo motivato).

  • La seconda parte consiste nella risoluzione di due esercizi.

 

Ciascun appello si compone di due parti

  • La prima parte consiste nella risposta a questioni teoriche  (vedi sopra).

  • La seconda parte consiste nella risoluzione di quattro esercizi.

    .
     

La prima parte svolta viene ritirata prima dello svolgimento della seconda parte.

 

I punteggi sono cosi' suddivisi:

  • prima parte 8/32 ;
  • seconda parte 24/32 .


La prova risulterà sufficiente se il voto della prima parte sarà pari ad almeno 4 e quello della seconda parte pari ad almeno 14.

 

A discrezione del docente, uno studente che abbia superato entrambe le prove in itinere o la prova scritta dell'appello potrà essere convocato a sostenere  una prova orale.

Durante lo svolgimento di ogni prova d'esame è vietato l'uso di qualsiasi materiale o strumento che non sia stato espressamente fornito o indicato dal docente. Lo studente che contravvenga a tale regola, o che sia sorpreso a chiedere o fornire aiuti ad altri, sarà allontanato dall'aula d'esame e la sua prova risulterà insufficiente.

La prima parte ha l'obiettivo di verificare che lo studente abbia acquisito in maniera adeguata la conoscenza degli elementi fondamentali dell’algebra lineare, delle equazioni differenziali lineari ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti, del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili reali a valori vettoriali, della teoria dei campi vettoriali inclusa la loro integrazione su curve e superfici parametrizzate, e delle serie numeriche e di Fourier.

La seconda paerte ha l'obiettivo di verificare che lo studente abbia acquisito in maniera adeguata la capacità di applicare le conoscenze acquisite

alla risoluzione di esercizi di algebra lineare - operazioni su vettori e matrici; calcolo del rango e del determinante; ricerca di basi di sottospazi di uno spazio vettoriale quali il nucleo e l’immagine di un’applicazione lineare; studio della risolubilità di un sistema lineare in dipendenza di un parametro ; risoluzione di un sistema lineare; calcolo di proiezioni ortogonali; calcolo di autovettori e autovalori di una matrice quadrata; studio della diagonalizzabilità di una matrice quadrata;

allo studio della convergenza di serie numeriche; al calcolo dei coefficienti di Fourier di semplici funzioni periodiche;

alla soluzione di un problema di Cauchy per un’equazioni differenziale lineare ordinaria del secondo ordine a coefficienti costanti, o per un sistema di due equazioni omogenee del primo ordine;

allo studio della continuità e differenziabilità di funzioni in più variabili;

alla ricerca di massimi e minimi liberi e vincolati di funzioni scalari di due o tre variabili;

al calcolo di integrali doppi e tripli con il metodo di riduzione o con un cambiamento di coordinate;

al calcolo del potenziale di un campo conservativo; al calcolo del lavoro di un campo lungo un cammino;

al calcola dell'integrale di superficie, in particolare dell’area di una superficie e del flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata;

all'uso de teoremi del rotore e della divergenza.

 


Bibliografia
Risorsa bibliografica facoltativaA. Bernardi, A. Gimigliano, Algebra Lineare e Geometria Analitica - Seconda edizione, Editore: CittàStudiEdizioni, Anno edizione: 2018, ISBN: 9788825174243
Note:

Testo per la parte di algebra lineare

Risorsa bibliografica facoltativaMarco Bramanti, Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi Matematica 2, Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2009, ISBN: 9788808122810
Note:

Testo per la parte di Analisi Matematica

Risorsa bibliografica facoltativaG. Catino, F. Punzo, Esercizi svolti di Analisi Matematica e Geometria 2, Editore: Esculapio, Anno edizione: 2020, ISBN: 9788893851954

Software utilizzato
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Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
60:00
90:00
Esercitazione
40:00
60:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 100:00 150:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
schedaincarico v. 1.6.8 / 1.6.8
Area Servizi ICT
21/09/2021