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Risorsa bibliografica facoltativa
Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2021/2022
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 052431 - ANALISI E GEOMETRIA 2
Docente Boella Marco Ugo Claudio
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare
Didattica innovativa L'insegnamento prevede  1.0  CFU erogati con Didattica Innovativa come segue:
  • Blended Learning & Flipped Classroom

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - BV (350) INGEGNERIA AEROSPAZIALE*STRZZZZ052431 - ANALISI E GEOMETRIA 2
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - BV (352) INGEGNERIA ENERGETICA*STRZZZZ052431 - ANALISI E GEOMETRIA 2
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - BV (353) INGEGNERIA MECCANICA*STRZZZZ052431 - ANALISI E GEOMETRIA 2

Obiettivi dell'insegnamento

L'insegnamento di Analisi e Geometria 2 ha l’obiettivo di fornire allo studente ulteriori metodi e tecniche fondamentali della matematica e delle sue applicazioni all'ingegneria, a valle di quanto appreso in Analisi e Geometria 1. Parti integranti del corso sono l’algebra lineare ed il calcolo differenziale ed integrale, già visto nel corso precedente nel caso unidimensionale, delle funzioni di più variabili anche a valori vettoriali. A questi si aggiungono le equazioni differenziali ordinarie lineari del 1° e 2° ordine. In particolare le EDO lineari del 2° ordine a coefficienti costanti erogate in modalità Didattica innovativa nella forma di Blended Learning & Flipped Classroom.

 

 

 


Risultati di apprendimento attesi

Al termine del corso agli studenti avranno fatto propri contenuti e pratiche d’esercizio secondo quanto stabilito negli obiettivi formativi.

  In termini di conoscenza e capacità di comprensione, gli studenti saranno in grado di:

  • definire i principali concetti relativi all’algebra lineare e al calcolo differenziale e integrale in più variabili e di alcune equazioni differenziali ordinarie
  • esprimere la conoscenza di questi concetti attraverso definizioni, teoremi, esempi e controesempi
  • interpretare determinante e rango di una matrice in termini del sistema lineare associato
  • interpretare i contenuti di libri di testo di Analisi e Algebra Lineare a livello post secondario

In merito all’applicazione delle conoscenze e della capacità di comprensione acquisite, gli studenti saranno in grado di:

  • esaminare attraverso i teoremi di Rouché-Capelli e di Cramer sistemi lineari arbitrari al fine di studiarne la risolubilità
  • risolvere sistemi lineari con il metodo di eliminazione di Gauss
  • calcolare determinante e rango di una matrice
  • calcolare la matrice associata ad un'applicazione lineare tra spazi vettoriali e la trasformazione della matrice al variare delle coordinate negli spazi
  • calcolare autovalori ed autovettori di una matrice quadrata 2x2 e 3x3, ed esaminare l'eventuale diagonalizzabilità della matrice.
  • data una matrice simmetrica reale, determinare una base ortonormale dello spazio euclideo tridimensionale formata da autovettori della matrice.
  • calcolare limiti e derivate parziali di funzioni di più variabili, piano tangente al grafico di una funzione di 2 variabili.
  • applicare limiti e derivate parziali allo studio della continuità e differenziabilità di una funzione di 2 o 3 variabili.
  • applicare il calcolo differenziale all’ottimizzazione sia libera che vincolata di funzioni di più variabili.
  • calcolare massimi e minimi relativi ed assoluti, liberi e vincolati.
  • esaminare i punti stazionari per stabilirne la natura.
  • risolvere integrali doppi e tripli con i metodi di riduzione e attraverso il cambio di coordinate
  • applicare gli integrali doppi e tripli al calcolo di volumi, baricentri e momenti di inerzia
  • applicare il calcolo delle derivate parziali e degli integrali ai campi vettoriali al fine di stabilirne la conservatività
  • calcolare il potenziale di un campo vettoriale conservativo
  • risolvere problemi di Cauchy per equazioni differenziali del I° ordine (lineari e a variabili separabili) e del II° ordine a coefficienti costanti, e per semplici sistemi lineari omogenei a coefficienti costanti
  • applicare le ODE viste nel corso a semplici problemi fisici
  • dimostrare alcuni teoremi fondamentali dell’algebra lineare, del calcolo differenziale e integrale di funzioni di più variabili, anche a valori vettoriali


 


Argomenti trattati

Le attività didattiche sono realizzate a mezzo di lezioni ed esercitazioni frontali, Mooc da usufruire in blended learning. 

Modulo 1: Algebra lineare. 

Sistemi lineari e matrici. Notazioni e terminologia. Metodo di eliminazione di Gauss. Teorema di Rouché-Capelli e rappresentazione dell'insieme delle soluzioni. Operazioni sulle matrici e loro proprietà. Matrici invertibili e calcolo della matrice inversa col metodo di Gauss-Jordan. Teorema di Cramer. Determinante: definizione e sue proprietà fondamentali. Matrici invertibili e determinante. Sviluppi di Laplace. Teorema di Binet.

Spazi vettoriali. Spazi e sottospazi vettoriali, combinazioni lineari, indipendenza lineare, basi, dimensione. Spazi associati a una matrice: nucleo, spazio riga e spazio colonna, e relazione tra le loro dimensioni. Rango di una matrice. Rango di una matrice a scala.

Applicazioni lineari. Matrice associata a un’applicazione lineare. Nucleo e immagine. Rango. Teorema di nullità più rango. Criteri di iniettività, suriettività, isomorfismo in termini del rango. Matrici invertibili e isomorfismi. Sistemi lineari rivisitati.

Spazi vettoriali euclidei. Prodotto scalare. Basi ortonormali. Cenno al procedimento di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali. Proiezioni ortogonali. Norma e sue proprietà. Matrici ortogonali e isometrie.

Autovalori e autovettori. Matrice di cambiamento di base. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili. Autovettori. Autovalori. Polinomio caratteristico e sua invarianza per similitudine. Molteplicità geometrica e algebrica degli autovalori. Criterio di diagonalizzabilità.

Il teorema spettrale. Diagonalizzabilità di matrici simmetriche reali e ortogonalità dei relativi autospazi. Applicazione allo studio del segno delle forme quadratiche. Matrici definite positive. Insiemi di livello di forme quadratiche: cenno a coniche e quadriche.

Modulo 2: Equazioni differenziali ordinarie. 

Introduzione ed esempi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali de I° ordine e problema di Cauchy per equazioni del primo ordine, soluzione di equazioni del I° ordine lineari e a variabili separabili. Equazioni lineari del II° ordine a coefficienti costanti. Problemi di Cauchy. Integrale generale dell’equazione omogenea e non omogenea (metodo di somiglianza). Vibrazioni meccaniche. Per questo argomento è previsto l'utilizzo di Didattica innovativa nella forma di Blended Learning & Flipped Classroom.

Modulo 3: Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. 

Dominio naturale e curve di livello. Limiti e continuità di funzioni di due variabili. Derivate parziali e direzionali. Differenziale e piano tangente. Formula del gradiente. Derivate di ordine superiore, matrice hessiana. Formula di Taylor. Punti stazionari, estremi liberi, test della matrice hessiana. Estremi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Modulo 4: Integrali multipli. 

Integrali doppi su domini semplici per funzioni continue, formule di riduzione, cambi di coordinate. Integrali tripli. Formule di riduzione: “per fili” e “per strati”. Coordinate polari nel piano, coordinate sferiche e cilindriche nello spazio. Applicazioni: volumi, baricentri e momenti d’inerzia.

Modulo 5: Campi vettoriali.

Campi vettoriali, campi conservativi, potenziale. Integrali di linea di seconda specie, lavoro di un campo di forze. Rotore e divergenza. Formule di Gauss-Green nel piano e loro interpretazione come teorema del rotore e come teorema della divergenza.

 

 

 


Prerequisiti

Tutti gli argomenti trattati in Analisi e Geometria 1 sono prerequisiti di questo insegnamento. Inoltre si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nella scuola secondaria di secondo grado con particolare riferimento all'algebra dei polinomi, equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica,  esponenziali e logaritmi e loro proprietà.


Modalità di valutazione

Modalità di valutazione

Sono previsti cinque appelli d’esame, nelle date stabilite dalla scuola; due nella sessione di esami tra giugno e luglio (di cui il primo potrà essere sostenuto anche mediante due prove in itinere), uno a settembre, e due nella sessione tra gennaio e febbraio.

L’esame consiste di una prova suddivisa in tre parti consecutive:

la prima parte, detta parte A, consiste di un Quiz di domande a risposta multipla svolto su computer portatile o tablet; per accedere alle altre parti è necessario superare una soglia minima; la prova ha lo scopo di valutare l'acquisizione da parte dello studente delle conoscenze e competenze fondamentali mediante la soluzione di esercizi a risposta chiusa, (secondo quanto indicato nei risultati di apprendimento attesi);

la seconda parte, detta parte B, consiste di esercizi a risposta aperta; questa parte dell’esame ha lo scopo di valutare le competenze metodologiche e la capacità di applicare a problemi specifici la conoscenza e la comprensione dei contenuti del corso (secondo quanto indicato nei risultati di apprendimento attesi);

la terza parte, detta parte C, consiste di domande ed esercizi di teoria; questa parte dell’esame ha lo scopo di valutare il livello di conoscenza e comprensione degli aspetti concettuali del corso raggiunto dallo studente.

Ciascuna parte dell’esame è suddivisa in due sezioni corrispondenti ai due emisemestri del corso.

Le prove in itinere hanno la stessa struttura, ma in ciascuna prova sarà richiesta solamente la sezione corrispondente all’emisemestre della prova.

Valutazione finale

L’esame è superato se lo studente raggiunge una soglia minima in ogni sezione dell’esame (le soglie esatte sono fornite agli studenti a inizio corso) e una votazione complessiva di almeno 18 trentesimi; il punteggio di ciascuna parte dell’esame è espresso in trentesimi, e il voto complessivo si ottiene facendo la media pesata dei voti delle tre parti, quello della parte A pesa per il 20%, quello della parte B per il 50% e quello della parte C per il 30%.  E’ prevista la valutazione di Riprovato per chi consegna la parte B e riporta in essa una valutazione minore o uguale a 8 trentesimi.

A discrezione del docente, uno studente potrà essere convocato a sostenere una prova orale.

Durante lo svolgimento di ogni prova d'esame lo studente non può consultare né avere con sé testi, appunti, calcolatrici, telefoni cellulari o altre apparecchiature elettroniche non esplicitamente approvate dal docente. Lo studente che contravvenga a tale regola sarà allontanato dall'aula d'esame e la sua prova risulterà insufficiente.

 

 

 

 

 

 


Bibliografia
Risorsa bibliografica facoltativaE. Schlesinger, Algebra lineare e geometria - Seconda Edizione, Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2018, ISBN: 978-88-08-52069-2
Note:

Testo per la parte di algebra lineare

Risorsa bibliografica facoltativaMarco Bramanti, Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi Matematica 2, Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2009, ISBN: 9788808122810
Note:

Testo per la parte di Analisi Matematica

Risorsa bibliografica facoltativaSusanna Terracini, Davide L. Ferrario, Monica Conti, Vivina Barutello, Gianmaria Verzini, Analisi matematica. Con elementi di geometria e calcolo vettoriale: 2, Editore: Maggioli, Anno edizione: 2013, ISBN: 8838785910
Risorsa bibliografica facoltativaMarco Bramanti, Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare, Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2014, ISBN: 9788808254214
Note:

Testo per la parte di algebra lineare

Risorsa bibliografica facoltativaM. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Editore: Esculapio, Anno edizione: 2012, ISBN: 978-88-7488-482-7
Note:

Eserciziario per la parte di analisi

Risorsa bibliografica facoltativaL. Mauri, E: Schlesinger, Esercizi di algebra lineare e geometria, Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2013, ISBN: 9788808192523 http://online.scuola.zanichelli.it/mauri/
Note:

Eserciziario per la parte di algebra lineare (vi sono risolti gli esercizi del libro di testo Schlesinger Algebra lineare e geometria)

Risorsa bibliografica facoltativaM. Boella, Analisi Matematica 1 e Algebra lineare. Esercizi. 2a ed., Editore: Pearson, Anno edizione: 2012, ISBN: 978-8871927695
Note:

Eserciziario per la parte di algebra lineare

Risorsa bibliografica facoltativaM. Boella, Analisi Matematica 2. Esercizi. (2a ed.), Editore: Pearson, Anno edizione: 2014, ISBN: 978-8871929545
Note:

Eserciziario per la parte di analisi.

Risorsa bibliografica facoltativaRobert A.Adams, Calcolo differenziale 2 , Editore: Casa Editrice Ambrosiana, Anno edizione: 2014, ISBN: 978-8808-18468-9
Risorsa bibliografica facoltativaEnrico Giusti, Analisi Matematica Volume 2, Editore: Bollati Boringhieri, Anno edizione: 2003, ISBN: 9788833957067

Software utilizzato
Nessun software richiesto

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
60:00
90:00
Esercitazione
40:00
60:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 100:00 150:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese
schedaincarico v. 1.7.0 / 1.7.0
Area Servizi ICT
26/05/2022