• 055646 - FONDAMENTI DI STATISTICA E SEGNALI BIOMEDICI [1]

Il primo modulo del corso integrato di FONDAMENTI DI STATISTICA E SEGNALI BIOMEDICI ha lo scopo di familiarizzare lo studente con alcuni dei modelli probabilistici e delle tecniche statistiche di base più usati nelle applicazioni dell'ingegneria biomedica.

Lo studente:

• ha conoscenza e comprensione delle definizioni e dei concetti fondamentali della probabilità elementare, delle variabili aleatorie e della statistica descrittiva e inferenziale (DD1);

• è in grado di usare una terminologia adeguata (DD2);

• sa costruire un modello probabilistico per semplici problemi reali e calcolare quantità rilevanti, per esempio probabilità di eventi, media e varianza di variabili aleatorie, giustificando rigorosamente i procedimenti seguiti (DD2);

• sa impostare e risolvere semplici questioni di inferenza statistica, per esempio stime puntuali, stime intervallari e verifica di ipotesi per la media di una popolazione gaussiana(DD2);

• è capace di utilizzare software statistici (per esempio la piattaforma R, si veda http://www.r-project.org) per l’analisi dei dati (DD2,DD3).

1. Analisi univariata: Indici di centralità, di dispersione e di forma, distribuzioni empiriche, istogrammi, boxplot.
2. Analisi bivariata: Tabella di contingenza, scatterplot, coefficiente di correlazione campionario.
3. Probabilità: Spazio campionario, eventi e loro algebra, funzione di probabilità e sue proprietà, probabilizzazione di spazi campionari finiti. Probabilità condizionata, formule delle probabilità totali e di Bayes, regola del prodotto, eventi indipendenti con applicazioni a test diagnostico e affidabilità di sistemi in serie e in parallelo.
4. Variabili aleatorie: Variabili aleatorie discrete e continue, funzione di ripartizione, funzione di densità, formula dell'area per variabili aleatorie continue.  Indici di sintesi di una distribuzione: moda, quantili, valore atteso, varianza, deviazione standard, coefficiente di variazione.  Standardizzazione di una variabile aleatoria. Trasformazioni (affine, quadratica, ...) di variabili aleatorie. 
   Distribuzioni notevoli discrete: distribuzione uniforme discreta, di Bernoulli, binomiale, geometrica, di Poisson; loro principali proprietà e applicazioni. 
   Distribuzioni notevoli continue: distribuzione uniforme continua, esponenziale, di Weibull, gaussiana (normale), log-normale; loro principali proprietà e applicazioni.
5. Variabili aleatorie multivariate: Variabili aleatorie bivariate, funzioni di ripartizione congiunta e marginali, densità congiunta e marginali: densità discrete e tabella a doppia entrata, densità continue e formula del volume. Indipendenza di variabili aleatorie. Valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie. Covarianza e coefficiente di correlazione lineare e loro proprietà. Cenni al modello gaussiano bivariato, modello uniforme in 2-D, variabili aleatorie n-variate, modello multinomiale.
6. Somme di variabili aleatorie: Valore atteso e varianza di somme di variabili aleatorie. Riproducibilità delle distribuzioni: binomiale, di Poisson, gaussiana. Media campionaria, suo valore atteso e sua varianza; varianza campionaria e suo valore atteso. 
7. Teoremi limite per somme di variabili aleatorie: Teorema del limite centrale e sua applicazione alle approssimazioni gaussiane. Legge debole dei grandi numeri e sua applicazione alla stima frequentista della probabilità (cenni).
8. Stima puntuale: Popolazione, modello statistico, campione casuale, statistiche, stimatori, errore quadratico medio.  Stimatori puntuali di media, varianza e dei parametri di distribuzioni notevoli, per es.: gaussiana, di Bernoulli, di Poisson, esponenziale, uniforme. 
9. Stima intervallare e verifica di ipotesi: Distribuzioni campionarie per campionamento da popolazione gaussiana: distribuzioni gaussiana, chi-quadrato, t di Student e uso delle relative tavole. Intervalli di confidenza per la media di campioni gaussiani. Test di ipotesi: ipotesi statistiche, semplici e composte; regione critica, statistica test; errori di primo e secondo tipo, livello di significatività; p-value. Test di ipotesi sulla media di campioni gaussiani unidimensionali e sulla differenza di medie di campioni gaussiani accoppiati e disaccoppiati: test z, t e chi-quadrato. Intervalli di confidenza e test di ipotesi su una media e sulla differenza di due medie di popolazioni non gaussiane nel caso di grandi campioni. Esempi ed applicazioni: inferenza asintotica per popolazioni bernoulliane.
10. Test chi-quadrato di buon adattamento e di indipendenza.
11. Regressione lineare: Modello di regressione lineare semplice, stima dei parametri di regressione con il metodo dei minimi quadrati, coefficiente di determinazione, intervalli di confidenza e test di ipotesi per i parametri di regressione; analisi dei residui; bande di predizione per responsi futuri e responsi medi. Modello di regressione lineare multipla, selezione del modello e covariate fattoriali.

I punti 1, 2 e 11 verranno trattati esclusivamente in aula informatizzata (LABORATORIO INFORMATICO).

È necessario che gli studenti posseggano i concetti fondamentali delle serie numeriche e dell’ordinario calcolo differenziale e integrale di funzioni reali a una e più variabili.

Ciascuna parte dell’insegnamento (Modulo 1 "Fondamenti di Statistica" e Modulo 2 "Fondamenti di Segnali Biomedici") prevede una prova in itinere facoltativa, ma fortemente consigliata. La prima prova è collocata nel primo periodo di sospensione della didattica (aprile) ed è relativa esclusivamente al Modulo 1 dell’insegnamento integrato. L'altra è nel secondo periodo di sospensione (giugno) e verte esclusivamente sul Modulo 2 dell’insegnamento. Ognuna delle due prove in itinere consisterà in uno scritto sugli argomenti trattati nelle lezioni e nelle esercitazioni d'aula, e potrà essere recuperata negli appelli regolari. Chi non si presenta o non supera la prima prova in itinere può sostenere la seconda prova in itinere. La prova degli appelli di esame (uno a luglio, uno a settembre e due a gennaio-febbraio) è costituita da due parti, una relativa al Modulo 1 e una al Modulo 2, e lo studente può partecipare ad una o ad entrambe le parti.

Il superamento dell'esame dell’insegnamento integrato è subordinato al raggiungimento della sufficienza (votazione >=18/30) sia nel Modulo 1 che nel Modulo 2 dell’insegnamento. Il voto finale che sarà verbalizzato si ottiene facendo la media aritmetica (arrotondata per eccesso) tra i voti conseguiti nei due moduli.

La prova scritta del Modulo 1 (sia nel caso della prova in itinere che degli appelli di esame) è costituita da esercizi su argomenti ai punti 3-10 in “Argomenti Trattati”.

Una prova di laboratorio in aula informatizzata sui punti 1-2 e 11 di “Argomenti Trattati” del Modulo 1 si svolgerà alla fine delle lezioni del Modulo 1 (aprile). È prevista un’unica prova di laboratorio per l’intero anno accademico; allo studente che non si presenterà a tale prova sarà attribuito punteggio della prova di laboratorio pari a 0.

Il voto complessivo del Modulo 1 sarà ottenuto sommando il risultato della parte scritta (scala 0-32) e della prova di laboratorio (scala 0-3). Se il voto complessivo del Modulo 1 è superiore a 30, verrà arrotondato a 30. L'assegnazione della lode è a discrezione del docente.

Nella prova scritta del Modulo 1 lo studente:

• è in grado di applicare un modello probabilistico per semplici problemi reali;
• sa utilizzare le conoscenze acquisite dalla teoria per calcolare tipiche quantità come probabilità di eventi, media e varianza di variabili aleatorie, giustificando rigorosamente i procedimenti seguiti;
• è in grado di scegliere quale sia lo strumento statistico più adeguato alla risoluzione di semplici problemi di statistica inferenziale, applicandolo ai dati forniti.

Nella prova di laboratorio informatico lo studente:

• è in grado di effettuare un’analisi descrittiva univariata e bivariata di dataset reali;
• sa studiare la dipendenza tra le variabili di interesse mediante modelli di regressione multipla.

Capitoli 1 (Sezioni 1.1, 1.2, 1.3), 2 (Sezioni 2.1, 2.2.1, 2.3.1, 2.3.2) , 5 (Sezioni 5.1.3, 5.2)