Il primo modulo del corso integrato di FONDAMENTI DI STATISTICA E SEGNALI BIOMEDICI ha lo scopo di familiarizzare lo studente con alcuni dei modelli probabilistici e delle tecniche statistiche di base più usati nelle applicazioni dell'ingegneria biomedica.

Il secondo modulo del corso integrato di FONDAMENTI DI STATISTICA E SEGNALI BIOMEDICI ha lo scopo di fornire le basi per la comprensione del trattamento e dell'elaborazione di segnali biomedici con l’introduzione alle loro caratteristiche, ai modelli di generazione e alle elaborazioni elementari e di più generale utilizzo.

Lo studente:

• ha conoscenza e comprensione delle definizioni e dei concetti fondamentali della probabilità elementare, delle variabili aleatorie e della statistica descrittiva e inferenziale; (DD1)
• è in grado di usare una terminologia adeguata; (DD1)
• sa costruire un modello probabilistico per semplici problemi reali e calcolare quantità rilevanti, per esempio probabilità di eventi, media e varianza di variabili aleatorie, giustificando rigorosamente i procedimenti seguiti; (DD2)
• sa impostare e risolvere semplici questioni di inferenza statistica, per esempio stime puntuali, stime intervallari e verifica di ipotesi per la media di una popolazione gaussiana; (DD2)
• è capace di utilizzare software statistici (per esempio la piattaforma R, si veda http://www.r-project.org) per l’analisi dei dati. (DD2)

L’obiettivo del secondo modulo del corso è quello di permettere allo studente:

• di comprendere le caratteristiche principali di un segnale o serie temporale con particolare riferimento ai segnali biomedici (DD1)
• di descrivere e applicare i metodi per l’analisi in frequenza dei segnali e i metodi per la stima delle proprietà spettrali di un segnale (DD1)
• di saper classificare i filtri numerici sulla base delle conoscenze acquisite nel dominio delle frequenze e di saper riconoscere le caratteristiche principali dei filtri (DD1)
• di spiegare i modelli parametrici per la stima spettrale di un segnale (DD1)
• di descrivere con le principali tecniche di estrazione di informazione da segnali biomedici, quali ad esempio ECG, EEG, potenziali evocati, potenziali evento relati, respiro e pressione arteriosa (DD1)
• di descrivere le principali tipologie di immagini biomediche (DD1)
• di saper applicare i metodi per l’analisi in frequenza dei segnali, valutando le proprietà e le caratteristiche delle diverse trasformate di Fourier (DD2)
• di applicare i metodi per la stima delle proprietà spettrali di un segnale nei diversi contesti e di valutarne i vantaggi e svantaggi rispetto ai metodi non parametrici (DD2)
• di saper progettare filtri numerici sulla base delle conoscenze acquisite nel dominio delle frequenze (DD2)
• di saper utilizzare i modelli parametrici per la stima spettrale di un segnale e di valutarne i vantaggi e svantaggi rispetto ai metodi non parametrici (DD2, DD3)
• di essere in grado di identificare le caratteristiche progettuali di un convertitore analogico-digitale per un segnale, di stimare il suo contenuto spettrale e correlazioni nel dominio del tempo e delle frequenze (DD3)
• di saper identificare le caratteristiche principali dei segnali e di saper valutare la correttezza dei diversi approcci per l’analisi di segnali biomedici con caratteristiche diverse (sia nel domino del tempo che nelle frequenze) (DD2)
• di saper utilizzare un linguaggio appropriato e i formalismi matematici per la descrizione dei segnali biomedici (DD4)

MODULO 1

1. Analisi univariata: Indici di centralità, di dispersione e di forma, distribuzioni empiriche, istogrammi, boxplot.
2. Analisi bivariata: Tabella di contingenza, scatterplot, coefficiente di correlazione campionario.
3. Probabilità: Spazio campionario, eventi e loro algebra, funzione di probabilità e sue proprietà, probabilizzazione di spazi campionari finiti. Probabilità condizionata, formule delle probabilità totali e di Bayes, regola del prodotto, eventi indipendenti con applicazioni a test diagnostico e affidabilità di sistemi in serie e in parallelo.
4. Variabili aleatorie: Variabili aleatorie discrete e continue, funzione di ripartizione, funzione di densità, formula dell'area per variabili aleatorie continue.  Indici di sintesi di una distribuzione: moda, quantili, valore atteso, varianza, deviazione standard, coefficiente di variazione.  Standardizzazione di una variabile aleatoria. Trasformazioni (affine, quadratica, ...) di variabili aleatorie. 
   Distribuzioni notevoli discrete. Distribuzione uniforme discreta, di Bernoulli, binomiale, geometrica, di Poisson; loro principali proprietà e applicazioni. 
   Distribuzioni notevoli continue. Distribuzione uniforme continua, esponenziale, di Weibull, gaussiana (normale), log-normale; loro principali proprietà e applicazioni.
5. Variabili aleatorie multivariate: Variabili aleatorie bivariate, funzioni di ripartizione congiunta e marginali, densità congiunta e marginali: densità discrete e tabella a doppia entrata, densità continue e formula del volume. Indipendenza di variabili aleatorie.  Valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie. Covarianza e coefficiente di correlazione lineare e loro proprietà. Cenni al modello gaussiano bivariato, modello uniforme in 2-D, variabili aleatorie n-variate, modello multinomiale.
6. Somme di variabili aleatorie: Valore atteso e varianza di somme di variabili aleatorie. Riproducibilità delle distribuzioni: binomiale, di Poisson, gaussiana. Media campionaria, suo valore atteso e sua varianza; varianza campionaria e suo valore atteso. 
7. Teoremi limite per somme di variabili aleatorie: Teorema del limite centrale e sua applicazione alle approssimazioni gaussiane. Legge debole dei grandi numeri e sua applicazione alla stima frequentista della probabilità (cenni).
8. Stima puntuale: Popolazione, modello statistico, campione casuale, statistiche, stimatori, errore quadratico medio.  Stimatori puntuali di media, varianza e dei parametri di distribuzioni notevoli, per es.: gaussiana, di Bernoulli, di Poisson, esponenziale, uniforme. 
9. Stima intervallare e verifica di ipotesi: Distribuzioni campionarie per campionamento da popolazione gaussiana: distribuzioni gaussiana, chi-quadrato, t di Student e uso delle relative tavole. Intervalli di confidenza per la media di campioni gaussiani.  Test di ipotesi: ipotesi statistiche, semplici e composte; regione critica, statistica test; errori di primo e secondo tipo, livello di significatività; p-value. Test di ipotesi sulla media di campioni gaussiani unidimensionali e sulla differenza di medie di campioni gaussiani accoppiati e disaccoppiati: test z, t e chi-quadro. Intervalli di confidenza e test di ipotesi su una media e sulla differenza di due medie di popolazioni non gaussiane nel caso di grandi campioni. Esempi ed applicazioni: inferenza asintotica per popolazioni bernoulliane.
10. Test chi-quadrato di buon adattamento e di indipendenza.
11. Regressione lineare: Modello di regressione lineare semplice, stima dei parametri di regressione con il metodo dei minimi quadrati, coefficiente di determinazione, intervalli di confidenza e test di ipotesi per i parametri di regressione; analisi dei residui; bande di predizione per responsi futuri e responsi medi. Modello di regressione lineare multipla, selezione del modello e covariate fattoriali.

I punti 1, 2 e 11 verranno trattati esclusivamente in aula informatizzata (LABORATORIO INFORMATICO) con l’uso del software R.

MODULO 2

1. Caratterizzazione dei biosegnali nel dominio del tempo (periodicità, stazionarietà, proprietà statistiche)
2. Analisi in frequenza di segnali biomedici: Serie di Fourier, Trasformata di Fourier, DTFT, DFT, FFT. Trasformata Z.
3. Filtri numerici FIR e IIR: metodi di progettazione e applicazioni.
4. Processi stazionari ed ergodici - Funzione di autocorrelazione e cross-correlazione – rapporto segnale e rumore (SNR) Acquisizione, campionamento, conversione analogico digitale
5. Detezione di onde: distanze onda/template, cross-correlazione, filtri matched - Miglioramento SNR: media sincrona.
6. Valutazione di riconoscitori: sensitività, specificità, curve ROC
7. Analisi spettrale: spettro di energia, spettro di potenza - Periodogramma - Risoluzione spettrale, finestratura e zero-padding.
8. Modelli parametrici: modelli approccio predittivo, metodo dei minimi quadrati, equazioni di Yule Walker, stima spettrale parametrica, filtro sbiancante.
9. Introduzione alle Bioimmagini: mappe, proiezioni, tomografie. Teorema del campionamento in 2D. Ricostruzione tomografiche mediante retroproiezione.

È necessario che gli studenti posseggano i concetti fondamentali delle serie numeriche e dell'ordinario calcolo differenziale e integrale di funzioni reali a una e più variabili,

CORSO INTEGRATO

Ciascuna parte dell’insegnamento (Modulo 1 "Fondamenti di Statistica" e Modulo 2 "Fondamenti di Segnali Biomedici") prevede una prova in itinere facoltativa, ma fortemente consigliata. La prima prova è collocata nel primo periodo di sospensione della didattica (aprile)  ed è relativa esclusivamente al Modulo 1 dell’insegnamento integrato. L'altra è nel secondo periodo di sospensione (giugno)  e verte esclusivamente sul Modulo 2 dell’insegnamento.

Ognuna delle due prove in itinere consisterà in uno scritto sugli argomenti trattati nelle lezioni e nelle esercitazioni d'aula, e potrà essere recuperata negli appelli regolari. Chi non si presenta o non supera la prima prova in itinere può sostenere la seconda prova in itinere. La prova degli appelli di esame (uno a luglio, uno a settembre e due a gennaio-febbraio) è costituita da due parti, una relativa al Modulo 1 e una al Modulo 2, e lo studente può partecipare ad una o ad entrambe le parti.

Il superamento dell'esame dell’insegnamento integrato è subordinato al raggiungimento della sufficienza (votazione >=18/30) sia nel Modulo 1 che nel Modulo 2 dell’insegnamento. Il voto finale che sarà verbalizzato si ottiene facendo la media aritmetica (arrotondata per eccesso) tra i voti conseguiti nei due moduli.

MODULO 1

La prova scritta del Modulo 1 (sia nel caso della prova in itinere che degli appelli di esame) è costituita da esercizi su argomenti ai punti 3-10 in “Argomenti Trattati”.

Una prova di laboratorio in aula informatizzata sui punti 1-2 e 11 di “Argomenti Trattati” del Modulo 1 si svolgerà alla fine delle lezioni del Modulo 1 (aprile). È prevista un’unica prova di laboratorio per l’intero anno accademico; allo studente che non si presenterà a tale prova sarà attribuito punteggio della prova di laboratorio pari a 0.

Il voto complessivo del Modulo 1 sarà ottenuto sommando il risultato della parte scritta (scala 0-30) e della prova di laboratorio (scala 0-3).  

Nella prova scritta del Modulo 1 lo studente:

• è in grado di applicare un modello probabilistico per semplici problemi reali;
• sa utilizzare le conoscenze acquisite dalla teoria per calcolare tipiche quantità come probabilità di eventi, media e varianza di variabili aleatorie, giustificando rigorosamente i procedimenti seguiti;
• è in grado di scegliere quale sia lo strumento statistico più adeguato alla risoluzione di semplici problemi di statistica inferenziale, applicandolo ai dati forniti.

Nella prova di laboratorio informatico lo studente:

• è in grado di effettuare un’analisi descrittiva univariata e bivariata di dataset reali;
• sa studiare la dipendenza tra le variabili di interesse mediante modelli di regressione multipla.

MODULO 2

L’esame prevede una prova scritta di 90 minuti ed una eventuale prova orale. Lo scritto è composto da esercizi e domande di teoria su quanto visto a lezione e a esercitazione.

Modulo[1]

Modulo [1]

Modulo [1]

Capitoli 1 (Sezioni 1.1, 1.2, 1.3), 2 (Sezioni 2.1, 2.2.1, 2.3.1, 2.3.2), 5 (Sezioni 5.1.3, 5.2)

Modulo [2]. Materiale relativo alle elezioni ed esercitazioni disponibile per il download. Altro materiale aggiuntivo segnalato per parti specifiche del corso

Modulo [2]

Modulo [2]

Modulo [2]