• MOOC

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, l'insegnamento si propone di fornire allo studente metodi e tecniche fondamentali dell'analisi matematica e delle sue applicazioni all'ingegneria. I contenuti dell’insegnamento riguardano il calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili reali, la teoria di base ed alcuni metodi risolutivi per le equazioni differenziali ordinarie, lo studio di integrali impropri, serie numeriche, serie di potenze e serie di Fourier, la teoria dei campi vettoriali con particolare attenzione a quelli conservativi, l'integrazione di campi vettoriali su curve e superfici, ed i teoremi del rotore e della divergenza . Per la parte dell'insegnamento sulle equazioni differenziali lineari del secondo ordine è previsto l'utilizzo di Didattica innovativa nella forma di Blended Learning & Flipped Classroom.

A seguito del superamento dell'esame, lo studente conoscerà gli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili reali, delle equazioni differenziali ordinarie, degli integrali impropri, delle serie numeriche, di potenze e di Fourier, della teoria dei campi vettoriali inclusa la loro integrazione su curve e superfici parametriche. 

Lo studente sarà inoltre in grado di risolvere esercizi sugli argomenti trattati nell’insegnamento, in particolare di 

• studiare continuità e differenziabilità di funzioni in più variabili, anche in relazione con il calcolo di derivate direzionali o equazioni dei piani tangenti e dei vettori normali ai loro grafici; 
• determinare massimi e minimi liberi e vincolati di funzioni scalari di due o tre variabili; 
• determinare l’integrale generale o risolvere un problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie del prim’ordine (lineari, a variabili separabili, o a queste riconducibili mediante cambiamento di variabili) e del secondo ordine (a coefficienti costanti); 
• studiare la convergenza di integrali impropri o serie numeriche; 
• determinare l’insieme di convergenza di una serie di potenze e calcolare i coefficienti di Fourier di semplici funzioni periodiche; 
• calcolare integrali doppi e tripli con il metodo di riduzione o con un cambiamento di coordinate, eventualmente in relazione a proprietà geometriche o meccaniche (calcolo di aree, volumi, baricentri o momenti di inerzia); 
• stabilire se una curva/superficie parametrica è regolare, determinarne vettori/piani tangenti/normali; 
• calcolare integrali curvilinei o di superficie, eventualmente in relazione a proprietà geometriche o meccaniche (calcolo di lunghezze, aree, baricentri o momenti di inerzia di curve o superfici);
• calcolare il lavoro di un campo lungo un cammino; stabilire se un campo è conservativo e nel caso determinarne un potenziale; calcolare il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie;
• applicare i teoremi di Gauss-Green nel piano, del rotore (Stokes) e della divergenza (Gauss). 

Il docente si attende una comprensione della teoria non limitata all'enunciazione di definizioni e risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica ed in grado di distinguere diverse  situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti. 

Si attende inoltre un'adeguata correttezza nei calcoli e un'esposizione ben argomentata della teoria.

1. Funzioni reali di due o più variabili reali. 

Insieme di definizione, curve (superfici) di livello. Elementi di topologia in R² e in R³; insiemi aperti, chiusi, insiemi limitati, frontiera, insiemi connessi. Limiti, continuità. Derivate parziali; piano tangente (n=2). Vettore gradiente, sue proprietà. Differenziabilità per n=2, approssimazione lineare locale. Derivate direzionali, regola del gradiente. Funzioni composte, regola di derivazione. Derivate seconde e teorema di Schwarz. Formula di Taylor per n=2, arrestata alle derivate seconde. Estremi liberi. Punti stazionari. Condizione sufficiente per l'esistenza di estremi locali: matrice Hessiana, segno degli autovalori. Estremi vincolati: caso n=2, vincolo di uguaglianza. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. 

2. Equazioni differenziali ordinarie. 

Modelli di dinamica delle popolazioni, della meccanica classica, dei circuiti RC, RCL. Generalità: ordine, soluzione, problema di Cauchy, linearità. Equazioni del primo ordine lineari: principio di sovrapposizione; struttura dell'integrale generale dell'equazione completa; teorema di esistenza ed unicità per il problema dei valori iniziali. Equazioni del prim’ordine nonlineari: metodi di integrazione. Equazioni lineari del secondo ordine: principio di sovrapposizione; struttura dell'integrale generale; teorema di esistenza ed unicità per il problema dei valori iniziali. Integrale generale dell'equazione omogenea. Soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea nel caso di coefficienti costanti. Integrale particolare dell'equazione completa col metodo di somiglianza. Per quest’ultimo argomento (equazioni lineari del secondo ordine) è previsto l'utilizzo di Didattica innovativa nella forma di Blended Learning & Flipped Classroom.

3. Integrali impropri e serie numeriche

Integrali impropri. Esempi. Criteri di confronto, confronto asintotico. Serie convergente, divergente, indeterminata. Esempi. Serie a termini positivi, criteri di convergenza. Serie con termini di segno variabile, convergenza assoluta. Serie a segni alterni: criterio di Leibniz.

4. Serie di potenze e serie di Fourier

Serie di potenze. Proprietà, raggio di convergenza, teorema di Abel. Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Coefficienti e serie di Fourier di una funzione periodica. Convergenza in media quadratica, identità di Parseval, convergenza puntuale della serie di Fourier.

5. Integrali doppi e tripli

Definizione di integrale doppio di una funzione continua. Proprietà e applicazioni (baricentro, momento di inerzia,...). Formula di riduzione a due successive integrazioni semplici per domini normali. Cambiamento di variabili da cartesiane a polari. Integrali tripli di funzioni continue. Formula di riduzione. Cambiamento di variabili da cartesiane a cilindriche, da cartesiane a sferiche.

6. Curve, integrali di linea e campi vettoriali

Curve in forma parametrica in R² e in R³. Curve semplici, chiuse, regolari, vettore tangente. Lunghezza di una curva regolare a tratti. Integrali di linea. Baricentro e momento d’inerzia. Linee di forza o di flusso. Campo elettrostatico, campo piano di velocità, campo magnetico. Lavoro lungo una linea regolare. Integrazione delle forme differenziali lineari, campi vettoriali conservativi, potenziale. Condizione necessaria per l’esistenza del potenziale; condizione sufficiente. Rotore. Formula di Gauss-Green.

7. Superfici e integrali di superficie

Superfici parametriche nello spazio. Piano tangente, vettore normale. Integrali di superficie. Baricentro e momento d’inerzia. Flusso di un campo attraverso una superficie. Teoremi della divergenza (teorema di Gauss) e del rotore (teorema di Stokes).

Gli argomenti trattati in Analisi Matematica I e Geometria sono prerequisiti di questo insegnamento. Inoltre si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nella scuola secondaria di secondo grado con particolare riferimento all'algebra dei polinomi, equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica, esponenziali e logaritmi e loro proprietà. 

L’esame può essere superato attraverso uno degli appelli erogati durante le sessioni estiva, autunnale o invernale, secondo il calendario predisposto dalla Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione (non sono previste prove in itinere). Per sostenere un appello è necessario esservi regolarmente iscritti (non è ammessa la cosiddetta “iscrizione tardiva” all'appello, non verranno fatte eccezioni).

L’appello consiste in una prova scritta e, a discrezione del docente, in una prova orale: 

• nel caso la prova scritta risulti insufficiente (voto 17/30 o inferiore) l’esame non è superato e dovrà essere sostenuto da capo in uno degli appelli successivi; 
• nel caso la prova scritta risulti sufficiente (voto 18/30 o superiore) e il docente non richieda la prova orale, il voto proposto è quello ottenuto nella prova scritta;
• nel caso la prova scritta risulti sufficiente e il docente richieda la prova orale, questa può modificare il voto proposto in positivo o in negativo, anche radicalmente ed eventualmente portando alla bocciatura (nel qual caso l’esame dovrà essere sostenuto da capo in uno degli appelli successivi);
• il voto proposto può essere rifiutato, nei tempi e modi comunicati assieme al voto stesso; in caso contrario, il voto verrà registrato in carriera.

Le prove d’esame riguardano l’intero programma d’esame, e nella composizione del voto si terrà conto anche della chiarezza di esposizione. I quesiti presenti nelle prove d'esame possono riguardare esercizi, definizioni, esempi, contro esempi, enunciati di teoremi e semplici dimostrazioni. 

Durante lo svolgimento di ogni prova d'esame lo studente non può consultare né avere con sé testi, appunti, calcolatrici, telefoni cellulari o altre apparecchiature elettroniche. Lo studente che contravvenga a tale regola, o che sia sorpreso a chiedere o fornire aiuti ad altro studente, sarà allontanato dall'aula d'esame e la sua prova risulterà insufficiente.