I contenuti dell’insegnamento riguardano principalmente le basi del calcolo infinitesimale per funzioni di una variabile (limiti, continuità, derivabilità, integrabilità di funzioni reali di una variabile reale; successioni e serie numeriche). Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio previsti della scheda SUA-CdS, l'insegnamento ha anzitutto lo scopo di far acquisire allo studente le prime nozioni e i primi strumenti indispensabili per le applicazioni delle tecniche analitiche alla costruzione di modelli matematici nelle scienze e nell’ingegneria. In secondo luogo, l’insegnamento mira ad abituare lo studente a seguire e comprendere una concatenazione di ragionamenti logici, anche astratti, e a sviluppare in esso una soddisfacente manualità nei calcoli.

L’insegnamento è organizzato in lezioni ed esercitazioni.

(DdD1) Conoscenza e comprensione

A seguito del superamento dell’esame lo studente conosce e comprende:

• le nozioni fondamentali della Logica Matematica e dell’Insiemistica
• le principali proprietà strutturali degli insiemi numerici (dai naturali ai complessi)
• le proprietà metriche e topologiche fondamentali dell’insieme numerico reale
• il concetto generale di applicazione fra insiemi e le principali nozioni ad esso collegate
• la definizione di limite e di continuità e i relativi teoremi per le funzioni reali di una variabile reale
• i concetti e i teoremi del calcolo differenziale e integrale (derivate, primitive, integrali definiti) per funzioni reali di una variabile reale
• le successioni, le serie numeriche e le serie di potenze reali

(DdD2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione

A seguito del superamento dell’esame lo studente è capace di:

• manipolare formalmente enunciati logici ed eseguire dimostrazioni per induzione
• manipolare formalmente espressioni contenenti insiemi
• dimostrare semplici regole di calcolo letterale nei campi e nei campi ordinati
• calcolare estremi, punti interni, esterni, di frontiera e di accumulazione di un insieme di numeri reali
• manipolare e calcolare espressioni contenenti numeri complessi; rappresentare geometricamente insiemi di numeri complessi ed eseguirne trasformazioni
• calcolare domini di funzioni, funzioni composte, funzioni inverse
• trasformare grafici e riconoscere simmetrie, monotonie, estremi di una funzione
• scrivere e verificare la definizione metrica di un limite
• calcolare limiti e riconoscere i punti di discontinuità di una funzione
• confrontare e calcolare ordini di infinitesimi o infiniti ed eseguire lo studio asintotico del grafico di una funzione
• calcolare limiti di successioni e studiare graficamente successioni definite per ricorrenza
• calcolare derivate, differenziali e sviluppi di Taylor
• studiare il grafico di una funzione e stabilirne proprietà geometriche (punti di non derivabilità; curvatura; equazioni di rette tangenti e cerchi osculatori, ecc.)
• calcolare primitive, integrali definiti, aree, integrali impropri
• studiare funzioni integrali
• studiare il carattere di una serie numerica e di una serie di potenze
• calcolare la serie di Taylor di una funzione in un punto
• risolvere con MATLAB semplici esercizi che richiedano l’uso del computer

Il docente si attende da parte dello studente una comprensione degli argomenti trattati nell’insegnamento non limitata alla semplice comprensione di definizioni e risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica e in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti.

1. Nozioni di logica matematica. Concetti e proprietà di proposizione, predicato, connettivi e relative tavole di verità, quantificatori; il significato delle principali tecniche per dimostrare proprietà o teoremi (dimostrazioni dirette, per assurdo, per induzione; controesempi). Il Principio di induzione.
2. Nozioni di insiemistica. Concetti e proprietà di appartenenza, inclusione, unione, intersezione, differenza, complementazione, prodotto cartesiano.
3. Insiemi numerici. Le proprietà strutturali di campo ordinato dell'insieme dei numeri razionali. Definizione di numero reale e struttura di campo ordinato dell'insieme dei numeri reali; la proprietà di completezza dell'insieme dei numeri reali e i concetti di estremo superiore, di estremo inferiore, di massimo e di minimo. Definizione di insieme dei numeri complessi e sua struttura di campo, l'inclusione dei reali nei complessi, forma cartesiana e forma polare, coniugazione, formule di De Moivre del prodotto e del quoziente, radice n-esima complessa, teorema fondamentale dell'Algebra (enunciato), trasformazioni nel piano di Gauss (traslazioni, rotazioni, omotetie, ...).
4. Funzioni. I concetti di funzione, dominio, codominio, immagine e grafico; i concetti di uguaglianza e restrizione di una funzione; l'operazione di composizione e le sue proprietà; la proprietà di iniettività e il suo legame con la funzione inversa; la corrispondenza biunivoca tra insiemi. Insiemi equipotenti, potenza di un insieme; insieme finito e insieme infinito; insieme numerabile; numerabilità dei razionali; insiemi continui.
5. Funzioni reali di una variabile reale. I grafici delle funzioni fondamentali (potenze, radicali, esponenziali, logaritmi, trigonometriche, trigonometriche inverse, modulo, ...); trasformazioni di grafici (traslazioni orizzontali e verticali; dilatazioni e riflessioni orizzontali e verticali; ...); simmetrie (pari, dispari, periodicità). L'algebra delle funzioni, la nozione di monotonia e gli estremi di una funzione.
6. Elementi di topologia. Il concetto di intorno di un numero reale; intorni unilateri (destro e sinistro) e intorni di ±∞. Le definizioni e le proprietà di: punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, e di parte interna, frontiera, chiusura, derivato di un insieme di numeri reali. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Il Teorema di Bolzano-Weierstrass.
7. Limiti. Concetto, definizione metrica e interpretazione geometrica di limite (finito e infinito; al finito, unilatero, all'infinito; per eccesso e per difetto); definizione topologica di limite. Unicità del limite; permanenza del segno; confronto di limiti; esistenza del limite per funzioni monotòne (teorema di monotonia). Calcolo dei limiti: regole algebriche (somma, prodotto, quoziente), cambiamento di variabile (teorema del limite della funzione composta); forme di indecisione; limiti fondamentali e limiti notevoli da essi dedotti. Le definizioni di: funzione continua (da destra, da sinistra), punto di discontinuità (salto; eliminabile), asintoti (orizzontale e verticale). Continuità di: somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue.
8. Successioni reali. Successioni monotòne; successioni limitate; limite di una successione (successioni convergenti, divergenti, indeterminate); teorema di monotonia per le successioni; il numero "e". Limiti sequenziali, classe limite, massimo e minimo limite di una funzione. Sottosuccessioni e teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni. Successioni fondamentali e completezza; criterio di convergenza di Cauchy. Successioni definite per ricorrenza.
9. Infinitesimi ed infiniti. Confronto, ordine, simboli di "uguaglianza asintotica" e di "rapporto infinitesimo" e loro proprietà. Sviluppi asintotici nell'intorno di un punto: definizione, sviluppi notevoli. Applicazioni: calcolo di limiti, asintoto obliquo, studio asintotico del grafico di una funzione.
10. Funzioni continue. I teoremi fondamentali sulle funzioni continue in un intervallo: teorema di Weierstrass; teorema degli zeri: teorema dei valori intermedi; teorema della funzione inversa. Continuità uniforme: definizione e criteri; applicazione: errori di misura di grandezze legate da una legge deterministica.
11. Funzioni derivabili. I concetti di funzione derivabile e di derivata (destra, sinistra), equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto, legame tra derivabilità e continuità, la funzione derivata e le sue discontinuità (flessi verticali, cuspidi, semicuspidi, punti angolosi), le derivate successive e gli spazi funzionali delle funzioni derivabili n volte o indefinitamente derivabili. Le derivate notevoli e le regole di derivazione; i teoremi del valore medio di Lagrange e di Cauchy; il concetto e il significato geometrico di differenziale; flessione, raggio di curvatura e cerchio osculatore in un punto di un grafico.
12. Applicazioni delle derivate. Regola di De L'Hôpital; test di monotonia per funzioni derivabili; funzioni convesse/concave e test delle corde; test di convessità/concavità per funzioni derivabili o derivabili due volte; estremi locali e relativi test di riconoscimento per funzioni derivabili; test della derivata seconda per gli estremi interni; flessi e relativo test di riconoscimento per funzioni derivabili due volte; test della derivata terza per i flessi. Approssimazione di funzioni con polinomi: sviluppi di Taylor (resti di Peano e di Lagrange); sviluppi notevoli.
13. Antiderivazione. Teorema della derivata nulla; primitive e loro non unicità. L'integrale indefinito, l'operatore lineare di integrazione (o antiderivazione), integrali notevoli, regole di integrazione per parti o per sostituzione.
14. Integrale definito. Concetto di integrale definito e sua interpretazione geometrica; integrabilità delle funzioni continue o generalmente continue; proprietà dell'integrale (linearità, additività, monotonia); media integrale e teorema della media integrale per funzioni continue; la funzione integrale e il teorema fondamentale del Calcolo; esistenza delle primitive di una funzione continua e regola di calcolo dell'integrale tramite variazione di una di esse. Le primitive non elementari.
15. Integrale improprio. Il concetto di integrale improprio (nei due casi di intervallo non limitato o di integranda non limitata) e i test di convergenza (del confronto; del confronto asintotico; della convergenza assoluta).
16. Serie numeriche. Concetto di serie numerica, carattere di una serie, convergenza semplice ed assoluta, criteri di convergenza (generali, per serie a termini positivi, per serie a segni alterni), approssimazione della somma di una serie ed errore di troncamento; operazioni sulle serie: somma, prodotto, riordinamento. Serie geometrica e serie esponenziale. Serie a termini complessi, formula di Eulero. Forma esponenziale dei numeri complessi.
17. Serie di potenze e serie di Taylor. Raggio di convergenza e relative formule di calcolo; la funzione "somma" e le sue proprietà (continuità; derivabilità); teorema di Abel; principio di identità. Derivazione e integrazione per serie. Funzione generatrice di una serie di Taylor; funzione sviluppabile in un punto; funzione analitica in un intervallo. Serie di Mac Laurin notevoli. 

È fortemente consigliata, anche se non obbligatoria, l'iscrizione e la relativa frequenza al corso denominato Corso introduttivo a Matlab per matricole-Ingegneria Matematica (365), offerto dal Politecnico in parallelo con l'insegnamento di Analisi Matematica I, e svolto nell'ambito del progetto d’Ateneo di Didattica Innovativa - Azione 2. Tale corso ha lo scopo di introdurre lo studente all'uso di MATLAB, che è uno dei più noti programmi per il calcolo scientifico. In particolare lo studente apprenderà i comandi base, i comandi grafici e i comandi di calcolo simbolico e sarà in grado di fare calcoli riguardanti i numeri complessi, le successioni e le serie numeriche, le funzioni matematiche, le curve parametriche. La frequenza del corso innovativo si conclude con il conferimento del cosiddetto badge, ovvero di un attestato di frequenza rilasciato dal Politecnico. Gli studenti che conseguiranno il badge potranno ottenere un bonus sul voto d'esame di Analisi Matematica I secondo le modalità descritte al punto "Modalità di Valutazione" di questa scheda.

Le conoscenze di aritmetica, algebra, geometria e trigonometria, acquisite nella Scuola Secondaria di secondo grado, che sono richieste per affrontare la sezione di Matematica del Test On Line (TOL) d’ammissione ai corsi di laurea in ingegneria.