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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2019/2020
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 054361 - METODI ANALITICI E NUMERICI PER L'INGEGNERIA
Docente Mazzieri Ilario
Cfu 9.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - PC (354) INGEGNERIA MECCANICA*AZZZZ086214 - METODI ANALITICI E NUMERICI PER L'INGEGNERIA
054361 - METODI ANALITICI E NUMERICI PER L'INGEGNERIA
086214 - METODI ANALITICI E NUMERICI PER L'INGEGNERIA

Obiettivi dell'insegnamento

Scopo di questo corso è quello di introdurre i principali strumenti matematici e numerici per l'analisi e l’approssimazione di alcuni problemi tipici dell'Ingegneria. Dopo aver introdotto concetti e tecniche fondamentali del calcolo numerico, si introducono le metodologie sia analitiche che numeriche per risolvere classi di problemi differenziali che emergono tipicamente nell'ambito della applicazioni della ingegneria meccanica, come il calcolo delle deformazioni in semplici strutture monodimensionali, il calcolo delle frequenze proprie di alcuni sistemi meccanici, piuttosto che l'analisi termica di semplici travi.


Risultati di apprendimento attesi

Le lezioni, le esercitazioni e i laboratori informatici consentiranno allo studente, che avrà superato con successo l’esame, di conoscere e comprendere:

concetti di base del Calcolo Numerico con particolare riguardo ai metodi di soluzione di sistemi lineari ed equazioni e sistemi non lineari, calcolo di autovalori, all’approssimazione di funzioni, dati ed integrali;

- le principali proprietà e la buona posizione del problema di Cauchy per le equazioni differenziali ordinarie e dei problemi al contorno per le equazioni di Laplace, di Poisson e di diffusione;

- metodi di soluzione di equazioni differenziali ordinarie con la trasformata di Laplace e di equazioni alle derivate parziali con il metodo di separazione delle variabili;

- la formulazione variazionale di problemi ai limiti di tipo ellittico e parabolico;

­ metodi numerici e algoritmi per l’approssimazione delle equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali, in particolare il metodo degli Elementi Finiti;

le proprietà teoriche e le condizioni di applicabilità dei metodi analitici e numerici considerati;

- l’utilizzo del software MATLAB per l’implementazione di script e funzioni che implementano i metodi numerici considerati;

e inoltre di utilizzare le conoscenze acquisite per:

l’implementazione di algoritmi numerici per la soluzione di problemi di interesse ingegneristico che richiedono la soluzione di sistemi lineari e non lineari, l’approssimazione di autovalori, l’approssimazione e l’interpolazione di dati e funzioni, l’integrazione numerica;

la soluzione di problemi matematici formulati in termini di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali mediante opportuni metodi analitici e numerici;

­ il ragionamento critico e l’interpretazione dei risultati ottenuti;

-­ la scelta del metodo analitico o numerico più adeguato alla soluzione di un’ampia classe di problemi matematici di interesse applicativo;

­ la modellazione e simulazione numerica di problemi dell’Ingegneria Meccanica.

Lo studente dovrà mostrare una comprensione approfondita e critica dei contenuti che non si limiti quindi all’esposizione di definizioni e risultati. Inoltre, dovrà essere in grado di risolvere gli esercizi con un approccio rigoroso, logico e coerente con la teoria.


Argomenti trattati

1: Fondamenti di calcolo numerico: Concetti di base del calcolo numerico: cenni all’aritmetica floating-point. Metodi numerici in algebra lineare: metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari (metodo di eliminazione di Gauss, fattorizzazione LU, pivoting, algoritmo di Thomas, stabilità e accuratezza della soluzione); metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari (metodi di Richardson, gradiente e gradiente coniugato, metodi precondizionati, accuratezza, condizioni per la convergenza e criteri d’arresto); metodi per l’approssimazione degli autovalori (metodi delle potenze e potenze inverse con shift). Metodi numerici per equazioni non lineari: il metodo della bisezione, il metodo di punto fisso, il metodo di Newton, il metodo di Newton modificato e loro proprietà; il caso vettoriale. Metodi numerici per l’interpolazione di dati e funzioni: interpolazione polinomiale, semplice e composita e le spline cubiche, approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Metodi per l'integrazione numerica: formule composite del punto medio, del trapezio e di Simpson, formule di quadratura Gaussiane, grado di esattezza e ordine di convergenza delle formule di quadratura.

2: Problemi differenziali di tipo ellittico. Studio dell’equazione di Laplace e di Poisson: problemi ben posti, condizioni al bordo di Dirichlet, Neumann e Robin, esistenza e unicità della soluzione, principio del massimo, separazione delle variabili per soluzioni su rettangoli e dischi. Cenni di Analisi Funzionale. Formulazione variazionale. Lemma di Lax Milgram. Risoluzione numerica del problema di Poisson tramite il metodo di Galerkin, proprietà di consistenza, stabilità e convergenza. Spazi discreti agli Elementi Finiti, proprietà del metodo degli Elementi Finiti, stime dell’errore e accuratezza. Formulazione algebrica del metodo degli Elementi Finiti per problemi di diffusione-trasporto-reazione, ruolo e trattamento delle condizioni al bordo. Esempi applicativi rilevanti per l'Ingegneria Meccanica.

3: Equazioni evolutive. Il teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali ordinarie, problema di Cauchy e sue proprietà. Trasformata di Laplace e applicazioni alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie. Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie: metodi ad un passo per equazioni del prim'ordine (metodi di Eulero, Crank-Nicolson e Heun), metodi di Runge-Kutta. Consistenza, zero-stabilità, convergenza, assoluta stabilità. Estensione ai sistemi. Metodi numerici per equazioni differenziali del second’ordine (metodo di Leap-Frog). L'equazione del calore: soluzione fondamentale, principio del massimo, esistenza ed unicità per problemi di Cauchy-Dirichlet/Cauchy-Neumann, metodo dell'energia, separazione di variabili, richiami sulla serie di Fourier. Risoluzione con il metodo degli elementi finiti e theta-metodo, proprietà di convergenza e stabilità. Equazione delle onde: cenni. Esempi applicativi rilevanti per l'Ingegneria Meccanica.


Prerequisiti

Sono richieste conoscenze di Analisi Matematica, Algebra Lineare e Geometria, come previsto dai programmi degli insegnamenti di Analisi e Geometria, 1 e 2.


Modalità di valutazione

Il corso è organizzato in lezioni, oltre a esercitazioni e laboratori informatici svolti congiuntamente. Nei laboratori informatici verranno implementati i metodi visti a lezione con l’utilizzo del software MATLAB, per fornire un riscontro pratico alle conoscenze teoriche.

L'esame del corso si compone di:

(a) due prove scritte in itinere oppure di un'unica prova scritta da sostenersi durante uno dei quattro appelli d’esame secondo calendario della Facoltà. Le due prove in itinere verteranno rispettivamente sulla prima e sulla seconda  metà del programma. L'accesso alla seconda prova in itinere è subordinato all'esito sufficiente della prima prova (votazione maggiore o uguale a 18/30). Le due prove scritte in itinere concorrono in egual misura al voto finale. Il voto finale, solo nel caso in cui anche la seconda prova risultasse sufficiente, sarà ottenuto dalla media aritmetica dei voti delle due prove in itinere; in caso contrario, dovrà essere sostenuta la prova scritta unica durante uno degli appelli d’esame. Non sono previsti recuperi parziali delle prove in itinere.

La prova scritta unica è superata con votazione  sufficiente (maggiore o uguale a 18/30).

(b) una prova orale, obbligatoria su richiesta da parte del Docente oppure facoltativa da parte dello Studente, previo superamento della prova/e scritte con votazione sufficiente.

Nelle prove scritte d’esame sarà richiesto:

    • di rispondere a quesiti di natura teorica sugli argomenti trattati durante il corso, che possono vertere sull’enunciato e/o la dimostrazione di risultati teorici rilevanti;  la giustificazione teorica di metodi risolutivi analitici; la definizione precisa di concetti quali la convergenza, la consistenza, il grado di esattezza di un metodo numerico; la deduzione di un metodo numerico.
    • di applicare risultati i teorici trattati nel corso per la soluzione analitica di esercizi con particolare riguardo all’uso della trasformata di Laplace per la soluzione di equazioni differenziali ordinarie; all’applicazione del metodo di separazione delle variabili per la soluzione di problemi al contorno per le equazioni di Laplace e di diffusione; alla formulazione variazionale di problemi ai limiti 1D.
    • di utilizzare MATLAB e di implementare script MATLAB per la soluzione di problemi numerici, tra cui sistemi lineari, sistemi ed equazioni non lineari, calcolo autovalori, interpolazione di dati e funzioni, integrazione numerica, approssimazione di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali.

La valutazione delle prove tiene conto della correttezza e precisione delle risposte fornite, della capacità di ragionamento critico in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli giustificando i procedimenti seguiti, dell’abilità di implementazione in MATLAB degli algoritmi e della capacità di utilizzare MATLAB per risolvere problemi matematici e dell’Ingegneria. Ci si attende inoltre un’adeguta correttezza nei calcoli ed un’esposizione ben argomentata della teoria.

La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello in cui è conseguita la valutazione della prova scritta in data da concordare con il docente. La prova orale concorre alla formazione della valutazione finale incrementando, diminuendo, o confermando la valutazione della prova scritta senza limite di incremento o diminuzione di tale valutazione.


Bibliografia
Risorsa bibliografica obbligatoriaQuarteroni, Alfio, Saleri, Fausto, Gervasio, Paola,, Calcolo Scientifico Springer, Editore: Springer, Anno edizione: 2017, ISBN: 978-88-470-3953-7
Risorsa bibliografica obbligatoriaSalsa, S., Vegni, F., Zaretti, A., Zunino, P., Invito alle equazioni alle derivate parziali. Metodi, modelli e simulazioni, Editore: Springer, Anno edizione: 2009, ISBN: 978-88-470-1180-9
Risorsa bibliografica obbligatoriaQuarteroni, A., Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Editore: Springer-Verlag, Anno edizione: 2016, ISBN: 978-88-470-5780-7

Software utilizzato
Nessun software richiesto

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
56:00
84:00
Esercitazione
14:00
21:00
Laboratorio Informatico
20:00
30:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 90:00 135:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di materiale didattico/slides in lingua inglese
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese
Possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese
Disponibilità di supporto didattico in lingua inglese
schedaincarico v. 1.6.9 / 1.6.9
Area Servizi ICT
04/12/2021