La conoscenza di metodologie numeriche di base è un elemento importante della formazione dell'Ingegnere. In questo corso ci si propone di fornire agli studenti sia competenze sulle metodologie numeriche più comunemente utilizzate, sia esempi della loro implementazione nel linguaggio MATLAB. 

L’insegnamento prevede sia una versione da 8 cfu, che una versione da 6 cfu, con programma ridotto. La presente scheda definisce obiettivi, programmi e risultati di apprendimento attesi per entrambe. 

Le lezioni permetteranno allo studente di:

• Conoscere le principali tecniche numeriche rilevanti nell'ambito dell'Ingegneria;
• Conoscere le loro proprietà e possibili ambiti di applicazione;
• Apprendere le loro caratteristiche in termini di accuratezza e costo computazionale.

Attraverso le attività di  esercitazione lo studente:

• Impratichisce l'uso delle metodologie illustrate a lezione utilizzando l'ambiente di programmazione MATLAB;
• Rafforza i concetti appresi a lezione tramite sperimentazioni numeriche;
• Verifica attraverso l'analisi dei risultati ottenuti le proprietà dei metodi illustrati a lezione;
• Approfondisce l'uso del linguaggio MATLAB, utilizzato in molte aziende di Ingegneria. 

Tutti i codici software utilizzati durante le esercitazioni vengono messi a disposizione sul portale dei corsi online del Politecnico di Milano e sono compatibili anche con il software open-source OCTAVE, permettendono quindi il più ampio utilizzo per l'approfondimento autonomo da parte dello studente. 

Le parti del programma omesse per la versione da 6 crediti sono indicate da asterischi.

1. Introduzione ai concetti di base del calcolo numerico: Approssimazione,  errore relativo, condizionamento di un problema numerico. Richiami di analisi matematica:  teorema del punto medio di Lagrange, formula di Taylor in una e piu' variabili, ordini di infinitesimo.

2. Rappresentazione floating point dei numeri reali:  Zero macchina, cancellazione di cifre significative, esempi.

3. Approssimazione di dati e funzioni: Interpolazione polinomiale: esistenza ed unicita' del polinomio interpolatore. Stima dell' errore di approssimazione.Interpolazione polinomiale composita. Spline cubiche. Apprissimazione ai minimi quadrati e regressione lineare.

4. Metodi per la soluzione di equazioni nonlineari: Metodo di  bisezione e sue proprietà di convergenza. Metodo di punto fisso. Proprietà di convergenza locale e globale per il metodo di punto fisso. Metodo di Newton e varianti (corde, secanti). Proprietà di convergenza locale per il metodo di Newton. Accelerazione di Aitken.

5. Sistemi nonlineari: metodi di punto fisso, Newton e quasi-Newton.

6. Approssimazione delle derivate con differenze finite: Differenze finite in avanti, all'indietro, centrate per approssimare la derivata prima. Approssimazione di derivate seconde. Ordine di convergenza delle approssimazioni introdotte e sua stima empirica. Impatto degli errori di arrotondamento.

7. Formule di integrazione numerica:Struttura generale delle formule di quadratura numerica. Formule del punto medio, dei trapezi,  di Cavalieri-Simpson.  Formule di integrazione gaussiana. Formule di integrazione composita: ordine di convergenza e stima dell'errore. Cenni ai metodi adattivi.

8. Metodi numerici per sistemi lineari:  Richiami di algebra lineare. Sistemi triangolari, fattorizzazione LU ed eliminazione Gaussiana, tecnica del pivoting.  Decomposizione QR e SVD. Indice di condizionamento. Cenni ai metodi iterativii.

9. Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie: Richiami sulla teoria delle equazioni differenziali ordinarie.  Esempi di metodi numerici per ODE: Eulero in avanti, Heun, Eulero all'indietro, Crank Nicolson. Consistenza, convergenza e zero-stabilita'. Convergenza di metodi numerici a un passo. Assoluta stabilita'. Metodi di ordine piu' elevato: Adams-Bashforth, Runge-Kutta espliciti, BDF.  Estensione dei metodi a  sistemi di ODE. Problemi stiff.

10(*). Introduzione a metodi per equazioni alle derivate parziali: Metodi alle differenze finite per l'equazione di avvezione e diffusione.

11(*). Ottimizzazione numerica: metodi di Newton e di Broyden. Cenni a metodi derivate free.

12(*). Calcolo numerico di serie di Fourier: Richiami sulle serie di Fourier. Serie di Fourier discrete. Trasformata di Fourier rapida (FFT) e sue applicazioni.

Tutto il materiale del corso (esercizi, appunti del docente, testi e  risultati di esame) sara' reso disponibile  attraverso attraverso il portale dei corsi on line del Politecnico di Milano.

Lo studente deve essere a conoscenza degli elementi di base di Analisi Matematica, Calcolo Differenziale e Algebra lineare. In particolare: limiti, continuità, derivazione e integrazione di funzioni a una e più variabili, serie di Taylor, serie di Fourier, spazi lineari e loro proprietà, concetto di matrice e vettore di Rn, autovalori e autovettori, sistemi di equazioni lineari, equazioni differenziali ordinarie. 

L'esame si articola in una unica prova scritta. La prova scritta consiste in alcuni esercizi da risolvere con MATLAB e in domande teoriche a risposta libera relative agli argomenti del corso. L'obiettivo è sia valutare il livello di apprendimento delle metodologie oggetto del corso atteaverso domande di contenuto teprico, sia la capacità dello studente di applicarle in pratica attraverso la scrittura o modifica di semplici codici MATLAB. 

Disponibile anche come e-book

Per eventuali approfondimenti