• 052405 - EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI

Dopo il superamento dell'esame di equazioni differenziali alle derivate parziali, lo studente dovrebbe:

-conoscere i fondamenti della teoria delle serie di funzioni e le saperli applicare alla soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali

-riconoscere i principali tipi di equazioni differenziali alle derivate parziali e conoscere le tecniche risolutive per risolvere problemi di carattere geometrico o fisico

- conoscere le principali strutture dell'Analisi Funzionale e sapere inserire in tale contesto moderno le problematiche sopra citate.

Successioni e serie di funzioni:

• (*) Serie di Fourier: criteri di convergenza puntuale, uniforme e in media quadratica. Uguaglianza di Parseval.

(*) Analisi funzionale:

• Spazi metrici, normati. Completezza, spazi di Banach.
• Teorema delle contrazioni e sue applicazioni.
• Integrale di Lebesgue, spazi di Sobolev (cenno)
• Prodotto scalare, spazi di Hilbert, sviluppi di Fourier generalizzati (uguaglianza di Parseval).

 (*) Equazioni alle derivate parziali:

• Equazioni del primo ordine, caratteristiche.
• Classificazione delle equazioni e dei sistemi del secondo ordine; caratteristiche. Equazione del calore, delle onde e di Laplace. Funzioni analitiche e funzioni armoniche. Teorema della media e principio del massimo per equazioni ellittiche e paraboliche. Dominio di dipendenza per problemi di evoluzione. Regolarità delle soluzioni.
• Buona posizione di un problema. Problemi per equazioni differenziali alle derivate parziali dei vari tipi: di Cauchy, Darboux, Goursat, Dirichlet, Neumann, e problemi misti.
• Generalizzazioni (cenni): concetto di soluzione debole, principio di Dirichlet.

La matematica di base e i contenuti degli insegnamenti di Analisi Matematica 1 e Geometria, di Analisi Matematica 2 e di Equazioni Differenziali Ordinarie

a. Non si terranno prove di valutazione in itinere.

b. L’iscrizione ufficiale è tassativa e inderogabile.

c. La prova sarà costituita da due parti (scritto e orale), da sostenersi senza eccezioni nel medesimo appello.

Nella prova scritta si verificherà la capacità dello studente di risolvere correttamente alcuni problemi inerenti al programma svolto, giustificando i procedimenti seguiti.

Nella prova orale si discuteranno gli esiti della prova scritta e si faranno domande sugli argomenti del programma svolto durante le lezioni frontali.

Saranno oggetto di valutazione non soltanto l’esattezza del risultato e la correttezza della esposizione, ma anche la padronanza degli argomenti, comprese le applicazioni e i legami con altre discipline, nonché la chiarezza, l’ordine e la proprietà del linguaggio.

Il docente si attende quindi una comprensione non limitata alla enunciazione di definizioni e di risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica e in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti. Si attende inoltre una adeguata correttezza nei calcoli e una esposizione ben argomentata della teoria.

d. Gli studenti non potranno portare alla prova scritta libri, appunti, calcolatrici simboliche e apparati atti all’accesso alla rete.

e. Gli studenti che si considerano non lontani dalla sufficienza nella prova scritta, sulla base delle soluzioni e della griglia di valutazione fornite, potranno iscriversi alla corrispondente prova orale con le modalità e per la o le date che verranno indicate durante la prova scritta.

f. Sarà comunque possibile prendere visione, negli orari di ricevimento o in altri orari appositamente dedicati, della prova sostenuta con esito negativo.

g. In difetto di precedenze obbligatorie, sarà consentito partecipare alla prova scritta, ma non si potrà sostenere quella orale se non sarà stato assolto l’obbligo di precedenza.

Disponibili sul sito BeeP

Disponibili sulla pagina docente