• 052404 - EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

• MOOC

Le equazioni differenziali ordinarie costituiscono lo strumento principe per descrivere sistemi fisici, economici...del mondo reale.

L'obiettivo dell'insegnamento è quello di introdurre tecniche di calcolo, in modo teoricamente fondato e aperto per la risoluzione di equazioni differenziali con riferimento alle possibili applicazioni.

Dopo il superamento dell'esame di equazioni differenziali, lo studente dovrebbe:

- conoscere i fondamenti della teoria delle serie di funzioni , di potenze e delle serie di Fourier

- riconoscere i principali tipi di equazioni differenziali ordinarie e conoscere le tecniche risolutive per risolvere problemi di carattere geometrico o fisico

- saper risolvere sistemi lineari di ordine n di equazioni differenziali

Successioni e serie di funzioni:

• Convergenza puntuale e uniforme, convergenza integrale, convergenza in media quadratica. Criteri di convergenza (Cauchy e Weierstrass).
• Teoremi di passaggio al limite, derivazione e integrazione per serie e per successioni.
• Cenno alle funzioni analitiche: condizioni di Cauchy – Riemann.
• Serie di potenze (serie di Taylor) nel campo reale e complesso: raggio e cerchio di convergenza: teoremi e criteri relativi. Teorema di Abel. Analiticità della somma di una serie di potenze.
• Serie e funzione esponenziale nel campo complesso: formula di Eulero. Le funzioni e le serie trigonometriche, logaritmica, dell’arcotangente e binomiale.
•  Serie di Fourier in forma trigonometrica ed esponenziale; criteri di convergenza puntuale, uniforme e in media quadratica. Uguaglianza di Parseval.

Equazioni differenziali ordinarie:

• Problema di Cauchy, esistenza di soluzioni locali e globali, dipendenza continua dai dati. Integrali particolari e di frontiera. Studio qualitativo di equazioni differenziali.
• Equazioni risolubili mediante quadrature (a variabili separabili, lineari, di Bernoulli, omogenee, esatte; equazioni del secondo ordine, integrali primi)
• Equazioni e sistemi lineari, principio di sovrapposizione, matrice wronskiana, teorema di Jacobi. Integrale generale di un sistema completo; metodo di variazione delle costanti. Il caso dei sistemi e delle equazioni a coefficienti costanti. Esponenziale di una matrice.
• Problemi ai limiti, autovalori e autosoluzioni per equazioni differenziali lineari.
• Cenni alle equazioni in forma non normale, integrali singolari.

La matematica di base e i contenuti degli insegnamenti di Analisi Matematica 1 e Geometria e di Analisi Matematica 2

1. La valutazione è finalizzata alla verifica dell'acquisizione delle competenze attese.
2. Non si terranno prove di valutazione in itinere.
3. L’iscrizione ufficiale è tassativa e inderogabile.
4. La prova sarà costituita da due parti (scritto e orale), da sostenersi senza eccezioni nel medesimo appello.
5. Gli studenti non potranno portare alla prova scritta libri, appunti, calcolatrici simboliche e apparati atti all’accesso alla rete.
6. Gli studenti che si considerano non lontani dalla sufficienza nella prova scritta ( sulla base delle soluzioni e della griglia di valutazione che saranno fornite) potranno iscriversi alla corrispondente prova orale con le modalità e per la o le date che verranno indicate durante la prova scritta.
7. Sarà comunque possibile prendere visione, negli orari di ricevimento o in altri orari appositamente dedicati, della prova sostenuta con esito negativo.
8. In difetto di precedenze obbligatorie, sarà consentito partecipare alla prova scritta, ma non si potrà sostenere quella orale se non sarà stato assolto l’obbligo di precedenza.
9. Saranno oggetto di valutazione non soltanto l’esattezza del risultato e la correttezza della esposizione, ma anche la padronanza degli argomenti, comprese le applicazioni e i legami con altre discipline, nonché la chiarezza, l’ordine e la proprietà del linguaggio.

Disponibili sul sito https://beep.metid.polimi.it/

Disponibili sulla pagina docente