Mod. A

Successioni e serie di funzioni:

• Convergenza puntuale e uniforme, convergenza integrale, convergenza in media quadratica. Criteri di convergenza (Cauchy e Weierstrass).
• Teoremi di passaggio al limite, derivazione e integrazione per serie e per successioni.
• Cenno alle funzioni analitiche: condizioni di Cauchy – Riemann.
• Serie di potenze (serie di Taylor) nel campo reale e complesso: raggio e cerchio di convergenza: teoremi e criteri relativi. Teorema di Abel. Analiticità della somma di una serie di potenze.
• Serie e funzione esponenziale nel campo complesso: formula di Eulero. Le funzioni e le serie trigonometriche, logaritmica, dell’arcotangente e binomiale.
• (*) Serie di Fourier in forma trigonometrica ed esponenziale; criteri di convergenza puntuale, uniforme e in media quadratica. Uguaglianza di Parseval.

Equazioni differenziali ordinarie:

• Problema di Cauchy, esistenza di soluzioni locali e globali, dipendenza continua dai dati. Integrali particolari e di frontiera. Studio qualitativo di equazioni differenziali.
• Equazioni risolubili mediante quadrature (a variabili separabili, lineari, di Bernoulli, omogenee, esatte; equazioni del secondo ordine, integrali primi)
• Equazioni e sistemi lineari, principio di sovrapposizione, matrice wronskiana, teorema di Jacobi. Integrale generale di un sistema completo; metodo di variazione delle costanti. Il caso dei sistemi e delle equazioni a coefficienti costanti. Esponenziale di una matrice.
• Problemi ai limiti, autovalori e autosoluzioni per equazioni differenziali lineari.
• Cenni alle equazioni in forma non normale, integrali singolari.

Mod. B:

(*)Analisi funzionale:

• Spazi metrici, normati. Completezza, spazi di Banach.
• Teorema delle contrazioni e sue applicazioni.
• Integrale di Lebesgue, spazi di Sobolev (cenno)
• Prodotto scalare, spazi di Hilbert, sviluppi di Fourier generalizzati (uguaglianza di Parseval).

 (*) Equazioni alle derivate parziali:

• Equazioni del primo ordine, caratteristiche.
• Classificazione delle equazioni e dei sistemi del secondo ordine; caratteristiche. Equazione del calore, delle onde e di Laplace. Funzioni analitiche e funzioni armoniche. Teorema della media e principio del massimo per equazioni ellittiche e paraboliche. Dominio di dipendenza per problemi di evoluzione. Regolarità delle soluzioni.
• Buona posizione di un problema. Problemi per equazioni differenziali alle derivate parziali dei vari tipi: di Cauchy, Darboux, Goursat, Dirichlet, Neumann, e problemi misti.
• Generalizzazioni (cenni): concetto di soluzione debole, principio di Dirichlet.

a.      Non si terranno prove di valutazione in itinere.

b.      L’iscrizione ufficiale è tassativa e inderogabile.

c.      La prova sarà costituita da due parti (scritto e orale), da sostenersi senza eccezioni nel medesimo appello.

        Nella prova scritta si verificherà la capacità dello studente di risolvere correttamente alcuni problemi inerenti al programma svolto, giustificando i     procedimenti seguiti.

        Nella prova orale si discuteranno gli esiti della prova scritta e si faranno domande sugli argomenti del programma svolto durante le lezioni frontali.

Saranno oggetto di valutazione non soltanto l’esattezza del risultato e la correttezza della esposizione, ma anche la padronanza degli argomenti, comprese le applicazioni e i legami con altre discipline, nonché la chiarezza, l’ordine e la proprietà del linguaggio.

Il docente si attende quindi una comprensione non limitata alla enunciazione di definizioni e di risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica e in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti. Si attende inoltre una adeguata correttezza nei calcoli e una esposizione ben argomentata della teoria.

d.      Gli studenti non potranno portare alla prova scritta libri, appunti, calcolatrici simboliche e apparati atti all’accesso alla rete.

e.      Gli studenti che si considerano non lontani dalla sufficienza nella prova scritta, sulla base delle soluzioni e della griglia di valutazione fornite, potranno iscriversi alla corrispondente prova orale con le modalità e per la o le date che verranno indicate durante la prova scritta.

f.       Sarà comunque possibile prendere visione, negli orari di ricevimento o in altri orari appositamente dedicati, della prova sostenuta con esito negativo.

g.      In difetto di precedenze obbligatorie, sarà consentito partecipare alla prova scritta, ma non si potrà sostenere quella orale se non sarà stato assolto l’obbligo di precedenza.