L'insegnamento si propone di fornire allo studente la conoscenza degli elementi fondamentali della geometria differenziale, con particolare riferimento alla geometria delle sottovarietà dello spazio euclideo, e ai concetti di base della geometria Riemanniana. Molta attenzione sarà dedicata al problema della definizione di operatori differenziali che siano indipendenti dalla scelta di coordinate locali, e alla distinzione tra le proprietà intrinseche di una varietà Riemanniana rispetto a quelle estrinseche, cioè legate a una particolare immersione della varietà in uno spazio ambiente.  Gli argomenti trattati saranno le curve e le superfici differenziabili; le varietà differenziabili e le loro strutture metriche; i tensori,  le forme differenziali e gli operatori differenziali su una varietà; le geodetiche su una varietà Riemanniana, il tensore di curvatura, il teorema Egregium e e, tempo permettendo, i teoremi di Stokes e di Gauss-Bonnet. Ulteriori argomenti potranno essere trattati a seconda degli interessi degli studenti. È prevista un'attività di laboratorio informatico nel quale verranno discusse idee e studiati strumenti di geometria differenziale discreta nel caso di curve e superfici nello spazio tridimensionale reale (anche con l’aiuto di software dedicato). 

A seguito del superamento dell'esame, lo studente conoscerà gli elementi fondamentali della geometria differenziale di curve e superfici nello spazio e di varietà Riemanniane. In particolare sarà in grado di definire e calcolare la curvatura e la torsione di una curva liscia nello spazio; le curvature principali, la prima e la seconda forma fondamentale, la curvatura Gaussiana e la curvatura media di una superficie immersa; conoscerà i simboli di Christoffel e sarà in grado di dimostrare il teorema Egregium; saprà definire e calcolare il differenziale di una mappa tra varietà astratte; saprà discutere il concetto di derivata covariante su una varietà Riemanniana; saprà scrivere le equazioni delle geodetiche e le saprà determinare in alcuni esempi fondamentali quali la sfera e il piano iperbolico. Conoscerà i rudimenti della teoria delle forme differenziali e le saprà applicare alla definizione dell'integrale su varietà Riemanniane e alla dimostrazione del teorema locale di Gauss-Bonnet. Infine saprà definire su una varietà Riemanniana, in forma invariante operatori differenziali quali il gradiente, la divergenza e il laplaciano, e li saprà calcolare in coordinate locali in dipendenza dal tensore metrico. Lo studente sarà in grado di applicare idee e strumenti di geometria differenziale discreta a problemi concernenti curve e superfici nello spazio tridimensionale reale (anche con l’aiuto di software dedicato). 

1) Richiami di algebra lineare e multilineare Basi e applicazioni lineari. Spazio duale. Funzioni multilineari e tensori. Prodotti scalari, lunghezze e angoli. Operatori diesis e bemolle. Algebra esterna.

2) Varietà differenziabili, fibrato tangente e differenziale di funzioni tra varietà. Varietà topologiche. Esempi: superfici compatte, sfere nello spazio euclideo. Varietà differenziabili. Vettori tangenti e fibrato tangente. Funzioni differenziabili tra varietà e loro differenziale. Spazio cotangente. Immersioni locali. Teorema del valore regolare. Esempi: curve e superfici nello spazio tridimensionale, sottovarietà definite da equazioni cartesiane. Esempi: spazi proiettivi reali; gruppo delle rotazioni.

 3) Curve nello spazio euclideo Lunghezza. Parametro arco. Versore tangente e orientazione. Curve biregolari: normale principale e binormale. Curvatura e torsione. Formule di Frenet. Forma canonica locale. Piano osculatore.  Cerchio osculatore e raggio di curvatura. Cenno al teorema fondamentale della teoria locale delle curve.

4) Metriche Riemanniane e la prima forma fondamentale. Campi vettoriali. Varietà Riemanniane. Esempi: R^n, metrica indotta su una sottovarietà, superfici in R^3, lo spazio iperbolico n-dimensionale, il toro piatto.  Metriche in coordinate polari.

5)  Forme differenziali e integrazione su una varietà orientabile. Derivata esterna e pull back di forme differenziali. Varietà orientabili. Forma di volume su una varietà Riemanniana orientabile. Integrazione di forme differenziali. Integrazione di una funzione su una varietà Riemanniana. Teorema di Stokes. Divergenza di un campo vettoriale e teorema della divergenza su una varietà Riemanniana. Tempo permettendo: l’operatore * di Hodge.

6) La connessione di Levi Civita. Il problema della non intrinsicità delle derivate seconde. Connessioni affini su una varietà differenziabile. Derivata tangenziale su una sottovarietà di R^n è intrinseca: simboli di Christoffel e loro espressione in termini della prima forma fondamentale. Connessione di Levi Civita su una varietà Riemanniana.  

7) Trasporto parallelo e geodetiche. La mappa esponenziale e le coordinate normali. Trasporto parallelo lungo una curva. Geodetiche. Equazione delle geodetiche in coordinate. Esistenza e unicità di una geodetica con posizione e velocità iniziali assegnate. Caso delle sottovarietà riemanniane. Esempi: geodetiche dello spazio euclideo, delle sfere e dello spazio iperbolico. Coordinate normali di Riemann e la mappa esponenziale. Esistenza e unicità dei segmenti di geodetica di lunghezza sufficientemente piccola. Lemma di Gauss: geodetiche radiali sono ortogonali alle sfere geodetiche. Proprietà di minimo delle geodetiche. Distanza Riemanniana e varietà complete: cenno al teorema di Hopf-Rinow.

 8) La seconda forma fondamentale, il tensore di curvatura di Riemann e il teorema Egregium Seconda forma fondamentale di una ipersuperficie orientata in R^n. Mappa di Gauss e suo differenziale, mappa di Weingarten. Curvatura normale di una ipersuperficie: teoremi di Meusniers e di Eulero (curvature principali). Curvatura Gaussiana di una superficie in R^3 e, tempo permettendo, cenno a curvatura media, variazione dell'area e superfici minime.   Il tensore di curvatura di Riemann. Simmetrie del tensore di Riemann. Curvatura sezionale. L’equazione di Gauss per una ipersuperficie. Il teorema Egregium di Gauss.

9) Varietà Riemanniane a curvatura sezionale costante. Campi di Jacobi e variazione delle geodetiche. Una varietà Riemanniana a curvatura sezionale costante è localmente isometrica a uno dei tre modelli: spazio euclideo, sfera o spazio iperbolico.

10) Il teorema di Gauss-Bonnet La formula locale di Gauss Bonnet. Curvatura geodetica, caratteristica di Eulero e il teorema globale di Gauss-Bonnet.

Attività di Laboratorio: Introduzione alla geometria differenziale discreta. Paradigma di traduzione di concetti di geometria differenziale in un linguaggio adatto al calcolo computerizzato. Simplessi e complessi simpliciali orientati. Forme differenziali e calcolo esterno discreto. Curve e superfici discrete nello spazio euclideo. Operatore di Laplace-Beltrami discreto. 

Nota il programma è sovrabbondante e non sarà possibile trattare in dettaglio tutti gli argomenti elencati;  gli argomenti qui elencati potranno essere integrati o in parte sostituiti da altri argomenti di geometria differenziale e di topologia a seconda degli interessi degli studenti iscritti al corso.

Per seguire con profitto l'insegnamento lo studente dovrà avere una buona conoscenza degli argomenti trattati in Analisi Matematica 1 e 2 e in Algebra Lineare e Geometria.

L’esame consiste di un'interrogazione orale il cui scopo sarà di verificare che lo studente conosca gli elementi fondamentali della geometria differenziale di curve e superfici nello spazio e di varietà Riemanniane dettagliati nei Risultati di apprendimento appresi, e di una discussione di problemi assegnati durante l’attività di laboratorio.