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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2019/2020
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 099299 - ANALISI MATEMATICA III
Docente Fragalà Ilaria Maria Rita
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (366) INGEGNERIA FISICA*AZZZZ099299 - ANALISI MATEMATICA III
085909 - METODI ANALITICI E STATISTICI PER L'INGEGNERIA FISICA [C.I.]
085925 - ANALISI MATEMATICA III
085909 - METODI ANALITICI E STATISTICI PER L'INGEGNERIA FISICA [C.I.]

Obiettivi dell'insegnamento

L'insegnamento di Analisi Matematica III ha lo scopo di fornire allo studente delle solide basi in alcuni argomenti di particolare rilievo nell' Analisi Matematica avanzata (quali elementi di analisi complessa, elementi di analisi funzionale, principali risultati su serie e trasformate di Fourier), e di descrivere alcune loro applicazioni (principalmente alle equazioni differenziali). Oltre al suo intrinseco apporto culturale, l'insegnamento ha una valenza strumentale, in quanto molti dei concetti appresi verranno utilizzati nell'ambito di successivi insegnamenti di natura ingegneristica del corso di studi. 

 

 

 


Risultati di apprendimento attesi

DD1 Conoscenza e comprensione - DD3 Autonomia di giudizio:

Lo studente dovrà conoscere e comprendere in modo approfondito

- i principali risultati riguardanti la teoria delle funzioni di una variabile complessa;

- i principali elementi di teoria riguardanti gli spazi di Banach e Hilbert e, come principali esempi di spazi funzionali, gli spazi di Lebesgue e di Sobolev; preliminarmente a questi ultimi, lo studente dovrà conoscere la teoria dell'integrazione secondo Lebesgue e gli elementi fondamentali della teoria delle distribuzioni.

- i fondamenti della teoria di Fourier per quanto riguarda serie e trasformata, sviluppati  in diversi contesti utlilizzando le competenze teoriche che avrà acquisito in analisi funzionale; in particolare, dovrà conoscere le serie di Fourier in spazi di Hilbert astratti, e la trasformata di Fourier in L1, in L2 e nello spazio delle distribuzioni temperate.

DD2 Capacita' di applicare conoscenza e comprensione - DD3 Autonomia di giudizio: 

Lo studente dovrà essere in grado di applicare le sue conoscenze a problemi differenziali, quali: risoluzione di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali tramite trasformata di Fourier, formulazione variazionale di problemi al contorno e relativa buona positura tramite il teorema di Lax-Milgram, risoluzione di problemi di Cauchy per equazioni di tipo calore o onde.


Argomenti trattati

I. Elementi di analisi complessa: Funzioni di variabile complessa. Funzioni elementari. Limiti in campo complesso. Differenziabilità in senso complesso. Condizioni di Cauchy-Riemann. Invertibilità locale. Primitive e integrazione su cammini per funzioni di variabile complessa. Teoremi di Cauchy e di Morera. Serie di potenze in campo complesso. Formula di Cauchy. Analiticità delle funzioni olomorfe. Singolarità isolate e loro classificazione. Sviluppi in serie di Laurent. Principio di identità. Ordine di zeri e poli. Teorema dei residui e sue applicazioni al calcolo di integrali reali e complessi. 

II. Elementi di analisi funzionale: Spazi normati, norme equivalenti, spazi di Banach, spazi Ck. Misura e integrazione secondo Lebesgue. Confronto con l'integrale secondo Riemann. Teoremi di passaggio al limite sotto integrale, e di scambio ordine di integrazione. Spazi Lp. Funzioni assolutamente continue. Convoluzione in spazi Lp. Funzioni regolari a supporto compatto, mollificatori e teorema di densità. Distribuzioni, spazi di Sobolev. Operatori lineari tra spazi vettoriali normati. Spazi di Hilbert: disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, identità del parallelogramma, teorema di proiezione su un convesso chiuso, teorema delle proiezioni, teorema di Riesz, teorema di Lax Milgram.

III. Serie e trasformata di Fourier: Sistemi ortonornali e serie di Fourier in spazi di Hilbert. Disuguaglianza di Bessel. Teorema di convergenza della serie di Fourier, e caratterizzazione dei sistemi ortonormali completi. Serie di Fourier in L2 (rispetto a polinomi trigonometrici e di Legendre).  Trasformata di Fourier in L1 : teorema di Riemann-Lebesgue, trasformate notevoli, principali regole di trasformazione, formula di inversione in L1. Lo spazio S delle funzioni a decrescenza rapida. Trasformata di Fourier in S e in L2.  Lo spazio S' delle distribuzioni temperate. Trasformata di Fourier in S'. 

IV. Equazioni differenziali: Formulazione variazionale di problemi ellittici; confronto tra soluzioni classiche e deboli per l'equazione di Poisson (con dato di Dirichlet o di Neumann). Esistenza di soluzioni deboli per l'equazione della membrana con dato di Dirichlet o di Neumann. Soluzione dei problemi di Dirichlet e di Neumann per l'equazione di Laplace sul cerchio tramite serie di Fourier. Soluzione dell'equazione del calore e delle onde tramite serie di Fourier. Soluzione fondamentale per l'equazione di Laplace. Formule di rappresentazione di Green per i problemi di Dirichlet e di Neumann

 

 


Prerequisiti

Sono richieste le conoscenze di base di Analisi Matematica facenti parte dei programmi degli insegnamenti di Analisi matematica 1 e Geometria e Analisi 2.

 


Modalità di valutazione

Appelli d'esame

Sono previsti gli appelli d'esame stabiliti dal calendario della Scuola.

Ogni appello d'esame sarà costituito da due parti (pratica e teorica). 

La parte pratica sarà costituita da alcune domande brevi, ed alcuni esercizi piu' lunghi in cui verrà richiesto anche di fornire lo svolgimento completo giustificando i passaggi effettuati. Questa parte della prova dovra' attestare in modo particolare che lo studente sia in grado di comprendere un problema assegnato, conoscere la teoria necessaria per risolverlo, operare dele scelte logiche e consapevoli, ed effettuare calcoli corretti. Il punteggio massimo assegnato alla parte pratica sara' di 24/30.

La parte teorica sarà costituita da alcune domande a risposta aperta, che possono riguardare definizioni, enunciati, dimostrazioni, esempi, controesempi, e piu' in generale qualsiasi aspetto teorico del corso. Questa parte della prova dovrà attestare in modo particolare che lo studente abbia acquisito in modo critico i contenuti del corso, e sia in grado di esporre in modo ben argomentato la teoria, con linguaggio e rigore adeguati, anche elaborando, qualora richiesto, dei collegamenti tra i vari argomenti del corso o con gli insegnamenti precedenti. Il punteggio massimo assegnato alla parte teorica sara' di 7/30.

Si intende che lo studente che avrà  ottenuto il punteggio massimo in parte pratica e teorica riporterà una valutazione di 30 e lode.

Pena esclusione, non sarà possibile portare alla prova scritta né libri né appunti, né calcolatrici; altre apparecchiature (cellulari ecc.) dovranno essere tenute spente. 

Sarà possibile prendere visione in appositi momenti del proprio elaborato corretto.

Prove in itinere

A metà corso e a fine corso verranno svolte due prove in itinere. 

Ciascuna prova in itinere sarà costituita da una parte pratica e una parte teorica, per le quali vale quanto sopra indicato per gli appelli d'esame.

Lo studente che non supera la prima prova avrà la possibilità di recuperare durante la seconda prova (ovvero durante la seconda prova potrà sostenere l'esame su tutto il programma del corso).

Lo studente che supera la prima prova ma non la seconda, all'appello successivo dovrà sostenere l'intero esame.

 


Bibliografia
Risorsa bibliografica facoltativaG. GILARDI, Analisi 3, Editore: McGraw-Hill
Note:

Disponibile solo come "acquisto online" sul sito http://www.mcgraw-hill.it/

Risorsa bibliografica facoltativaS. SALSA, Partial Differential Equations in Action, Editore: Springer Universitext
Risorsa bibliografica facoltativaM. BRAMANTI, Esercitazioni di Analisi 3, Editore: CUSL
Risorsa bibliografica facoltativaF. Gazzola, F. Tomarelli, M. Zanotti, Analisi complessa, trasformate, equazioni differenziali, elementi di teoria ed esercitazioni, Editore: Esculapio

Software utilizzato
Nessun software richiesto

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
60:00
90:00
Esercitazione
40:00
60:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 100:00 150:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese
schedaincarico v. 1.7.0 / 1.7.0
Area Servizi ICT
26/05/2022