L’insegnamento si inserisce all’interno del percorso degli studi perseguendo alcuni degli obiettivi generali di apprendimento dichiarati. In particolare, l’insegnamento contribuisce allo sviluppo delle capacità di:

• Progettare soluzioni applicando l’approccio scientifico ed ingegneristico (apprendimento, ragionamento e modellizzazione basati su una solida preparazione multidisciplinare) nell’affrontare problemi ed opportunità in ambito aziendale ed industriale

Infatti nelle applicazioni di varie discipline (ingegneria, fisica, economia, ecc.) si presentano spesso problemi che hanno caratteristiche e proprietà simili, tali da poter essere trattati con metodologie generali di analisi matematica, analisi funzionale e fisica matematica. L'obiettivo è allora quello di fornire all'allievo tecniche adeguate alla modellizzazione e ad un approccio scientifico alla risoluzione di tali problemi. In particolare:

1. vengono sviluppati "metodi variazionali" appropriati a studiare problemi di ottimizzazione in cui la quantità variabile è una funzione o una curva (ad es., la funzione potrebbe rappresentare l'evoluzione dello stato di un sistema dinamico a tempo continuo);
2. sono formulati e risolti modelli relativi a casi di studio concreti in cui si vedono applicate le tecniche di calcolo viste in a). I modelli discussi riguardano svariate discipline quali ingegneria (produzione, scorte, manutenzione,…), economia (compravendita, consumi,…) e fisica;
3. vengono presentati i metodi matematici classici della meccanica newtoniana, basati sull’uso di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali, e quelli della meccanica analitica, che presentano anche strette relazioni con le tecniche variazionali presentate nel punto a);
4. sono presentati modelli che fanno riferimento alla meccanica dei sistemi finito-dimensionali (con applicazioni ingegneristiche ai sistemi di corpi rigidi, sia in situazioni statiche che dinamiche) e alla meccanica dei sistemi infinito-dimensionali (con applicazioni specifiche al fluido perfetto e viscoso), e che vengono trattati con i metodi visti in c).

L’insegnamento è un corso integrato il cui primo modulo si occupa dei punti a)-b) e il secondo modulo dei punti c)-d).

1. Ottimizzazione in spazi funzionali.

• Problemi classici: geodetica sul piano, geodetica sulla sfera, geodetica sul cilindro, problema di Didone, superficie di rotazione di area minima, brachistocrona.
• Formulazione generale di un problema di ottimizzazione: funzionali e Lagrangiana; spazi normati e funzioni di confronto; variazioni ammissibili; estremanti globali ed estremanti locali (forti o deboli).
• Ottimizzazione libera. Formula di Taylor variazionale (al primo ordine) e variazione prima di un funzionale; estremali. Problemi fondamentali: prima e seconda equazione di Eulero-Lagrange; estremali regolari e spezzati (criterio di Hilbert; condizioni di Erdmann-Weierstrass). Funzionali convessi e criteri di convessità.
• Ottimizzazione vincolata (vincoli di disuguaglianza; vincoli isoperimetrici). Metodo del prolungamento. Metodo del moltiplicatore di Lagrange.
• Applicazioni (formulazione del modello e sua risoluzione): superficie di rotazione di area minima; brachistocrona; configurazione di equilibrio di un cavo sospeso; piano ottimale di produzione; migliore rotta di navigazione; programma ottimale di controllo guasti; piano ottimale dei consumi.

2. Controllo ottimo.

• Formulazione generale di un problema di controllo a tempo continuo: indice di costo o di rendimento, stati ed equazione di stato, controlli e controlli ammissibili; controllo ottimo.
• Problemi normali. Variabile aggiunta e problema aggiunto, Hamiltoniana; condizione di Pontryagin e controlli estremali. Criterio di convessità; criterio della funzione test. Principio di ottimalità.
• Applicazioni (formulazione del modello e sua risoluzione): programma ottimale di manutenzione; piano ottimale delle scorte; piano ottimale di compravendita.
• Controlli retroazionati ottimi: controlli ottimi e condizioni iniziali; l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
• Applicazioni (formulazione del modello e sua risoluzione): migliore rotta di navigazione; volo orizzontale di un razzo.

3. Il modello del corpo rigido.

• Sintesi e richiami sulle equazioni generali della meccanica nello schema newtoniano.
• Il modello del corpo rigido e la sua caratterizzazione cinematica.
• Modellizzazione dei vincoli di un sistema e loro caratterizzazione in termini cinematici e dinamici.
• Applicazione delle equazioni generali allo studio di sistemi piani di corpi rigidi in equilibrio e in moto.

4. Il modello del continuo deformabile.

• Il passaggio dal modello finito-dimensionale al modello infinito-dimensionale del continuo deformabile.
• Lo stato di sforzo nella formulazione di Cauchy e la sua caratterizzazione matematica.
• Le equazioni generali di equilibrio e moto per un continuo.
• Il modello di fluido perfetto e viscoso e le equazioni di Navier-Stokes.
• Discussione di alcuni semplici a casi di studio e della loro soluzione analitica.

5. I metodi della Meccanica Analitica.

• Il punto di vista della meccanica analitica e la sua relazione con il punto di vista newtoniano.
• I risultati generali dell’approccio della meccanica analitica per sistemi finito-dimensionali: il principio dei lavori virtuali e il metodo del potenziale nello studio dell’equilibrio di sistemi olonomi.
• Le equazioni della meccanica Lagrangiana  e il passaggio alla formulazione Hamiltoniana.

Sono necessarie le conoscenze matematiche e fisiche di base acquisite nei primi corsi universitari di Fisica, Algebra Lineare e Calcolo Differenziale ed Integrale.

La prova d'esame consta di due parti:

• un colloquio orale che verte sugli argomenti di teoria e i casi di studio svolti a lezione e ad esercitazione nel corso del primo modulo (Argomenti 1 e 2). Tale prova orale consiste nella presentazione di una delle applicazioni in programma e in domande generali relative alle definizioni, ai concetti e alle tecniche di calcolo usate nella risoluzione del relativo modello. L’applicazione esposta da parte dello studente è scelta dal docente al momento del colloquio stesso fra quattro casi che lo studente è tenuto a preparare rispetto a tutti quelli svolti durante le lezioni o esercitazioni.
• un colloquio orale che verte sugli argomenti di teoria e su una delle applicazioni svolti a lezione e ad esercitazione nel corso del secondo modulo (Argomenti 3, 4 e 5). L’applicazione oggetto dell’esposizione è scelta dal docente tra sette casi svolti completamente a lezione e/o nelle esercitazioni.

I due colloqui possono essere sostenuti anche in appelli d’esame diversi. L’esame complessivo si intende superato qualora lo studente riporti in entrambi i colloqui una votazione pari ad almeno 18/30. Il voto finale dell’esame è la media aritmetica (arrotondata per eccesso) dei due voti parziali.

Lo studente dovrà, in sede d’esame:

• dimostrare di conoscere e avere compreso definizioni, concetti e tecniche di calcolo della teoria svolta a lezione;
• essere abile nell’esporre i ragionamenti che semplificano un problema concreto e che portano alla costruzione di un suo modello matematicamente trattabile;
• saper applicare metodi e strumenti appresi nel corso della teoria alla risoluzione di un modello;
• essere capace di ragionare criticamente sullo studio presentato, interpretando i risultati ottenuti in chiave reale e analizzandoli anche alla luce delle semplificazioni introdotte nel modello rispetto al caso reale.