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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2019/2020
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 052425 - ANALISI MATEMATICA 2
Docente Battistini Egidio
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare
Didattica innovativa L'insegnamento prevede  1.0  CFU erogati con Didattica Innovativa come segue:
  • MOOC

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - CR (368) INGEGNERIA GESTIONALE*AZZZZ052425 - ANALISI MATEMATICA 2
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (358) INGEGNERIA INFORMATICAI1CAZZZZ052425 - ANALISI MATEMATICA 2
ICRAZZZZ052425 - ANALISI MATEMATICA 2

Obiettivi dell'insegnamento

Dando per acquisiti gli elementi di base dei corsi di Analisi Matematica 1 e di Geometria e Algebra Lineare, lo scopo del corso è duplice: 

- sviluppare i concetti fondamentali del calcolo differenziale ed integrale, introdotti per il caso unidimensionale nel corso di Analisi Matematica 1, al caso multidimensionale (funzioni di più variabili/vettoriali);

- chiarire, come questi strumenti possano essere utilizzati nello studio di tutte le altre discipline a contenuto applicativo-modellistico (ad esempio, la teoria delle equazioni differenziali).


Risultati di apprendimento attesi

Ci si attende che gli Studenti alla fine del corso siano in grado di padroneggiare gli argomenti trattati, con la profondità sufficiente a riconoscere e gestire l'aspetto matematico nei problemi ingegneristici che incontreranno nel corso della loro carriera accademica e professionale.


Argomenti trattati

Programma delle lezioni e delle esercitazioni (10 crediti). 

 

Programma delle lezioni e delle esercitazioni
1 - Funzioni di due o più variabili reali
Elementi di topologia nel piano e nello spazio: insiemi aperti, chiusi, connessi; frontiera di un insieme; insiemi limitati.
1.1 - Funzioni a valori reali
Limiti e continuità; teorema di Weierstrass. Derivate parziali, vettore gradiente, derivate direzionali: interpretazioni fisiche e geometriche. Curve (superficie) di livello. Differenziale, piano tangente, approssimazione lineare locale. Condizioni necessarie per la differenziabilità’ , formula del gradiente; condizione sufficiente di differenziabilità. Funzioni composte; regola di derivazione. Teorema del valor medio. Derivate seconde, teorema di Schwartz, matrice hessiana; differenziale secondo. Formula di Taylor al secondo ordine. Forme quadratiche e loro classificazione: metodo degli autovalori per il riconoscimento delle forme quadratiche. Ottimizzazione libera: punti stazionari; uso della formula di Taylor per il riconoscimento di massimi e minimi locali. Funzioni convesse. Ottimizzazione vincolata; metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
1.2 - Funzioni a valori vettoriali
Continuità e differenziabilità: matrice Jacobiana. Differenziabilità delle funzioni composte.
2 - Integrali doppi e tripli
Integrale doppio di una funzione continua: proprietà ed applicazioni fisiche e geometriche (volumi, baricentri, momenti d' inerzia). Formule di riduzione a due integrali semplici successivi. Cambio di variabili; coordinate polari. Integrale triplo di una funzione continua. Formule di riduzione. Coordinate cilindriche e sferche. Cenni agli integrali impropri doppi e tripli.
3 – Curve
Curve in forma parametrica nel piano e nello spazio. Curve regolari. Curve rettificabili: lunghezza di un arco di curva regolare. Parametrizzazione intrinseca. Versore tangente, normale, binormale. Integrale rispetto all'ascissa curvilinea. Curvatura e torsione.
4 - Campi vettoriali
Campi vettoriali. Integrali di linea di un campo vettoriale: lavoro e circuitazione. Campi vettoriali conservativi; potenziale; caratterizzazione dei campi conservativi come campi con circuitazione nulla. Vettore rotore, campi irrotazionali. Insiemi semplicemente connessi.
5 - Serie trigonometriche e serie di Fourier
Serie di funzioni. Convergenza. Serie di potenze: raggio e cerchio di convergenza; serie di Taylor; serie esponenziale nel campo complesso. Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Coefficienti e serie di Fourier di una funzione periodica. Approssimazione in media quadratica. Disuguaglianza di Bessel; uguaglianza di Parseval. Convergenza puntuale di una serie di Fourier. Forma esponenziale della serie di Fourier.
6 - Equazioni differenziali ordinarie
Modelli della meccanica classica e della dinamica delle popolazioni. Generalità: ordine, soluzione; problema di Cauchy. Riduzione di un’equazione scalare di ordine n ad un’equazione vettoriale del I ordine. Teorema di esistenza e unicità locale della soluzione di un problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari scalari: principio di sovrapposizione, struttura dello spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea e di quello dell’ equazione completa. Integrale generale delle equazioni lineari del primo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine omogenee: lo spazio delle soluzioni ha dimensione 2; costruzione di un sistema fondamentale di integrali particolari per l'equazione omogenea a coefficienti costanti, ricerca di una soluzione particolare dell'equazione completa. Vibrazioni libere, vibrazioni smorzate, vibrazioni forzate (in assenza di attrito). Equazioni di Eulero. Equazioni differenziali non lineari del primo ordine; equazioni a variabili separabili, equazioni omogenee, equazioni di Bernoulli.
7 - Sistemi differenziali lineari
Sistemi lineari: principio di sovrapposizione, struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo e di un sistema non omogeneo. Sistemi lineari omogenei: dimensione dello
spazio delle soluzioni; sistema fondamentale di soluzioni; matrice Wronskiana. Sistemi lineari omogenei autonomi: costruzione di un sistema fondamentale di soluzioni per il sistema
bidimensionale. Sistemi lineari completi: metodo della variazione delle costanti arbitrarie.                                                                     8- Cenni ai sistemi non lineari, stabilità secondo Lyapunov, esempio del pendolo non lineare.


Prerequisiti

I contenuti dei corsi "Analisi Matematica 1" e "Geometria e algebra lineare".


Modalità di valutazione

Modalità d’esame


L’esame consiste in una prova scritta (esercizi da svolgere, anche di carattere teorico) ed una prova orale (domande su definizioni e relativo significato fisico e geometrico, esempi, enunciati e dimostrazioni di teoremi, domande inerenti agli esercizi e ai contenuti sui quali è emersa fragilità nello scritto). Gli appelli d’esame si svolgeranno nei periodi previsti dal calendario accademico (due durante la sospensione fra il 1° e il 2° semestre, due alla fine del 2° semestre e uno a settembre; il primo appello è quello in cui si svolge la seconda prova in itinere). L’accesso agli esami è libero per tutti gli studenti iscritti al corso; tuttavia, per sostenere l'esame in un dato appello, è obbligatorio iscriversi all'appello al Poliself, entro la scadenza indicata dal Poliself stesso (pensarci per tempo!). Il superamento della prova scritta (negli appelli d’esame o attraverso prove parziali, vedi sotto) dà accesso alla prova orale. Il voto conseguito nella prova scritta è indicativo e parziale e può essere modificato, anche radicalmente e in senso negativo o positivo, dalla prova orale. Il mancato superamento dell'esame nell'appello di settembre comporta la reiscrizione al corso.

Durante il corso dell’anno saranno effettuate due prove parziali ("in itinere") a metà corso e a fine corso (primo appello). Ogni prova farà riferimento principalmente alla parte del corso immediatamente precedente la prova. L’esito sufficiente all'accesso all'orale in entrambe le prove parziali permette l’esonero dalla prova d’esame scritta. Gli studenti che avranno ottenuto l’esonero attraverso le prove parziali potranno sostenere la prova orale in occasione degli appelli d’esame (sempre previa iscrizione al poliself).

Per gli studenti che avranno sostenuto le prove parziali con esito non completamente sufficiente si potranno verificare i seguenti casi:

  • entrambe le prove sono gravemente insufficienti: in tal caso gli studenti dovranno presentarsi all’esame in uno degli appelli previsti
  • una sola delle prove è sufficiente: gli studenti dovranno, in occasione di un appello d’esame, svolgere la prova scritta sull'intero programma. Se l'esito di quest'ultima consente l'ammissione alla prova orale, la prova in itinere sufficiente servirà per effettuare la media (pesata) con la prova ordinaria, sempre che questo sia vantaggioso per lo studente. Salvo eccezioni ben motivate, superando lo scritto in un appello ordinario si acquisisce il diritto a presentarsi all’orale nello stesso appello (e non in uno successivo).

L’assenza ad una delle prove parziali equivale ad una valutazione gravemente insufficiente.

Uno studente che supera lo scritto (con due compitini o in un appello), qualora venga bocciato all'orale, deve rifare lo scritto.


Bibliografia
Risorsa bibliografica obbligatoriaV. BARUTELLO, M. CONTI, D. L. FERRARIO, S. TERRACINI, G. VERZINI, ANALISI MATEMATICA, volume 2, Editore: APOGEO, Anno edizione: 2008, ISBN: 9788850324231

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
60:00
90:00
Esercitazione
40:00
60:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 100:00 150:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese
schedaincarico v. 1.6.5 / 1.6.5
Area Servizi ICT
23/04/2021