L’insegnamento si propone di fornire gli strumenti per la descrizione quantistica dei sistemi atomici e molecolari. Per questo motivo nella prima parte saranno esposti i fondamenti fisici e il formalismo matematico della teoria quantistica per il moto di una particella non relativistica in un campo esterno. Si partirà da alcuni casi semplici che prevedono una risoluzione esatta (sia 1D sia 3D), per poi presentare i metodi approssimati necessari per la risoluzione di problemi più complessi. Nella seconda parte dell’insegnamento l’attenzione sarà poi rivolta allo studio degli atomi e della loro interazione con il campo elettromagnetico utilizzando gli strumenti appresi nella prima parte. Infine sarà presentata una teoria elementare delle molecole.

L’insegnamento prevede una versione da 10 cfu (Fisica della Materia u.c. Fisica Atomica), cui è agganciato 1 insegnamento da 5 cfu (Fisica Atomica B). La presente scheda definisce obiettivi, programmi e risultati di apprendimento attesi per ciascun insegnamento collegato.

NOTA: gli argomenti dell’insegnamento di Fisica Atomica B da 5 cfu saranno individuati sulla base delle situazioni specifiche degli studenti.

lo studente

• conosce il formalismo e l’interpretazione fisica della teoria quantistica non relativistica
• conosce la descrizione analitica di problemi quantistici risolvibili in modo esatto (oscillatore armonico, dinamica non relativistica in un campo di forze centrale) e i metodi approssimati necessari per la risoluzione di problemi più complessi
• è in grado di scegliere e applicare in modo opportuno gli strumenti teorici sviluppati al fine di descrivere gli atomi e la loro interazione con la radiazione elettromagnetica in approssimazione semi-classica
• è in grado di usare un linguaggio appropriato e scientificamente rigoroso per descrivere gli argomenti trattati

Richiami e complementi di meccanica analitica. Coordinate curvilinee e operatori differenziali. Equazioni del moto, coordinate generalizzate. Formulazione Lagrangiana e Hamiltoniana della meccanica. Equazione di Hamilton-Jacobi. Dinamica di una particella in un campo centrale, esempi: potenziale coulombiano, oscillatore armonico 3D. Dinamica di una particella carica in un campo elettromagnetico. NOTA: il tema è sviluppato in alcune ore iniziali dell’insegnamento in modo funzionale alla comprensione del formalismo quantistico e non sarà oggetto d’esame. Su personale richiesta dello studente l’argomento potrà essere approfondito utilizzando materiale aggiuntivo suggerito dal docente.

Il formalismo della meccanica quantistica. Richiami e approfondimenti sui concetti fondamentali della meccanica quantistica: dualismo onda/particella, ipotesi di de Broglie, principio di indeterminazione di Heisenberg, processo di misura. Inquadramento del formalismo matematico nell’ambito della teoria degli spazi funzionali: funzioni d'onda, principio di sovrapposizione degli stati quantistici, pacchetto d’onda, interpretazione probabilistica generalizzata, proprietà matematiche degli operatori associati alle grandezze fisiche, valori di aspettazione, commutatori. Autovalori e autofunzioni di un operatore hermitiano: spettro continuo, spettro discreto. Descrizione quantistica di grandezze fisiche fondamentali: quantità di moto, momento angolare orbitale, parità. Proprietà di grandezze associate a operatori che commutano. Relazione di indeterminazione generalizzata per le grandezze fisiche. Cenni alla teoria delle rappresentazioni. Rappresentazione di un operatore in forma di matrice.

Variazione degli stati quantistici con il tempo. Richiami e approfondimenti sull’equazione d’onda non relativistica di Schroedinger. Stati stazionari, legge di conservazione della probabilità, densità di corrente di probabilità. Teorema di Ehrenfest (variazione delle medie delle grandezze fisiche con il tempo). Integrali del moto e condizioni di simmetria. Limite classico.

Soluzioni esatte dell’equazione di Schroedinger.  Richiami e approfondimenti sulle proprietà generali del moto 1D: moto in un campo uniforme 1D, coefficienti di trasmissione e riflessione. Esempio notevole di potenziale 1D non uniforme, l’oscillatore armonico semplice: risoluzione analitica, rappresentazione dei numeri quantici di occupazione (metodo della seconda quantizzazione), operatori di annichilazione/generazione. Dinamica di una particella quantistica in 3D. Moto in un campo a simmetria centrale, esempi: buca di potenziale sferica, campo coulombiano (spettro discreto/continuo), oscillatore armonico 3D (cenni).

Momento angolare. Determinazione degli autovalori del momento angolare a partire dalle regole di commutazione dell’operatore associato. Composizione di momenti angolari, coefficienti di Clebsch-Gordan. Esempi. Momento angolare intrinseco o spin. Descrizione del caso di spin 1/2: matrici di Pauli, autovalori, spinori.

Metodi di calcolo approssimati della meccanica quantistica. Approssimazione quasi-classica di Wentzel-Kramers-Brillouin. Applicazione al caso di attraversamento di barriera potenziale. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo per stati non degeneri, caso di stati degeneri. Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo, regola d’oro di Fermi. Metodo variazionale (cenni).

L’atomo. Fenomenologia degli atomi: massa atomica, dimensioni atomiche, spettri di assorbimento, isotopi. Descrizione atomica mediante la “vecchia” teoria dei quanti. Atomi a un elettrone (idrogenoidi): determinazione di autovalori e autofunzioni mediante equazione di Schroedinger. Gli orbitali atomici. Determinazione della struttura fine dei livelli atomici (correzioni relativistiche) mediante teoria delle perturbazioni. Cenni alla struttura iperfine dei livelli atomici e allo spostamento di Lamb. Sistemi di N particelle identiche. Principio di indistinguibilità di particelle identiche. Simmetria di scambio, principio di esclusione di Pauli. Metodi approssimati per la descrizione di atomi a molti elettroni: metodo del campo medio autoconsistente di Hartree-Fock, metodo statistico di Thomas-Fermi. L’atomo di elio. Atomi a molti elettroni: stato fondamentale, accoppiamento LS -JJ, regole di Hund. Sistema periodico degli elementi.

Interazione di atomi con il campo elettromagnetico. Descrizione mediante teoria delle perturbazioni. Esempi: atomo in un campo elettrico (effetto Stark), atomo in un campo magnetico (effetto Zeeman), transizioni atomiche in presenza di radiazione elettromagnetica (probabilità di transizione, regole di selezione).

Teoria elementare delle molecole. Approssimazione adiabatica. Metodo LCAO per le funzioni d’onda molecolari. Orbitali molecolari per molecole semplici.

Allo studente sono richieste le conoscenze basilari della fisica classica (meccanica, termodinamica, elettromagnetismo). In particolare si richiede una buona conoscenza dei fenomeni ondulatori (equazione delle onde, onde scalari e vettoriali, polarizzazione, interferenza, diffrazione, onde stazionarie). È inoltre ritenuta utile, ma non indispensabile, una familiarità con i concetti introduttivi della meccanica quantistica (come trattati in insegnamenti equivalenti a quelli di Introduzione alle Nanotecnologie o Radioattività offerti al Politecnico di Milano).

La valutazione consiste in una prova orale finale.

La prova orale verifica e accerta:

• la capacità di esporre e discutere il formalismo della meccanica quantistica e di comprenderne il significato fisico
• la capacità di applicare i modelli teorici sviluppati alla descrizione delle proprietà fondamentali degli atomi isolati o interagenti con il campo elettromagnetico.
• la competenza nell’uso di un linguaggio scientifico appropriato, l’efficacia e la qualità dell’esposizione.

D.J. Griffiths, Introduzione alla Meccanica Quantistica, Casa Editrice Ambrosiana, 2015 (versione in italiano)