• Blended Learning & Flipped Classroom

Obiettivo dell'insegnamento è far acquisire agli studenti il linguaggio ed il rigore matematico appropriati per la formulazione di problemi applicativi e fornire metodi e strumenti matematici atti alla loro risoluzione, completando un progetto didattico unitario iniziato nell'insegnamento di Analisi Matematica 1 + Complementi di Algebra Lineare. I contenuti riguardano il calcolo differenziale e l'ottimizzazione per funzioni di più variabili, gli integrali multipli, gli integrali su curve e superfici e le equazioni differenziali ordinarie, strumenti indispensabili per lo studio avanzato di discipline applicate a contenuto fisico-ingegneristico. L'insegnamento prevede 2.0 CFU erogati con Didattica Innovativa (Blended Learning & Flipped Classroom).

Al termine del percorso formativo di questo insegnamento, lo studente conosce il linguaggio matematico appropriato per formulare problemi applicativi; sa applicare metodi e strumenti matematici per ottenere la soluzione di problemi.

Risultati di apprendimento dettagliati:

DD1) Conoscenza e comprensione

Conoscere e comprendere gli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili e le equazioni differenziali ordinarie

DD2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Applicazione di conoscenza e comprensione a:

- studio di limiti, continuità, derivabilità, differenziabilità di funzioni di più variabili;

- studio di estremi liberi e vincolati;

- analisi delle curve, delle superfici e dei campi vettoriali;

- calcolo di integrali multipli, curvilinei e di superficie;

- risoluzione di alcune classi di equazioni differenziali ordinarie del primo e del secondo ordine.

Il docente si attende una comprensione non limitata all'enunciazione di definizioni e risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica ed in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti. Si attende inoltre un'adeguata correttezza nei calcoli ed un'esposizione ben argomentata della teoria, compresa la conoscenza delle dimostrazioni dei principali risultati affrontati.

1. Funzioni vettoriali di una variabile

Gli spazi vettoriali R² ed R³, prodotto interno, norma e sue proprietà, prodotto vettoriale, rette e piani. Funzioni vettoriali di una variabile: definizione, limiti e continuità, derivabilità ed integrabilità. Curve nel piano e nello spazio: definizione e proprietà, curve regolari e regolari a tratti, curve rettificabili e lunghezza di una curva, curve equivalenti e unione di curve.

2. Funzioni di più variabili 

Definizione di funzione reale di due e tre variabili, grafico ed insiemi di livello. Elementi di topologia in R² ed R³: dischi, palle, punti interni, esterni, di frontiera e di accumulazione, interno, frontiera e chiusura di un insieme, insieme aperto, chiuso, limitato, compatto, convesso e connesso. Limiti per funzioni reali di due e tre variabili, calcolo dei limiti per funzioni reali di due variabili, continuità per funzioni reali di due e tre variabili, insiemi aperti e chiusi definiti da funzioni continue, Teorema di permanenza del segno, Teorema di Weierstrass e Teorema degli zeri. Derivate parziali e direzionali: definizione di derivata direzionale, derivata parziale e di gradiente, formule di calcolo. Differenziabilità: definizione, relazioni fra differenziabilità, derivabilità e continuità, formula del gradiente e piano tangente, Teorema del differenziale totale, Teorema della media. Derivate parziali seconde: definizione di derivata parziale seconda e matrice Hessiana, Teorema di Schwarz, Formula di Taylor al secondo ordine con resto di Peano. Funzioni vettoriali di due e tre variabili: definizione, limiti, continuità e differenziabilità, matrice Jacobiana e Teorema di derivazione delle funzioni composte. 

3. Ottimizzazione libera e vincolata 

Estremi liberi: massimi e minimi locali e globali, Teorema di Fermat, punti stazionari e punti di sella, condizione necessaria del secondo ordine, test dell'Hessiana. Estremi vincolati: massimi e minimi vincolati, metodo parametrico, metodo degli insiemi di livello, funzioni definite implicitamente e Teorema di Dini, Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

4. Integrali multipli

Integrali doppi: integrali doppi di funzioni limitate su rettangoli, integrabilità delle funzioni continue su rettangoli e formule di riduzione, integrali doppi di funzioni limitate su insiemi limitati, integrabilità delle funzioni continue su insiemi semplici e formule di riduzione, misura di Peano-Jordan, proprietà dell'integrale doppio, cambiamento di variabili, cenno agli integrali doppi generalizzati. Integrali tripli: integrali tripli di funzioni limitate su insiemi limitati, integrazione per "fili" e per "strati".

5. Campi vettoriali

Definizione di campo vettoriale, operatori rotore e divergenza. Integrale curvilineo: definizione e proprietà, lavoro di un campo vettoriale, campi vettoriali conservativi ed irrotazionali. Formule di Gauss-Green nel piano e loro applicazioni.

6. Superfici

Definizione di superficie, superfici semplici, superfici regolari, piano tangente e versore normale. Integrale di superficie: definizione e proprietà, area di una superficie regolare. Superfici orientabili e flusso di un campo vettoriale. Teorema di Stokes, Teorema della divergenza.

7. Equazioni differenziali ordinarie

Esempi introduttivi, terminologia generale. Problema di Cauchy per equazioni del primo ordine: Teorema di esistenza ed unicità locale, Teorema di esistenza ed unicità globale. Alcune classi di equazioni del primo ordine: equazioni lineari del primo ordine, equazioni a variabili separabili, cenno alle equazioni di Bernoulli. Equazioni lineari del secondo ordine: struttura dell'integrale generale, integrale generale dell'equazione omogenea, ricerca di soluzioni particolari dell'equazione completa, applicazioni.

Agli studenti è richiesta la conoscenza degli argomenti dell'insegnamento di Analisi Matematica 1 + Complementi di Algebra Lineare.

L'esame può essere superato sostenendo uno degli appelli (non sono previste prove in itinere). Ciascun appello consiste di una prova scritta suddivisa in due parti:

Teoria (14 punti) della durata di 60 minuti
Esercizi (18 punti) della durata di 90 minuti

Per superare l'esame è necessario totalizzare almeno 3 punti nella Teoria. Il voto finale (in trentesimi) è la somma dei punteggi conseguiti nelle due parti. L'esame è superato se il punteggio totale non è inferiore a 18 punti. Se il punteggio conseguito è maggiore di 30 punti viene attribuita la lode. Nella parte Teoria sarà richiesto di esporre con precisione definizioni, formulare esempi e controesempi, enunciare e dimostrare teoremi. Al termine del corso sarà disponibile un elenco degli argomenti di cui potrà essere richiesta la dimostrazione. Nella parte Esercizi sarà richiesto di risolvere alcuni problemi riportando lo svolgimento completo. Non sono previste prove orali. Tuttavia, ogni studente che abbia conseguito un punteggio totale di almeno 16 punti può chiedere di sostenere una prova orale che consiste in domande sugli argomenti in programma, incluse dimostrazioni e risoluzioni di esercizi, ed influisce positivamente o negativamente sull'esito dell'esame. Non è possibile sostenere un appello d'esame senza essere iscritti o con iscrizione posteriore alla data di scadenza. L'esame ha l'obiettivo di verificare se lo studente ha acquisito in maniera adeguata le seguenti competenze: conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili e delle equazioni differenziali ordinarie, capacità di applicare le conoscenze allo studio del calcolo infinitesimale di funzioni di più variabili, degli estremi liberi e vincolati, delle curve, delle superfici, dei campi vettoriali, degli integrali multipli, degli integrali curvilinei e di superficie e di alcune classi di equazioni differenziali ordinarie del primo e del secondo ordine.