• Blended Learning & Flipped Classroom

Il corso integrato si propone di fornire il linguaggio ed i tradizionali elementi di base dell'Analisi Matematica e dell’Algebra Lineare, indispensabili alla costruzione, all’analisi e alla comprensione di modelli matematici per l’ingegneria e l'architettura.
Obiettivi strumentali: introdurre il calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale, i numeri complessi, le serie numeriche. Col modulo di Algebra lineare si introduce l’algebra delle matrici e la teoria dei sistemi lineari. Questi strumenti saranno immediatamente utilizzati dallo studente nello studio di tutte le discipline applicate a contenuto fisico-ingegneristico, ed inoltre preparano il successivo corso di Analisi Matematica 2, che completerà in modo sostanziale la strumentazione matematica necessaria allo studio di queste discipline.
Obiettivi formativi: Oltre a fornire strumenti di calcolo, il corso forma al necessario rigore nella discussione e verifica delle ipotesi, mentalità fondamentale per un uso critico e consapevole di ogni modello usato nelle Scienze.

Parte delle lezioni (3 CFU) verra' svolta in modalita' di Didattica Innovativa, attraverso l'uso di MOOC di Calcolo, e momenti di flipped classroom.

Al termine del percorso formativo di questo insegnamento, lo studente conosce l’algebra lineare e la geometria analitica del piano e dello spazio, e possiede le basi analitiche per affrontare successivamente i problemi di dimensionamento tecnico e verifica dei fenomeni nel progetto di edifici.

Risultati di apprendimento dettagliati:

DD1) Conoscenza e comprensione

Lo studente:

* ha compreso i concetti e le idee fondamentali del calcolo per funzioni di una variabile reale
* conosce il linguaggio dell’algebra lineare, la teoria dei sistemi lineari e l’algebra delle matrici
* conosce gli strumenti e il linguaggio propri del calcolo differenziale e integrale:
- sa calcolare limiti, derivate, e integrali
- sa riconoscere il comportamento di una successione e di una serie numerica
- sa prevedere la risolubilità di un sistema lineare di qualunque dimensione
- è in grado di determinare autovettori e autovalori di una matrice.

DD2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Lo studente:

* è in grado di applicare gli strumenti appresi per risolvere semplici problemi applicativi; in particolare:
- sa tracciare il grafico qualitativo di una funzione
- sa impostare e risolvere problemi di ottimizzazione.

Analisi Matematica

Numeri reali e complessi. Numeri razionali e numeri reali. Maggiorante, minorante, massimo e minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali. Numeri complessi e loro algebra: forma trigonometrica, significato geometrico di somma e prodotto, formula di De Moivre, radici n-esime, formula di Eulero, forma esponenziale.

Limiti e continuità. Funzioni di variabile reale. Grafici delle funzioni elementari. Funzioni composte, funzioni monotone, funzioni inverse. Successioni. Definizioni di limite. Unicità del limite. Teorema della permanenza del segno e del confronto. Teorema di convergenza di successioni monotone. Il numero di Nepero. Limiti notevoli e proprietà asintotiche. Limiti di funzioni. Infinitesimi ed infiniti e loro confronto. Continuità e principali teoremi sulle funzioni continue (di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi). Discontinuità e loro classificazione.

Calcolo differenziale. Definizione di derivata e sua interpretazione fisico/geometrica. Differenziabilità. Calcolo di derivate. Teoremi (Fermat, Rolle, Lagrange) e applicazioni. Grafici qualitativi di funzioni. Ottimizzazione. Formula di Taylor.

Calcolo Integrale. Integrale definito e sua interpretazione. Classi di funzioni integrabili. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo. Integrale indefinito e pimitive.  Metodi di integrazione: integrazione di funzioni razionali fratte, sostituzione, scomposizione, per parti. Integrali impropri (generalizzati). Criteri di convergenza.

Serie numeriche. Definizioni, criteri di convergenza.

Algebra lineare

L'insieme Rⁿ. Spazi vettoriali. Indipendenza lineari e basi. Matrici e calcolo matriciale. Determinante e rango.  Nucleo e Immagine. Teorema di nullità+rango. Teoria dei Sistemi lineari. Teorema di Kramer, Teorema di Rouchè-Capelli. Applicazioni lineari da Rⁿ a R^m matrice di rappresentazione. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione e Teorema Spettrale.

Sono necessarie conoscenze di matematica elementare. In particolare: Algebra elementare (calcolo letterale; risoluzione di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, con moduli, algebriche, fratte, irrazionali). Trigonometria: concetti di base, funzioni trigonometriche elementari, identità notevoli della trigonometria, equazioni e disequazioni trigonometriche. Geometria analitica: coordinate cartesiane, equazione della retta, della circonferenza, cenni alle coniche. Logaritmi e loro proprietà, equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche (*). Funzioni elementari: conoscere e saper costruire i grafici di rette, parabole, iperboli, funzioni trigonometriche elementari; esponenziale, logaritmo (*).

L’esame può essere superato presentandosi a uno degli appelli di febbraio, luglio, settembre.

Si tratta di una prova scritta che si articola in due parti (lo stesso giorno):

Prima parte: è un “pre-scritto” della durata di 10 minuti circa, che contiene 3 domande semplici; si considera superata se lo studente risponde ad almeno 2 domande correttamente. In tal caso, lo studente può sostenere la seconda parte.
Seconda parte: contiene domande articolate di carattere teorico a risposta aperta sugli argomenti del corso (definizioni, esempi, enunciati e dimostrazioni dei principali teoremi), e alcuni esercizi numerici; per ogni domanda/esercizio viene precisato il punteggio massimo che si può ottenere, per un totale di 30 trentesimi.

All’inizio di Gennaio è previsto un parziale (non obbligatorio) di Algebra Lineare. Il superamento della prova esonera lo studente dal “pre-scritto” e conferisce fino a 3 punti aggiuntivi sul punteggio finale dello scritto (validi solo per gli appelli dell’anno accademico in corso)

L'iscrizione alle prove è tassativa. Lo studente non iscritto o iscritto tardivamente non verrà ammesso in aula.

MOOC ideato dal Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. Il corso copre la matematica di base, permettendo di colmare eventuali lacune e di mettere a punto la preparazione necessaria all'ingresso all'universita'.

Versione inglese disponibile