054421 - ANALISI MATEMATICA 1 + COMPLEMENTI DI ALGEBRA LINEARE
Obiettivi dell'insegnamento
Il corso integrato si propone di fornire il linguaggio ed i tradizionali elementi di base dell'Analisi Matematica e dell’Algebra Lineare, indispensabili alla costruzione, all’analisi e alla comprensione di modelli matematici per l’ingegneria e l'architettura. Obiettivi strumentali: introdurre il calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale, i numeri complessi, le serie numeriche. Col modulo di Algebra lineare si introduce l’algebra delle matrici e la teoria dei sistemi lineari. Questi strumenti saranno immediatamente utilizzati dallo studente nello studio di tutte le discipline applicate a contenuto fisico-ingegneristico, ed inoltre preparano il successivo corso di Analisi Matematica 2, che completerà in modo sostanziale la strumentazione matematica necessaria allo studio di queste discipline. Obiettivi formativi: Oltre a fornire strumenti di calcolo, il corso forma al necessario rigore nella discussione e verifica delle ipotesi, mentalità fondamentale per un uso critico e consapevole di ogni modello usato nelle Scienze.
Parte delle lezioni (3 CFU) verra' svolta in modalita' di Didattica Innovativa, attraverso l'uso di MOOC di Calcolo, e momenti di flipped classroom.
Risultati di apprendimento attesi
Al termine del percorso formativo di questo insegnamento, lo studente conosce l’algebra lineare e la geometria analitica del piano e dello spazio, e possiede le basi analitiche per affrontare successivamente i problemi di dimensionamento tecnico e verifica dei fenomeni nel progetto di edifici.
Risultati di apprendimento dettagliati:
DD1) Conoscenza e comprensione
Lo studente:
* ha compreso i concetti e le idee fondamentali del calcolo per funzioni di una variabile reale * conosce il linguaggio dell’algebra lineare, la teoria dei sistemi lineari e l’algebra delle matrici * conosce gli strumenti e il linguaggio propri del calcolo differenziale e integrale: - sa calcolare limiti, derivate, e integrali - sa riconoscere il comportamento di una successione e di una serie numerica - sa prevedere la risolubilità di un sistema lineare di qualunque dimensione - è in grado di determinare autovettori e autovalori di una matrice.
DD2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente:
* è in grado di applicare gli strumenti appresi per risolvere semplici problemi applicativi; in particolare: - sa tracciare il grafico qualitativo di una funzione - sa impostare e risolvere problemi di ottimizzazione.
Argomenti trattati
Analisi Matematica
Numeri reali e complessi. Numeri razionali e numeri reali. Maggiorante, minorante, massimo e minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali. Numeri complessi e loro algebra: forma trigonometrica, significato geometrico di somma e prodotto, formula di De Moivre, radici n-esime, formula di Eulero, forma esponenziale.
Limiti e continuità. Funzioni di variabile reale. Grafici delle funzioni elementari. Funzioni composte, funzioni monotone, funzioni inverse. Successioni. Definizioni di limite. Unicità del limite. Teorema della permanenza del segno e del confronto. Teorema di convergenza di successioni monotone. Il numero di Nepero. Limiti notevoli e proprietà asintotiche. Limiti di funzioni. Infinitesimi ed infiniti e loro confronto. Continuità e principali teoremi sulle funzioni continue (di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi). Discontinuità e loro classificazione.
Calcolo differenziale. Definizione di derivata e sua interpretazione fisico/geometrica. Differenziabilità. Calcolo di derivate. Teoremi (Fermat, Rolle, Lagrange) e applicazioni. Grafici qualitativi di funzioni. Ottimizzazione. Formula di Taylor.
Calcolo Integrale. Integrale definito e sua interpretazione. Classi di funzioni integrabili. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo. Integrale indefinito e pimitive. Metodi di integrazione: integrazione di funzioni razionali fratte, sostituzione, scomposizione, per parti. Integrali impropri (generalizzati). Criteri di convergenza.
Serie numeriche. Definizioni, criteri di convergenza.
Algebra lineare
L'insieme Rn. Spazi vettoriali. Indipendenza lineari e basi. Matrici e calcolo matriciale. Determinante e rango. Nucleo e Immagine. Teorema di nullità+rango. Teoria dei Sistemi lineari. Teorema di Kramer, Teorema di Rouchè-Capelli. Applicazioni lineari da Rn a Rm matrice di rappresentazione. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione e Teorema Spettrale.
Prerequisiti
Sono necessarie conoscenze di matematica elementare. In particolare: Algebra elementare (calcolo letterale; risoluzione di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, con moduli, algebriche, fratte, irrazionali). Trigonometria: concetti di base, funzioni trigonometriche elementari, identità notevoli della trigonometria, equazioni e disequazioni trigonometriche. Geometria analitica: coordinate cartesiane, equazione della retta, della circonferenza, cenni alle coniche. Logaritmi e loro proprietà, equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche (*). Funzioni elementari: conoscere e saper costruire i grafici di rette, parabole, iperboli, funzioni trigonometriche elementari; esponenziale, logaritmo (*).
Modalità di valutazione
L’esame può essere superato presentandosi a uno degli appelli di febbraio, luglio, settembre.
Si tratta di una prova scritta che si articola in due parti (lo stesso giorno):
Prima parte: è un “pre-scritto” della durata di 10 minuti circa, che contiene 3 domande semplici; si considera superata se lo studente risponde ad almeno 2 domande correttamente. In tal caso, lo studente può sostenere la seconda parte. Seconda parte: contiene domande articolate di carattere teorico a risposta aperta sugli argomenti del corso (definizioni, esempi, enunciati e dimostrazioni dei principali teoremi), e alcuni esercizi numerici; per ogni domanda/esercizio viene precisato il punteggio massimo che si può ottenere, per un totale di 30 trentesimi.
All’inizio di Gennaio è previsto un parziale (non obbligatorio) di Algebra Lineare. Il superamento della prova esonera lo studente dal “pre-scritto” e conferisce fino a 3 punti aggiuntivi sul punteggio finale dello scritto (validi solo per gli appelli dell’anno accademico in corso)
L'iscrizione alle prove è tassativa. Lo studente non iscritto o iscritto tardivamente non verrà ammesso in aula.
Bibliografia
M. Conti, D. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi matematica. Dal calcolo all'analisi.M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Editore: Zanichelli
M. Boella, Analisi Matematica 1 e Algebra Lineare - Eserciziario, Editore: Pearson
M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Editore: Esculapio
MOOC di Pre-Calculushttps://www.pok.polimi.it/courses/course-v1:Polimi+MAT101+2017_M9/about Note:
MOOC ideato dal Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano.
Il corso copre la matematica di base, permettendo di colmare eventuali lacune e di mettere a punto la preparazione necessaria all'ingresso all'universita'.
James Stewart, Calcolo. Funzioni di una variabile. Note:
Versione inglese disponibile
Software utilizzato
Nessun software richiesto
Forme didattiche
Tipo Forma Didattica
Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
66:00
99:00
Esercitazione
54:00
81:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale
120:00
180:00
Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua
Italiano
Disponibilità di materiale didattico/slides in lingua inglese
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese
Possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese
Disponibilità di supporto didattico in lingua inglese