• MOOC

Scopo del corso è presentare, dando per acquisiti gli elementi di base dei corsi di Analisi Matematica 1 e di Geometria e Algebra Lineare, alcuni argomenti dell' Analisi Matematica focalizzandosi in particolare su

- calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili reali;

- curve, campi vettoriali e relative applicazioni fisiche e geometriche;

- successioni e serie di funzioni;

- equazioni differenziali.

Gli argomenti  verranno presentati  privilegiando l’aspetto costruttivo, senza tuttavia rinunciare al rigore necessario ad un uso critico e consapevole degli strumenti matematici nei problemi di ingegneria e delle discipline applicate.

Ci si attende che gli Studenti alla fine del corso siano in grado di padroneggiare gli argomenti trattati, con la profondità sufficiente a riconoscere e gestire l'aspetto matematico  nei problemi ingegneristici che incontreranno  nel corso della loro carriera accademica e professionale.

Programma delle lezioni e delle esercitazioni

1 - Funzioni di due o più variabili reali

 Elementi di topologia nel piano e nello spazio: insiemi aperti, chiusi, connessi; frontiera di un insieme; insiemi limitati.

 1.1  - Funzioni a valori reali

  Limiti e continuità; teorema di Weierstrass. Derivate parziali, vettore gradiente, derivate direzionali: interpretazioni fisiche e geometriche. Curve (superficie) di livello. Differenziale, piano tangente, approssimazione lineare locale.   Condizioni necessarie per la differenziabilità’ , formula del gradiente; condizione sufficiente di differenziabilità. Funzioni composte; regola di derivazione.  Teorema del valor medio. Derivate seconde, teorema di Schwartz, matrice hessiana; differenziale secondo. Formula di Taylor al secondo ordine. Forme quadratiche e loro classificazione: metodo degli autovalori per il riconoscimento delle forme quadratiche. Ottimizzazione libera: punti stazionari; uso della formula di Taylor per il riconoscimento di massimi e minimi locali. Funzioni convesse. Ottimizzazione vincolata; metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

 1.2  - Funzioni a valori vettoriali

 Continuità e differenziabilità: matrice Jacobiana. Differenziabilità delle funzioni composte.

2 - Integrali doppi e tripli 

 Integrale doppio di una funzione continua: proprietà ed applicazioni fisiche e geometriche (volumi, baricentri, momenti d' inerzia). Formule di riduzione a due integrali semplici successivi. Cambio di variabili; coordinate polari. Integrale triplo di una funzione continua. Formule di riduzione. Coordinate cilindriche e sferiche. Cenni agli integrali impropri doppi e tripli.

3 – Curve

 Curve in forma parametrica nel piano e nello spazio.  Curve regolari. Curve rettificabili: lunghezza di un arco di curva regolare. Parametrizzazione intrinseca. Versore tangente, normale, binormale. Integrale rispetto all'ascissa curvilinea.

4 - Campi vettoriali

 Campi vettoriali. Integrali di linea di un campo vettoriale: lavoro e circuitazione. Campi vettoriali conservativi; potenziale; caratterizzazione dei campi conservativi come campi con circuitazione nulla. Vettore rotore, campi irrotazionali. Insiemi semplicemente connessi.

5 - Serie trigonometriche e serie di Fourier

 Serie di funzioni. Convergenza semplice e convergenza totale. Serie di potenze: raggio e cerchio di convergenza; serie di Taylor; serie esponenziale nel campo complesso.

 Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Coefficienti e serie di Fourier di una funzione periodica. Approssimazione in media quadratica. Disuguaglianza di Bessel; uguaglianza di Parseval. Convergenza puntuale di una serie di Fourier. Forma esponenziale della serie di Fourier.

 6 - Equazioni differenziali ordinarie 

 Modelli della meccanica classica e della dinamica delle popolazioni. Generalità: ordine, soluzione; problema di Cauchy. Riduzione di un’equazione scalare di ordine n ad un’equazione vettoriale del I ordine. Teorema di esistenza e unicità locale della soluzione di un problema di Cauchy.

 Equazioni differenziali lineari scalari: principio di sovrapposizione, struttura dello spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea e di quello dell’ equazione completa.

Integrale generale delle equazioni lineari del primo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine omogenee: lo spazio delle soluzioni ha dimensione 2; costruzione di un sistema fondamentale di integrali particolari per l'equazione omogenea a coefficienti costanti, ricerca di una soluzione particolare dell'equazione completa. Vibrazioni libere, vibrazioni smorzate, vibrazioni forzate (in assenza di attrito). Equazioni di Eulero.

 Equazioni differenziali non lineari del primo ordine; equazioni a variabili separabili, equazioni omogenee, equazioni di Bernoulli.

7 - Sistemi differenziali lineari 

 Sistemi lineari: principio di sovrapposizione, struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo e di un sistema non omogeneo. Sistemi lineari omogenei: dimensione dello spazio delle soluzioni; sistema fondamentale di soluzioni; matrice Wronskiana. Sistemi lineari omogenei autonomi: costruzione di un sistema fondamentale di soluzioni per il sistema bidimensionale. Sistemi lineari completi: metodo della variazione delle costanti arbitrarie.

Conoscenza degli argomenti svolti nei corsi di Analisi Matematica 1 e di Geometria e Algebra Lineare e capacità di interpretare e risolvere problemi ad essi correlati. 

Gli appelli d'esame constano di una prova scritta, in cui lo studente dovrà dimostrare un’adeguata competenza sia nella parte di esercizi che nella parte di teoria. In casi particolari, su proposta del docente e conseguente accettazione dello studente, l'esame potrà venir integrato con una prova orale.

Le date delle prove scritte saranno pubblicate sulla pagina ufficiale del Politecnico. 

PER PARTECIPARE AD UNA PROVA SCRITTA  E`NECESSARIO ESSERSI ISCRITTI AL RELATIVO APPELLO D'ESAME NEI TEMPI PREVISTI.

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