• MOOC

L'insegnamento si propone di fornire allo studente metodi e tecniche fondamentali della matematica e delle sue applicazioni all'ingegneria. I contenuti del corso riguardano il calcolo differenziale per le funzioni di più variabili reali a valori reali (scalari e vettoriali), il calcolo integrale di funzioni di due variabili, le curve, la teoria dei campi vettoriali con particolare attenzione a quelli conservativi, l'integrazione di prima e seconda specie, lo studio di serie numeriche e di equazioni differenziali ordinarie del primo e secondo ordine, in particolare equazioni a variabili separabili, equazioni lineari del primo e del secondo ordine (queste ultime, in particolare, a coefficienti costanti). Per la parte dell'insegnamento sulle equazioni differenziali è previsto l'utilizzo di Didattica innovativa nella forma di Blended Learning & Flipped Classroom.

Le lezioni e le esercitazioni consentiranno allo studente di conoscere e comprendere

- i concetti fondamentali del calcolo infinitesimale e differenziale per le funzioni vettoriali di una variabile reale, in particolare le curve parametriche e alcune loro proprietà di base

- i concetti fondamentali del calcolo infinitesimale e differenziale per le funzioni di più variabili reali a valori reali, il calcolo integrale di funzioni di due variabili, gli integrali di prima specie

- i concetti fondamentali del calcolo infinitesimale e differenziale per le funzioni di più variabili reali a valori reali vettoriali, in particolare la teoria dei campi vettoriali, gli integrali di seconda specie, i campi conservativi

- la teoria delle serie numeriche

- le equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili e lineari e le equazioni lineari del secondo ordine (in particolare a coefficienti costanti).

Lo studente sarà inoltre in grado di risolvere esercizi sugli argomenti trattati nel corso, in particolare di 

- individuare alcune semplici proprietà di una curva e calcolarne la lunghezza

- studiare continuità e differenziabilità di funzioni in più variabili e risolvere problemi di ottimizzazione libera e vincolata

- calcolare integrali doppi e integrali di prima specie

- calcolare integrali di seconda specie, stabilire se un campo vettoriale è conservativo ed eventualmente calcolarne un potenziale

- studiare il carattere di serie numeriche ed eventuali somme

- risolvere equazioni differenziali della tipologia gìa citata

Il docente si attende un'adeguata correttezza nei calcoli e un'esposizione ben argomentata della teoria.

Il docente si attende inoltre una comprensione della teoria non limitata all'enunciazione di definizioni e risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica ed in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti. 

1.    FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI REALI.

• Elementi di topologia nello spazio euclideo n-dimensionale: intorno sferico, insieme aperto e insieme chiuso. Punto esterno, punto di frontiera, punto interno, punto d’accumulazione, punto isolato; interno, frontiera, chiusura. Insieme limitato. Insieme connesso per archi e semplicemente connesso.
• Funzioni di una variabile reale a valori vettoriali. Limiti, continuità, derivata vettoriale.
• Funzioni reali di più variabili reali. Dominio, immagine, grafico (con interpretazione come superficie nel caso n=2). Curve di livello.
• Limite finito o infinito: definizioni, interpretazione grafica, proprietà analoghe ai limiti di funzioni di una variabile (unicità, somma, prodotto, quoziente, confronto, permanenza del segno). Calcolo di limiti e risoluzione di forme indeterminate: condizioni necessarie all'esistenza del limite (limite della funzione composta con opportune curve), condizioni sufficienti (utilizzo di coordinate polari e/o opportune maggiorazioni). 
• Funzioni continue in un punto e in un insieme, spazio vettoriale C(A); teorema di Weierstrass.
• Calcolo differenziale: derivate parziali, gradiente, funzione derivabile, derivate direzionali. Curve coordinate e interpretazione geometrica delle derivate parziali e direzionali. Relazione fra continuità, derivabilità, derivabilità in ogni direzione. Funzione differenziabile e piano tangente.  Relazione fra continuità e differenziabilità. Relazione fra derivabilità lungo ogni direzione e differenziabilità, formula del gradiente, teorema del differenziale totale. Gradiente e curve di livello, direzioni di massima e minima crescita.  Derivate di ordine superiore. Matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Spazi vettoriali C^k e C^∞. Formula di Taylor arrestata al secondo ordine con errore secondo Peano.
• Ottimizzazione libera: definizione di punto di massimo/minimo locale/globale. Punti critici, teorema di Fermat. Ricerca dei punti di estremo fra i punti critici, punti di non derivabilità e punti di frontiera. Forma quadratica. Forma quadratica definita positiva, definita negativa, semidefinita positiva, semidefinita negativa, indefinita. Matrice simmetrica associata ad una forma quadratica. Minori principali di nord-ovest. Criterio di Hurwitz.  Studio della natura di un punto critico.
• Ottimizzazione vincolata: ricerca di estremi vincolati su domini con frontiera “elementarmente” parametrizzabile. 

2.    CURVE

• Curva in forma parametrica in Rⁿ: intervallo base, estremi, sostegno. Curva chiusa, semplice, piana, cartesiana. Curve in forma polare. Curva rettificabile, definizione astratta della lunghezza di una curva. Curva regolare e regolare a tratti, vettore tangente e versore tangente, formula per la lunghezza di una curva. Curve equivalenti, curve opposte. Ascissa curvilinea, parametrizzazione canonica. 
• Integrale di linea (di prima specie) di funzioni continue su curve C¹ a tratti. Significato geometrico di area nel caso di curve in R², comportamento rispetto alle riparametrizzazioni. Applicazione dell’integrale di linea di prima specie al calcolo di massa e baricentro di un filo pesante.

 3.    CALCOLO INTEGRALE

• Integrali multipli in R² . Insiemi x-semplici, y-semplici, semplici, regolari. Definizione di integrale doppio di funzioni continue su insiemi semplici e su insiemi regolari, interpretazione geometrica. Proprietà elementari di linearità, monotonia, additività rispetto all'insieme d'integrazione. Massa e baricentro di una lamina piana. Calcolo dell'area di un insieme come integrale. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Cambiamento di variabili: coordinate polari nel piano.

 4.    CAMPI VETTORIALI

• Integrale di linea di un campo vettoriale (integrale curvilineo di seconda specie). Interpretazione dell’integrale come lavoro.  Proprietà, dipendenza dall’orientamento della curva. Rotore, divergenza. Campo irrotazionale. Campo conservativo e potenziale. Condizione necessaria e condizione sufficiente affinché un campo sia conservativo. Lavoro di un campo conservativo come differenza di potenziale. Caratterizzazione di un campo conservativo.

 5.   EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

• Equazione differenziale ordinaria di ordine n, soluzione, integrale generale, equazione differenziale ordinaria di ordine n in forma normale. Equazione differenziale ordinaria del primo ordine, problema di Cauchy (con interpretazione geometrica e meccanica), teorema di esistenza ed unicità locale. Equazione a variabili separabili.
• Equazione differenziale ordinaria lineare del primo ordine omogenea e completa, forma dell’integrale generale in entrambi i casi. Problema di Cauchy.
• Equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine omogenea e completa. Spazio vettoriale delle soluzioni dell’equazione omogenea, relazione fra integrale generale dell’equazione completa e dell’equazione omogenea associata. Principio di sovrapposizione.
• Equazione lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti: equazione caratteristica, costruzione di un sistema fondamentale di soluzioni. Ricerca di una soluzione particolare dell’equazione completa mediante il metodo di “somiglianza” nel caso di forzante polinomiale, sinusoidale, esponenziale o somma di funzioni dei tipi elencati. Integrale generale dell’equazione completa. Problema di Cauchy. Per questo argomento è previsto l'utilizzo di didattiva innovativa nelal forma di Blended Learning & Flipped Classroom.

 6.   SERIE

• Serie numerica di numeri reali. Successione delle somme parziali. Serie convergente, divergente, indeterminata. Serie geometrica, di Mengoli, armonica. Invarianza del carattere di una serie per modifica di un numero finito di termini. Condizione necessaria alla convergenza. Serie somma di due serie date.
• Serie a termini non negativi. Criteri di convergenza: confronto, confronto asintotico, radice, rapporto. Criterio integrale.
• Serie a termini di segno qualunque. Convergenza semplice e convergenza assoluta. Serie a segni alterni. Criterio di Leibniz.

Gli argomenti trattati in Analisi Matematica 1 e Geometria sono prerequisiti di questo insegnamento (in particolare calcolo infinitesimale, differenziale ed integrale per funzioni di una variabile, calcolo matriciale, algebra lineare, teoria di base degli spazi vettoriali astratti) . Inoltre si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nella scuola secondaria di secondo grado con particolare riferimento all'algebra dei polinomi, equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica, esponenziali e logaritmi e loro proprietà.

Sono previsti, nell’ordine, due prove in itinere: una che si svolge a metà corso e l’altra alla fine del corso. La seconda prova in itinere coincide con il primo appello d’esame in calendario. Sono inoltre previsti altri appelli d’esame nei periodi fissati dal calendario accademico (che si tengono indicativamente nei mesi di Luglio, Settembre, Febbraio). L’esame può essere superato presentandosi alle due prove in itinere o ad un appello d’esame.

Modalità: appello d’esame

L’esame consta di una prova scritta che si articola in due parti, dette convenzionalmente teoria ed esercizi, seguita da un eventuale orale, se richiesto dal docente o dallo studente.

Teoria

Lo scopo di questa parte è verificare la conoscenza e la comprensione degli argomenti in programma:  il calcolo infinitesimale e differenziale per le funzioni di più variabili reali a valori reali (scalari e vettoriali), il calcolo integrale di funzioni di due variabili, le curve in forma parametrica, la teoria dei campi vettoriali con particolare attenzione a quelli conservativi, l'integrazione di prima e seconda specie, lo studio di serie numeriche e di equazioni differenziali ordinarie del primo e secondo ordine, in particolare equazioni a variabili separabili, equazioni lineari del primo e del secondo ordine (con risoluzione di queste ultime nel caso di coefficienti costanti).

Questa prima parte di teoria contiene quindi richieste di definizioni, enunciati, dimostrazioni, esempi, controesempi, quesiti a scelta multipla (con una sola risposta esatta).

La teoria si considera superata se lo studente ottiene almeno 5 punti su 10.

Esercizi

Lo scopo della seconda parte è verificare la capacità di applicare le conoscenze acquisite

- allo studio di limiti, continuità e differenziabilità di funzioni di più variabili

- alla risoluzione di problemi di ottimizzazione libera e vincolata

- al calcolo di integrali doppi

- allo studio di curve parametriche e calcolo di integrali di prima e di seconda specie 

- alla risoluzione di problemi su campi vettoriali conservativi con eventuale calcolo di potenziale

- allo studio del carattere di serie numeriche, con eventuale valutazione o maggiorazione della somma

- alla risoluzione di equazioni del primo ordine, a variabili separabili o lineari, e del secondo ordine lineari

- allo studio di problemi (in particolare problemi di Cauchy) associati ad equazioni dei tipi su citati

La parte degli esercizi si considera superata se lo studente ottiene almeno 11 punti su 23.

Voto finale della prova scritta

Se ciascuna delle due parti è superata, sommandone i punteggi si ottiene il voto complessivo. La prova scritta si intende superata quando il voto complessivo è almeno 18. Tale voto complessivo sarà anche il voto finale del corso, se non c'è richiesta di prova orale.

Modalità: prove in itinere

Invece di sostenere la prova scritta sull'intero programma, lo studente può presentarsi alle prove in itinere, ciascuna su (circa) la metà  del programma. Anche le prove in itinere saranno strutturate in due parti, ovvero Teoria e Esercizi, analogamente alla prova d'esame completa. Viene ammesso alla seconda prova in itinere solo chi ha superato sia la parte di teoria che la parte di esercizi della prima prova.

Per chi sostiene le prove in itinere, si è promossi se si superano la prima e la seconda parte di ciascuna delle due prove e, inoltre, la media dei punteggi totali delle due prove è almeno 18.

Per gli studenti che non sostengono l'orale, la media così ottenuta è il voto finale conseguito.

Prova orale

A conclusione delle prove scritte (siano esse appello d’esame o prove in itinere), il/la docente si riserva la possibilità di richiedere una prova orale per approfondire meglio la valutazione dello studente. Se questo avviene, contestualmente agli esiti verrà indicato l’eventuale obbligo di sostenere la prova orale e la tempistica relativa.

L'orale può comprendere sia domande teoriche che esercizi, su tutto il programma svolto nel corso.

D’altra parte, lo studente, che abbia riportato un voto sufficiente nelle prove in itinere o in un appello d’esame, può chiedere di sostenere l’orale per modificare, eventualmente, la valutazione ottenuta.

Date esami

Le date delle prove scritte sono stabilite da personale incaricato dalla presidenza e saranno visibili sulla pagina delle iscrizioni agli esami.

L'orario esatto di convocazione sarà indicato il giorno prima di ogni prova, congiuntamente all'aula, sulla pagina ufficiale degli esami o/e tramite avviso elettronico (l'aula potrebbe essere indicata anche il giorno stesso dell'esame, nel caso esso si tenga nel pomeriggio).

Per quanto riguarda le prove orali, esse sono organizzate direttamente dal/dalla docente titolare del corso, che potrà fornire ulteriori informazioni al momento opportuno.

Iscrizione all’esame

Lo studente deve iscriversi ad ogni prova scritta (appello o prova in itinere) che intende sostenere; questo avviene esclusivamente tramite l'apposita pagina del sito del Politecnico.

Le iscrizioni effettuate oltre la scadenza indicata sulla pagina delle iscrizioni non verranno accettate.

Anche in caso di indecisione, si consiglia di iscriversi comunque prima possibile, e poi cancellare la propria iscrizione se si decide di non partecipare.

Altre formalità

Ci si deve sempre presentare agli esami con un documento d’identità valido (il tesserino del politecnico non è sufficiente perché sprovvisto di fotografia). Durante gli esami è vietato utilizzare libri, appunti, calcolatrici, telefoni cellulari o altre apparecchiature elettroniche. Gli studenti che contravverranno a questa norma o che verranno sorpresi a comunicare con altri studenti durante le prove scritte verranno allontanati dall’aula e l’esito del loro esame sarà considerato insufficiente.