Scopo di questo corso è introdurre i principali strumenti analitici e numerici per lo studio e l’approssimazione di alcuni problemi tipici dell'Ingegneria. Dopo aver fornito concetti e tecniche base del Calcolo Numerico, si introducono alcune metodologie per risolvere classi di problemi differenziali che emergono tipicamente nell'ambito delle applicazioni dell’Ingegneria Meccanica ed Energetica, come il calcolo delle deformazioni in semplici strutture monodimensionali, il calcolo delle frequenze proprie di alcuni sistemi meccanici, l'analisi termica di semplici travi e pilastri. L'insegnamento è organizzato in lezioni, esercitazioni e laboratori informatici. Nei laboratori informatici verranno implementati i metodi visti a lezione con l’utilizzo del software MATLAB, per fornire un riscontro pratico alle conoscenze teoriche.

Le lezioni, le esercitazioni e i laboratori informatici consentiranno allo studente, che avrà superato con successo l’esame, di conoscere e comprendere:

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‐ concetti di base del Calcolo Numerico con particolare riguardo ai metodi di soluzione di sistemi lineari ed equazioni e sistemi non lineari, all’approssimazione di funzioni, dati, derivate ed integrali;

- le principali proprietà e la buona posizione del problema di Cauchy per le equazioni differenziali ordinarie e dei problemi al contorno per le equazioni di Laplace, di Poisson e di diffusione;

- metodi di soluzione di equazioni differenziali ordinarie con la trasformata di Laplace e di equazioni alle derivate parziali con il metodo di separazione delle variabili e con l’utilizzo delle trasformate;

- la formulazione variazionale di problemi ai limiti di tipo ellittico e parabolico;

­‐ metodi numerici e algoritmi per l’approssimazione delle equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali, in particolare il metodo degli Elementi Finiti;

‐ le proprietà teoriche e le condizioni di applicabilità dei metodi analitici e numerici considerati;

- l’utilizzo del software MATLAB per l’implementazione di script e funzioni che implementano i metodi numerici considerati;

e inoltre di utilizzare le conoscenze acquisite per:

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‐ l’implementazione di algoritmi numerici per la soluzione di problemi di interesse ingegneristico che richiedono la soluzione di sistemi lineari e nonlineari, l’approssimazione e l’interpolazione di dati e funzioni, l’integrazione e la differenziazione numerica;

‐ la soluzione di problemi matematici formulati in termini di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali mediante opportuni metodi analitici e numerici;

­‐ il ragionamento critico e l’interpretazione dei risultati ottenuti;

-­ la scelta del metodo analitico o numerico più adeguato alla soluzione di un’ampia classe di problemi matematici di interesse applicativo;

­‐ la modellazione e simulazione numerica di problemi dell’Ingegneria, indipendentemente dal campo specifico di specializzazione.

Lo studente dovrà mostrare una comprensione approfondita e critica dei contenuti che non si limiti quindi all’esposizione di definizioni e risultati. Inoltre, dovrà essere in grado di risolvere gli esercizi con un approccio rigoroso, logico e coerente con la teoria.

1: Fondamenti di calcolo numerico. Concetti di base del calcolo numerico: consistenza, stabilità e convergenza; aritmetica floating-point. Metodi numerici in algebra lineare: metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari (metodo di eliminazione di Gauss, fattorizzazione LU, pivoting, fattorizzazione di Cholesky, algoritmo di Thomas, stabilità e accuratezza della soluzione); metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari (metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, gradiente e gradiente coniugato, metodi precondizionati, accuratezza, condizioni per la convergenza e criteri d’arresto). Metodi numerici per equazioni non lineari: il metodo della bisezione, il metodo di punto fisso, il metodo di Newton, il metodo di Newton modificato e loro proprietà; il caso vettoriale. Metodi numerici per l’interpolazione di dati e funzioni: interpolazione polinomiale, semplice e composita e le spline cubiche, approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Metodi per l'integrazione numerica: formule composite del punto medio, del trapezio e di Simpson, formule di quadratura Gaussiane, grado di esattezza e ordine di convergenza delle formule di quadratura. Metodi per la differenziazione numerica: differenze finite.

2: Problemi differenziali di tipo ellittico. Studio dell’equazione di Laplace e di Poisson: problemi ben posti, condizioni al bordo di Dirichlet, Neumann e Robin, esistenza e unicità della soluzione, proprietà della media, principio del massimo, separazione delle variabili per soluzioni su rettangoli e dischi. Trasformata di Fourier e applicazioni all’equazione di Poisson. Cenni di Analisi Funzionale. Formulazione variazionale. Lemma di Lax Milgram. Risoluzione numerica del problema di Poisson tramite il metodo di Galerkin, proprietà di consistenza, stabilità e convergenza. Spazi discreti agli Elementi Finiti, proprietà del metodo degli Elementi Finiti, stime dell’errore e accuratezza. Formulazione algebrica del metodo degli Elementi Finiti per problemi di diffusione-trasporto-reazione, ruolo e trattamento delle condizioni al bordo. Esempi applicativi rilevanti per l'Ingegneria Meccanica ed Energetica.

3: Equazioni evolutive. Il teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali ordinarie, problema di Cauchy e sue proprietà, stabilità e buona posizione. Trasformata di Laplace e applicazioni alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie. Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie: metodi ad un passo per equazioni del prim'ordine (metodi di Eulero, Crank-Nicolson e Heun), metodi di Runge-Kutta. Consistenza, zero-stabilità, convergenza, assoluta stabilità. Estensione ai sistemi. Metodi numerici per equazioni differenziali del second’ordine (metodo di Leap-Frog). L'equazione del calore: soluzione fondamentale e risoluzione del problema di Cauchy tramite trasformata di Fourier, principio del massimo, esistenza ed unicità per problemi di Cauchy-Dirichlet/Cauchy-Neumann, metodo dell'energia, separazione di variabili, richiami sulla serie di Fourier. Risoluzione con il metodo degli elementi finiti e theta-metodo, proprietà di convergenza e stabilità. Esempi applicativi rilevanti per l'Ingegneria Meccanica ed Energetica.

Sono richieste conoscenze di Analisi Matematica, Algebra Lineare e Geometria, come previsto dai programmi degli insegnamenti di Analisi e Geometria, 1 e 2.

Sono previsti cinque appelli d’esame, nelle date stabilite dal calendario di Facoltà.

L'esame consiste in una prova scritta nella quale sarà richiesto:

• di rispondere a quesiti di natura teorica sugli argomenti trattati durante l'insegnamento, che possono vertere sull’enunciato e/o la dimostrazione di risultati teorici rilevanti;  la giustificazione teorica di metodi risolutivi analitici; la definizione precisa di concetti quali la convergenza, la consistenza, il grado di esattezza di un metodo numerico; la deduzione di un metodo numerico.
• di applicare i risultati teorici trattati nell'insegnamento per la soluzione analitica di esercizi con particolare riguardo all’uso delle trasformate di Fourier e di Laplace per la soluzione di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali; all’applicazione del metodo di separazione delle variabili per la soluzione di problemi al contorno per le equazioni di Laplace e di diffusione; alla formulazione variazionale di problemi ai limiti 1D.
• di utilizzare MATLAB e di implementare script MATLAB per la soluzione di problemi numerici, tra cui sistemi lineari, sistemi ed equazioni non lineari, interpolazione di dati e funzioni, integrazione e differenziazione numerica, approssimazione di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali.

La valutazione delle prove tiene conto della correttezza e precisione delle risposte fornite, della capacità di ragionamento critico, dell’abilità di implementazione in MATLAB degli algoritmi e della capacità di utilizzare MATLAB per risolvere problemi matematici e dell’Ingegneria.

Può accedere alla prova orale (facoltativa) chi ha raggiunto un punteggio minimo di 25/30 allo scritto. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello in cui è conseguita la valutazione della prova scritta. La prova orale concorre alla formazione della valutazione finale incrementando, diminuendo, o confermando la valutazione della prova scritta senza limite di incremento o diminuzione di tale valutazione. Al fine dell’assegnazione della Lode, il sostenimento della prova orale è obbligatorio indipendentemente dalla valutazione acquisita alla prova scritta.