logo-polimi
Loading...
Risorse bibliografiche
Risorsa bibliografica obbligatoria
Risorsa bibliografica facoltativa
Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2018/2019
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 083214 - ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Docente Sabadini Irene Maria
Cfu 5.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (365) INGEGNERIA MATEMATICA*AM083214 - ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Obiettivi dell'insegnamento

Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio previsti della scheda SUA-CdS, l'insegnamento ha l’obiettivo di fornire allo studente sia i principi fondamentali dell’algebra lineare, sia le applicazioni del metodo delle coordinate della geometria analitica.

I contenuti dell’insegnamento riguardano: i vettori geometrici, le matrici e le operazioni relative; la teoria dei sistemi lineari; lo studio degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali; autovalori e autovettori, diagonalizzazione di un endomorfismo; prodotto scalare euclideo; metodo delle coordinate cartesiane nel piano e nello spazio, anche attraverso il calcolo vettoriale, e con particolari applicazioni allo studio di problemi riguardanti rette, piani, coniche.


Risultati di apprendimento attesi

A seguito del superamento dell'esame, lo studente conoscerà gli elementi fondamentali dell'algebra lineare, con adeguata proprietà di linguaggio, e sarà inoltre in grado di applicare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi sugli argomenti trattati nell'insegnamento, con particolare riferimento ai seguenti:

  • studio e risoluzione di sistemi lineari mediante il teorema di Rouché-Capelli e con il metodo di eliminazione di Gauss; risoluzione di un sistema ai minimi quadrati;
  • studio di spazi e sottospazi vettoriali e calcolo di insiemi di generatori, insiemi di vettori linearmente indipendenti, basi e dimensione; sottospazi associati a matrici;
  • studio delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali con relativa rappresentazione matriciale, calcolo del rango, del nucleo e dell’immagine di un'applicazione lineare, calcolo dell'applicazione lineare inversa; cambi di base;
  • concetti di autovalore e autovettore, e relativa applicazione a problemi legati alla diagonalizzazione di endomorfismi;
  • studio di vettori in spazi euclidei reali, calcolo di prodotti vettoriali, prodotti misti, vettori ortogonali, basi ortonormali e diagonalizzazione di matrici simmetriche.

Lo studente conoscerà inoltre il metodo delle coordinate cartesiane, con applicazioni particolari a

  • risoluzione di problemi riguardanti piani e rette nello spazio;
  • calcolo vettoriale nel piano e nello spazio;
  • classificazione e studio di coniche nel piano.

 

Ci si attende una comprensione che non sia limitata al solo enunciato di definizioni e di risultati, e alla risoluzione di esercizi standard, ma sia anche critica, in grado di distinguere differenti tipologie di problemi e di soluzioni, attraverso scelte consapevoli e giustificazione dei procedimenti seguiti. Ci si aspetta infine un'esposizione ben argomentata della teoria, con adeguata proprietà di linguaggio e un'adeguata correttezza nei calcoli.


Argomenti trattati

Geometria analitica

Vettori nel piano e nello spazio. Piani e rette nello spazio.

Sistemi lineari e matrici

Notazioni e terminologia. Metodo di eliminazione di Gauss. Rappresentazione dell'insieme delle  soluzioni. Operazioni sulle matrici e loro proprietà. Matrici invertibili e  calcolo della matrice inversa col metodo di Gauss-Jordan. Teorema di Cramer.

Spazi vettoriali

Spazi vettoriali. Sottospazi, combinazioni lineari, indipendenza lineare, basi, dimensione. Spazi associati a una matrice: nucleo, spazio riga e spazio colonna, e relazione tra le loro dimensioni. Rango di una matrice. Rango di una matrice a scala. 

Applicazioni lineari

Matrice associata a un’applicazione lineare. Nucleo e immagine. Rango. Teorema di nullità più rango. Criteri di iniettività, suriettività, isomorfismo in termini del rango. Matrici invertibili e  isomorfismi. Sistemi lineari rivisitati.

Spazi vettoriali euclidei

Prodotto scalare. Basi ortonormali. Procedimento di Gram- Schmidt. Matrici ortogonali. Proiezioni ortogonali. Norma e sue proprietà. Metodo dei minimi quadrati. Matrici ortogonali e isometrie. 

Determinante 

Proprietà fondamentali. Matrici invertibili e determinante. Sviluppi di Laplace. Calcolo mediante riduzione a matrice triangolare. Determinante e volume. Teorema di Binet. Determinante e rango: il teorema di Kronecker.  

Autovalori e autovettori

Matrice di cambiamento di base. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili. Autovettori. Autovalori. Polinomio caratteristico e sua invarianza per similitudine. Molteplicità geometrica e algebrica degli autovalori. Criterio di diagonalizzabilità.

Il teorema spettrale

Il caso reale (matrici simmetriche) e cenni al caso complesso (matrici normali). Classificazione delle matrici ortogonali reali nel piano e nello spazio.

Forme quadratiche

Matrice associata a una forma quadratica. Diagonalizzazione di una forma quadratica. Autovalori e segno di una forma quadratica. Matrici definite positive. Applicazioni.

 

 


Prerequisiti

Si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nella scuola secondaria di secondo grado con particolare riferimento all'algebra dei polinomi, equazioni, disequazioni e sistemi di primo e secondo grado, trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica.


Modalità di valutazione

L'esame  può essere superato presentandosi a uno degli appelli previsti dal calendario accademico.

La prova di ciascun appello si compone di due parti, entrambe obbligatorie: una prova scritta che consiste nella risoluzione di alcuni esercizi e una prova orale sulla parte teorica.

La prova scritta  consiste nella risoluzione di alcuni esercizi  che potrebbero essere suddivisi in vari quesiti. Lo svolgimento di alcuni di questi quesiti potrà essere ritenuto necessario per raggiungere la sufficienza (ovvero 18) nella prova scritta.

La prova orale  può essere affrontata solo a fronte del superamento con un voto sufficiente della prova scritta.  Verrà richiesto di rispondere ad una serie di quesiti riguardanti definizioni, proprietà, teoremi e loro applicazione, esempi e controesempi discussi durante il corso. L’esame è superato se anche la prova relativa alla parte teorica sarà sufficiente, e il voto che verrà verbalizzato è la media aritmetica dei due voti, arrotondata per eccesso. 

La prova scritta ha l'obiettivo di verificare che lo studente abbia acquisito in maniera adeguata gli elementi fondamentali dell'algebra lineare, con adeguata proprietà di linguaggio, e sarà inoltre in grado di applicare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi sugli argomenti trattati nell'insegnamento, in accordo con quanto descritto nei Risultati di apprendimento attesi.

La prova orale ha l'obiettivo di verificare che lo studente abbia acquisito e compreso in maniera adeguata gli elementi fondamentali dell'algebra lineare, con adeguata proprietà di linguaggio, con particolare riguardo agli argomenti elencati nei Risultati di apprendimento attesi.

Durante lo svolgimento di ogni prova d'esame lo studente non può consultare nè avere con sè testi, appunti, calcolatrici, telefoni cellulari o altre apparecchiature elettroniche. Lo studente che contravvenga a tale regola, o che sia sorpreso a chiedere o fornire aiuti ad altri, sarà allontanato dall'aula d'esame e l’esito della prova sarà insufficiente.

In caso di prova scritta o di eventuale prova orale non soddisfacente, lo studente dovrà ripetere l'intero esame, prova scritta e prova orale, in un appello successivo. Possono sostenere un appello tutti e soli gli studenti che si sono regolarmente iscritti usando le  modalità previste. Non è tecnicamente possibile registrare voti per studenti che non risultano iscritti all’appello in questione.

 


Bibliografia
Risorsa bibliografica obbligatoriaSchlesinger Enrico, Algebra lineare e geometria, Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2018, ISBN: 978-88-08-52069-2
Note:

Seconda edizione

Risorsa bibliografica facoltativaL. Mauri E. Schlesinger, Esercizi di algebra lineare e geometria, Editore: Zanichelli, Anno edizione: 2012, ISBN: 9788808192523
Risorsa bibliografica facoltativaStrang, Gilbert, Algebra lineare, Editore: Apogeo, Anno edizione: 2008, ISBN: 9788850326648

Software utilizzato
Nessun software richiesto

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
32:00
42:60
Esercitazione
24:00
26:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 56:00 69:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese
Possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese
schedaincarico v. 1.6.9 / 1.6.9
Area Servizi ICT
22/10/2021